苏教版必修第一册课件6.3 对数函数

第6章6.3对数函数 课标要求1.理解对数函数的概念,会判断一个函数是否为对数函数;2.掌握对数函数的图象;3.会求与对数函数有关的函数定义域和值域. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1对数函数的概念一般地,函数叫作对数函数,它的定义域是.名师点睛1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.y=logax(a>0,a≠1)(0,+∞) 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)由y=logax(a>0,且a≠1),得x=ay,所以x>0.()(2)y=log2x2是对数函数.()(3)若函数y=logax为对数函数,则a>0且a≠1.()(4)函数y=loga(x-1)的定义域为(0,+∞).()√×√× 2.下列函数是对数函数的是()A.y=log2xB.y=ln(x+1)C.y=logxeD.y=logxxA 3.若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为.答案y=log2x解析设对数函数y=logax(a>0,a≠1),对数函数过(4,2),则loga4=2,解得a=2.故对数函数的解析式为y=log2x. 知识点2对数函数的图象与性质图象和性质a>10<a<1图象性质(1)定义域:(2)值域:R(3)图象过点反映了对数的性质:loga1=0(0,+∞)(1,0) 图象和性质a>10<a<1性质(4)增函数;当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0(4)减函数;当0<x<1时,y>0;当x>1时,y<0 名师点睛1.对数函数的图象永远在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数的渐近线,x越接近于0,图象越接近y轴.2.对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.当a的范围与x的范围相同时logax>0,反之logax<0.3.当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数0<a<1时,图象在第四象限内越接近x轴,a越小.4.分析对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象,需找三个关键点: 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对数函数y=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()××√ 2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不单调递增的是()A.y=5xB.y=lgx+2C.y=x2+1D3.函数y=logax+1(a>0且a≠1)必经过点.(1,1) 知识点3反函数当a>0,a≠1时,y=logax称为的反函数,反之,y=ax也称为_________的反函数.一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作.名师点睛1.由指数式与对数式的关系知,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+∞).2.指数函数y=ax和对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象关于直线y=x对称.y=axy=logaxy=f-1(x) 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=10x的反函数是y=lgx.()(2)函数y=lnx的反函数是y=ex.()(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.()√√√2.函数f(x)=的反函数是.3.函数g(x)=log8x的反函数是.g(x)=8x 重难探究•能力素养全提升 探究点一对数函数的概念【例1】判断下列函数是不是对数函数?并说明理由.①y=logax2(a>0,a≠1);②y=log2x-1;③y=2log8x;④y=logxa(x>0,且x≠1);⑤y=log5x.解∵①中真数不是自变量x,∴不是对数函数;∵②中对数式后减1,∴不是对数函数;∵③中log8x前的系数是2,而不是1,∴不是对数函数;∵④中底数是自变量x,而非常数a,∴不是对数函数.⑤为对数函数. 规律方法判断一个函数是对数函数的方法 变式训练1下列函数是对数函数的是()A.y=log3(x+1)B.y=loga(2x)(a>0,a≠1)C.y=logax2(a>0,a≠1)D.y=lnx答案D解析形如y=logax(a>0,a≠1)的函数为对数函数,只有D满足.故选D. 探究点二对数函数的图象【例2】(1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()(2)函数y=loga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过点. 答案(1)B(2)(0,-2)解析(1)(方法一)若0<a<1,则函数y=ax的图象下降且过点(0,1),而函数y=loga(-x)的图象上升且过点(-1,0),以上图象均不符合.若a>1,则函数y=ax的图象上升且过点(0,1),而函数y=loga(-x)的图象下降且过点(-1,0),只有B中图象符合.(方法二)首先指数函数y=ax的图象只可能在上半平面,函数y=loga(-x)的图象只可能在左半平面,从而排除A,C;再看单调性,y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,排除D.只有B中图象符合.(2)因为函数y=logax(a>0,a≠1)的图象恒过点(1,0),则令x+1=1得x=0,此时y=loga(x+1)-2=-2,所以函数y=loga(x+1)-2(a>0,a≠1)的图象恒过点(0,-2). 规律方法1.对数函数图象过定点问题:求函数y=m+logaf(x)(a>0,a≠1)的图象过的定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).2.两个函数图象辨析的问题,一般是先假定一个函数图象是正确的,再去研究另一个函数图象是否正确,主要是依据函数的定义域、值域、过定点以及其性质与图象的关系. 变式训练2当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只能是.答案(2)解析因为a>1,所以y=logax为增函数,且函数图象过定点(1,0),故排除(3),(4).又1-a<0,所以函数y=(1-a)x为减函数.故选(2). 探究点三与对数函数有关的定义域和值域问题【例3】求下列函数的定义域和值域:(1)f(x)=log2(x2-4x-5);解(1)对于函数f(x)=log2(x2-4x-5),要其有意义,需真数大于0,即x2-4x-5>0,解得x∈(-∞,-1)∪(5,+∞).设u=x2-4x-5,因为x∈(-∞,-1)∪(5,+∞),故u的值域为(0,+∞),故f(x)的值域为R. 规律方法对数型复合函数的定义域和值域的求解方法(1)形如y=logaf(x)的复合函数,其定义域的限制条件为“真数大于0”;(2)设u=f(x),在定义域前提下,求出内层函数u=f(x)的值域,再利用对数函数求解复合函数y=logaf(x)的值域. 变式探究(多选题)将本例(2)中的函数修改为“函数y=log2(x2-2x+3)”,若函数定义域为A,值域为B,则集合A与B的关系及A,B与R的关系为()A.A⊆BB.B⊆AC.A=RD.B=R答案BC解析令u=x2-2x+3,则u=(x-1)2+2≥2.故函数的定义域为R,即A=R.∵函数y=log2u在u∈(0,+∞)上是增函数,∴y≥log22=1.∴y∈[1,+∞),即值域B=[1,+∞).∴B⊆A. 本节要点归纳1.知识清单:(1)对数函数的定义;(2)对数函数的图象辨析;(3)对数函数的定义域和值域问题.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)忽略对数函数的定义域;(2)忽略底数a范围的讨论. 学以致用•随堂检测全达标 1.函数y=loga(x-3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是()A.(4,1)B.(3,1)C.(4,0)D.(3,0)答案A解析对于函数y=loga(x-3)+1(a>0且a≠1),令x-3=1,得x=4,y=1,则该函数图象恒过定点P(4,1).故选A. 2.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为()A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.[2,+∞)D.[3,+∞)答案C解析当x≥1时,log2x≥0,所以y=2+log2x≥2. A.[1,+∞)B.(0,+∞)C.[0,1]D.(0,1]答案D∴0<2x-1≤1,则1<2x≤2,解得0<x≤1. 答案B解析∵当a>1时,图象上升;当0<a<1时,图象下降.又当a>1时,a越大,图象向右越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象向右越靠近x轴,C1,C2,C3,C4的a的值依次是. 5.(多选题)下列函数中是对数函数的是()C.y=lnxD.y=lgx+1答案AC解析根据对数函数的定义可得出和y=lnx都是对数函数.故选AC. 本课结束