苏教版必修第一册课件3.1 不等式的基本性质

第3章3.1不等式的基本性质 课标要求1.理解不等式的概念,掌握不等式的性质;2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系;3.能够用作差法比较两个数或式的大小. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1实数a,b的大小比较实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一个实数,且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大,所以实数可以比较大小,如下表所示:只需比较a-b与0的大小,这种比较大小的方法通常叫作差法文字语言符号表示如果a>b,那么a-b是正数;如果a<b,那么a-b是负数;如果a=b,那么a-b等于零.反之亦然a>b⇔a-b>0;a<b⇔a-b<0;a=b⇔a-b=0 名师点睛“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质,左边的式子反映的是实数的大小顺序,二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)x2>x.()2.x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法,比较x2+1与2x的大小,而且具有说服力吗?××提示作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x. 知识点2不等式的性质名称式子表达性质1(对称性)a>b⇔b<a性质2(传递性)a>b,b>c⇒a>c性质3(可加性)a>b⇔a+c>b+c推论(移项法则)a+b>c⇔a>c-b性质4(可乘性)a>b,c>0⇒a>b,c<0⇒性质5(不等式同向可加性)a>b,c>d⇒a+c>b+d性质6(不等式同向正数可乘性)a>b>0,c>d>0⇒ac>bcac<bcac>bd 名称式子表达性质7(乘方性)a>b>0⇒(n∈N*)性质8(开方性)a>b>0⇒>(n∈N*)an>bn 名师点睛1.使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的前提条件,盲目套用.2.在不等式的性质中,对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,即符号“⇔”表示等价关系,可以互相推出,而符号“⇒”只能从左边推右边,该性质不具备可逆性.尤其在证明不等式时,要注意是否可逆. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a>b,则a-c>b-c.()(2)若a>b,则ac>bc.()(3)若a>b,则a2>b2.()√×× 2.若a>b>0,c<d<0,则一定有()答案D解析∵c<d<0,∴-c>-d>0.∵a>b>0,∴-ac>-bd, 重难探究•能力素养全提升 探究点一用不等式(组)表示不等关系【例1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系. 规律方法用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、不多于、不少于等.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语并连接变量得不等式. 变式训练1某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.解设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则 探究点二比较两数(式)的大小【例2】已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小.解a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2;当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0,a3+b3>a2b+ab2.综上所述,a3+b3≥a2b+ab2. 规律方法1.作差法比较两数(式)大小的步骤及变形方法:2.如果两实数同号,亦可采用作商法来比较大小,即作商后看商是大于1,等于1,还是小于1. 变式训练2已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.解(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1) 探究点三不等式性质的应用【例3】(1)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为()A.若a>b,则ac2>bc2 (1)答案D解析当c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题; (2)证明∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0. 规律方法利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记忆不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 变式探究将例题(2)中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0,c<0”,求证:. 变式训练3 本节要点归纳1.知识清单:(1)等式的性质;(2)不等式的性质及其应用;(3)作差法(作商法)比较大小.2.方法归纳:作差法(作商法)、特殊值法.3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性. 学以致用•随堂检测全达标 1.已知实数a1∈(0,1),a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则()A.M<NB.M>NC.M=ND.大小不确定答案B解析作差比较,M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N.故选B. 2.若a>b,c>d,则下列不等关系不一定成立的是()A.a-b>c-dB.a+c>b+dC.a-c>b-cD.a-c<a-d答案A解析对于A,若a=0,b=-1,c=3,d=-2,显然a-b<c-d,故A不一定成立;对于B,由a>b,c>d,则a+c>b+d,故B一定成立;对于C,由a>b,则a-c>b-c,故C一定成立;对于D,由c>d,则-c<-d,则a-c<a-d,故D一定成立.故选A. 3.某路段有如图所示的路标,提示司机在该路段行驶时,汽车的速度v不超过70km/h,写成不等式的形式为()A.v<70B.v>70C.v≠70D.v≤70答案D解析“不超过”的含义是小于或等于,故不等式为v≤70.故选D. 4.已知a为实数,则(a+3)(a-5)(a+2)(a-4).(填“>”“<”或“=”)答案<解析因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).5.若实数a>b,则a2-abba-b2.(填“>”或“<”)答案>解析因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,且a>b,所以(a-b)2>0,即a2-ab>ba-b2. 6.若<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b,正确的有个.答案1 本课结束