苏教版必修第一册课件5.4 函数的奇偶性

第5章5.4函数的奇偶性 课标要求1.理解奇函数、偶函数的定义;2.了解奇函数、偶函数图象的特征;3.掌握判断函数奇偶性的方法;4.能利用奇偶性求对称区间上的解析式及判断单调性. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点函数的奇偶性奇偶性是函数的整体性质,看整体图象是否具有对称性奇偶性偶函数奇函数条件设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有-x∈A结论图象特点关于对称关于对称f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点 名师点睛1.要特别注意定义中的“任意”两个字,“任意”是指对于定义域中的所有互为相反数的自变量,它们的函数值全部互为相反数或相等.2.奇偶性是函数在整个定义域内的性质,仅在定义域的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的.3.若奇函数y=f(x)的定义域内包括0,则f(0)=0.4.重要结论:对于函数f(x),若满足(1)f(a-x)=f(a+x),则其图象的对称轴为直线x=a;(2)若f(a-x)=-f(a+x),则其图象的对称中心为(a,0). 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对于定义域为R的函数f(x),若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.()(2)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数.()(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.()2.具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?×××提示定义域关于原点对称. 重难探究•能力素养全提升 探究点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x; 解(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数. 规律方法判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法: (2)图象法: 变式训练1下列函数是偶函数的有.(填序号)答案②③解析对于①,f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数;对于②,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),则为偶函数;对于③,定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 对于⑤,定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,则既不是奇函数又不是偶函数. 探究点二利用函数的奇偶性求值或求参数C.1D.无法确定(2)已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=. 答案(1)B(2)7解析(1)由题意可知2b-5+2b-3=0,即b=2.又f(x)是奇函数,故f(-x)+f(x)=0,∴2ax2+2c=0对任意x都成立,则a=c=0,(2)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,又f(-3)=-3,∴g(3)=5.又f(3)=g(3)+2,∴f(3)=5+2=7. 规律方法利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解. 变式探究1把本例(1)的条件改为“f(x)=ax2+bx+b+1是定义在[a-1,2a]上的偶函数”,求f的值. 变式探究2把本例(2)的条件“f(-3)=-3”换为“f(d)=10”,求f(-d)的值.解令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,易知g(x)为奇函数,∴f(d)=g(d)+2=10,即g(d)=8.∴f(-d)=g(-d)+2=-g(d)+2=-8+2=-6. 变式训练2已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈[0,+∞)时,答案1解析∵f(-2)=f(2)=0,∴f(f(-2))=f(0)=1. 探究点三函数奇偶性的应用角度1利用奇偶性求解析式【例3】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式.(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. 解(1)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-(-x)+1=x+1.又函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(-x)=-f(x)=x+1,∴当x<0时,f(x)=-x-1.又当x=0时,f(0)=0, (2)∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 规律方法利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 变式探究1把本例(1)的条件“奇函数”改为“偶函数”,“x>0”改为“x≥0”,再求f(x)的解析式.解设x<0,则-x>0,则f(-x)=x+1.又f(-x)=f(x),所以当x<0时,f(x)=x+1. 变式探究2把本例(2)的条件“f(x)是偶函数,g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数,g(x)是偶函数”,再求f(x),g(x)的解析式.解∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 变式训练3若函数f(x)的定义域为R,且其图象关于原点对称,当x<0时,f(x)=-x3+x+1,则当x≥0时,f(x)=.解析函数f(x)定义域为R,且其图象关于原点对称,所以该函数是奇函数.当x=0时,f(x)=0;当x>0时,-x<0,f(-x)=-(-x)3-x+1=x3-x+1.又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x3+x-1. 角度2奇、偶函数的图象及应用【例4】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 规律方法巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题. 变式训练4已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,下列选项正确的是()A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)>-2D.f(2)<-2答案C解析由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C. 角度3函数单调性和奇偶性的综合问题【例5】已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.答案(-1,3)解析∵f(2)=0,f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2).∵f(x)是偶函数,∴f(|x-1|)>f(2),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2,∴-1<x<3,∴x∈(-1,3). 规律方法利用函数单调性和奇偶性解不等式的策略解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的奇偶性与单调性,列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响. 变式训练5函数f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(3)<f(2a+1),则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)答案C解析因为函数f(x)在实数集上是偶函数,且f(3)<f(2a+1),所以f(3)<f(|2a+1|).又函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以3<|2a+1|,解得a>1或a<-2.故选C. 本节要点归纳1.知识清单:(1)函数奇偶性的概念;(2)奇函数、偶函数的图象特征;(3)函数奇偶性的应用:求解析式、图象的应用、与单调性的综合应用.2.方法归纳:特殊值法、数形结合法.3.常见误区:忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 学以致用•随堂检测全达标 1.函数f(x)=|x|+1是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案B解析∵f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数. 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上具有单调性,且f(-2)<f(1),则下列不等式成立的是()A.f(-1)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<f(-4)D.f(5)<f(-3)<f(-1) 答案D解析函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上具有单调性,且f(-2)<f(1)=f(-1),故函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,则f(5)=f(-5)<f(-3)<f(-1).故选D. 3.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=-x2+2x-3B.f(x)=-x2-2x-3C.f(x)=x2-2x+3D.f(x)=-x2-2x+3答案B解析若x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3.因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3.所以当x<0时,f(x)=-x2-2x-3.故选B. 4.已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=.答案0解析∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,∴2ax2=0对任意x∈R恒成立,所以a=0. 5.已知函数f(x)的图象关于y对称,当x≥0时,f(x)单调递增,则不等式f(2x)>f(1-x)的解集为.解析依题意,f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)单调递增,要满足f(2x)>f(1-x),则要求|2x|>|1-x|,两边平方得4x2>1-2x+x2,即3x2+2x-1>0,即(x+1)(3x-1)>0, 6.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间;(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解(1)由题意作出函数y=f(x)的图象如图.(2)据图可知,y=f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2). 本课结束