苏教版必修第一册课件6.1 幂函数

第6章6.1幂函数 课标要求1.了解幂函数的概念;2.会画出y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象;3.结合这几个幂函数的图象,理解幂函数图象的变化情况和性质. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1幂函数的概念和图象1.一般地,我们把形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.牢记幂函数解析式,尤其是自变量x的位置y=xα 2.在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象. 名师点睛1.幂函数解析式的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项. 2.幂函数的图象在第一象限内的特征 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=2x2是幂函数.()(2)函数y=x0是幂函数.()(3)函数y=2x是幂函数.()2.所有的幂函数的图象一定过(1,1)吗?×√×提示因为无论α取何值,y=xα.当x=1时,1α=1,因此幂函数的图象一定过定点(1,1). 知识点2幂函数的性质一般地,对于函数y=xα,当α>0时,有:(1)函数的图象都过点和;(2)在第一象限内,函数的图象随x的增大而上升,函数在区间[0,+∞)上是.当α<0时,有:(1)函数的图象都过点;(2)在第一象限内,函数的图象随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是.(0,0)(1,1)单调递增(1,1)单调递减 名师点睛(1)当α为奇数时,幂函数图象关于原点对称;(2)当α为偶数时,幂函数图象关于y轴对称;(3)幂函数在第四象限无图象. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=的定义域为[0,+∞).()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.()2.为什么幂函数在第四象限无图象?√√×提示当x>0时,y=xα>0,故此时点(x,y)不能落在第四象限,所以幂函数在第四象限无图象. 重难探究•能力素养全提升 探究点一幂函数的概念【例1】函数y=(m2-m-1)是幂函数,且当x∈(0,+∞)时单调递减,求实数m的值.∴m2-m-1=1,即(m-2)(m+1)=0,∴m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3是幂函数,在(0,+∞)上单调递减;当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)在x∈(0,+∞)时不单调递减.综上所述,m=2. 规律方法幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,而幂值前面的系数必须为1,这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准. 变式探究若将本题中的幂函数解析式修改为“y=(m∈N*),且函数图象关于y轴对称”,其他不变,求m的值.解∵函数在x∈(0,+∞)时单调递减,∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.∵m∈N*,∴m=1,2.又函数图象关于y轴对称,∴m2-2m-3是偶数.当m=2时,22-2×2-3=-3为奇数;当m=1时,12-2×1-3=-4为偶数,∴m=1. 探究点二幂函数的图象【例2】(1)若幂函数的图象经过点,则在区间()上单调递减.A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)(2)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c 答案(1)A(2)B解析(1)设y=xα,则2α=,α=-2,即y=x-2,-2<0,函数在区间(0,+∞)上单调递减.故选A.(2)由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B. 规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高);(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. 变式训练1函数y=图象的大致形状是.(填序号)答案④解析∵y=是偶函数,且在第一象限图象是上凸的,∴④符合题意. 探究点三幂函数性质的运用【例3】比较大小:(2)∵y=x3是增函数,-1.2>-1.25,∴(-1.2)3>(-1.25)3. 规律方法比较幂值大小的两种基本方法 变式训练2比较下列各组数的大小:(2)幂函数y=x-3在(-∞,0)上单调递减,又-2>-2.5,∴(-2)-3<(-2.5)-3.(3)幂函数y=x-0.1在(0,+∞)上单调递减,∵1.1<1.2,∴1.1-0.1>1.2-0.1. 本节要点归纳1.知识清单:(1)幂函数的定义;(2)几个常见幂函数的图象;(3)幂函数的性质.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.3.常见误区:易忽略幂函数的概念. 学以致用•随堂检测全达标 1.下列函数是幂函数的是()A.y=2xB.y=2x-1C.y=(x+1)2D 答案A C 4.(多选题)下列命题中,是真命题的是()A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.幂函数的图象不可能在第四象限C.α=0,函数y=xα的图象是一条直线D.幂函数y=xα当α<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小答案BD解析y=x-1不过(0,0)点,∴A错误;由幂函数图象知B正确;当α=0时,y=xα的图象为两条射线,C错误;根据幂函数单调性可以判断D项正确,故选BD. 5.若幂函数y=(m2-3m+3)的图象不经过原点,则实数m的值为.答案1或2经检验m=1或2都符合. 6.比较下列各组中两个值的大小: 本课结束