苏教版必修第一册课件6.2 指数函数

第6章6.2指数函数 课标要求1.理解指数函数的概念,会判断一个函数是否为指数函数;2.掌握指数函数的图象;3.会求指数函数的定义域和值域. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1指数函数的概念一般地,叫作指数函数,它的定义域是.底数为常数,自变量在指数位置,与幂函数相区分函数y=ax(a>0,且a≠1)R 名师点睛指数函数的结构特征:指数函数的定义是一个形式定义,判断时要严格按照上图的三个特点进行检验.例如y=2x+1,y=3·2x,都不是指数函数,但函数y=2-x可化为y=,所以是指数函数. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)y=πx是指数函数.()√√√× 2.指数函数中,为什么要规定a>0,且a≠1?提示如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如无意义;如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数. 知识点2指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质图象和性质a>10<a<1图象 图象和性质a>10<a<1性质(1)定义域:R(2)值域:(3)图象过定点,图象在x轴的上方(4)增函数;当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1(4);当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1(0,+∞)(0,1)减函数 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是增函数.()(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.()×√√√ 2.为什么指数函数恒过定点(0,1)?提示因为对于y=ax(a>0,且a≠1),当x=0时,y=1,所以指数函数恒过定点(0,1). 重难探究•能力素养全提升 探究点一指数函数的概念【例1】(1)下列函数:①y=2·3x;②y=;③y=3x;④y=x3.其中,指数函数的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)函数y=(a-2)2ax是指数函数,则()A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0,且a≠1 答案(1)B(2)C解析(1)①中,3x的系数是2,故①不是指数函数;②中,y=的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数;③中,y=3x,3x的系数是1,指数是自变量x,且只有3x一项,故③是指数函数;④中,y=x3中底数为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.所以只有③是指数函数. 规律方法判断一个函数是否为指数函数的方法指数函数是一个形式定义,其特征如下: 变式训练1函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有()A.a=1或a=2B.a=1C.a=2D.a>0,且a≠1答案C 探究点二指数函数的图象【例2】(1)利用函数f(x)=的图象,作出下列各函数的图象.①y=f(x-1);②y=f(x+1);③y=-f(x);④y=f(-x);⑤y=f(x)-1.(2)已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象为() 解(1)图象如图所示:⑤ (2)答案C解析由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是减函数,故排除A,B;作直线x=1与两个图象相交,交点在下面的是函数y=mx的图象.C符合题意. 规律方法函数图象变换的规律(1)对于左右平移变换,可以简单记作“左加右减”,它只变其中的x.(2)对于上下平移变换,可简单记作“上加下减”,它是作用于解析式整体上的.(3)对于对称变换的特点:关于x轴对称,“y”变为“-y”;关于y轴对称,“x”变为“-x”.可简单记作“关于哪个轴对称,哪个轴对应的变量不变”,即对称变换只分别作用于x和y,与它们的系数无关. 变式训练2若函数y=ax+(b-1)(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则有()A.a>1且b<1B.0<a<1且b≤1C.0<a<1且b>0D.a>1且b≤0答案D解析由指数函数图象的特征可知,当0<a<1时,函数y=ax+(b-1)(a>0,且a≠1)的图象必经过第二象限,故排除选项B,C.又函数y=ax+(b-1)(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则其图象与y轴的交点不在x轴上方,所以当x=0时,y=a0+(b-1)≤0,即b≤0,故选项D正确. 【例3】若方程|3x-1|=k有一解,则k的取值范围为.答案{k|k=0,或k≥1}解析函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,即方程有一解. 规律方法指数型函数图象的画法及应用(1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)复杂方程的根的个数问题或者根据根求参数取值范围问题,都可以转化为函数图象的交点问题来研究. 变式探究若例3的条件变为:方程3|x|-1=k有两解,则k的取值范围为.答案(0,+∞)解析作出函数y=3|x|-1与y=k的图象如图所示,数形结合可得k>0. 探究点三与指数函数有关的函数的定义域、值域的问题【例4】求下列函数的定义域和值域:解(1)要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30,因为函数y=3x是增函数,所以x≤0, 规律方法与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型,前者的定义域是R,后者的定义域与f(x)的定义域一致,而求y=型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时,在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下,要注意指数函数的值域为(0,+∞),切记准确运用指数函数的单调性. 变式训练3 探究点四指数函数的定点应用【例5】已知函数f=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是.答案(-1,4)解析∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).规律方法指数型函数图象过定点问题的解法因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),所以对于指数型函数f=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f的图象过定点(m,k+b),即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求点. 变式训练4函数y=a2x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点.答案(1,4)解析根据题意,在函数y=a2x-2+3中,令2x-2=0,解得x=1.则f(1)=a2-2+3=4,即函数的图象恒过定点(1,4). 本节要点归纳1.知识清单:(1)指数函数的定义及求解析式;(2)指数函数的性质应用:定点、定义域和值域问题;(3)指数函数图象的应用.2.方法归纳:数形结合、分类讨论、待定系数.3.常见误区:指数函数y=ax,当底数a的大小不确定时,必须分a>1和0<a<1两种情况讨论. 学以致用•随堂检测全达标 1.若函数f(x)=(2a-5)·ax是指数函数,则f(x)在定义域内()A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.先减后增答案A解析由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)为增函数. 2.函数y=2-x的大致图象是()答案B解析由题意得,y=2-x=,则函数y=2-x是减函数,且过点(0,1).故选B. 3.函数y=+1的值域是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.[1,+∞)D.(0,1)答案B解析因为>0,所以y>1,故函数的值域为(1,+∞). 4.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,9),则该指数函数的表达式为.5.函数f=ax-1(a>0且a≠1)的图象经过一个定点,这个定点的坐标是.答案y=3x答案(1,1)解析令x-1=0,得x=1,此时f=1,故函数的图象经过定点(1,1). 6.函数y=的定义域是,值域是.答案{x|x≠3}{y|y>0,且y≠1}解析由x-3≠0,得x≠3,∴定义域为{x|x≠3}. 7.已知函数y=,作出函数图象,求定义域、值域.定义域为R,值域为(0,1]. 本课结束