苏教版必修第一册课后习题5.1 函数的概念和图象

第5章函数概念与性质5.1　函数的概念和图象1.下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　)A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的元素平方→B中元素B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的元素开平方→B中元素C.A=Z,B=Q,f:A中的元素取倒数→B中元素D.A={平行四边形},B=R,f:对A中的元素求面积→B中元素答案A解析对选项B,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数的定义;对选项C,集合A中的元素0取倒数没有意义,在集合B中没有元素与之对应,不符合函数的定义;对选项D,集合A不是数集,故不符合函数的定义.故选A.2.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.{-1,0,3}B.{0,1,2,3}C.{y|-1≤y≤3}D.{y|0≤y≤3}答案A解析当x=0时,y=0;当x=1时,y=1-2=-1;当x=2时,y=4-2×2=0;当x=3时,y=9-2×3=3.则函数y=x2-2x的值域为{-1,0,3}.3函数f(x)=x+3x-1的定义域为(　　)A.{x|x≥-3}B.{x|x>-3}C.{x|x≥-3,且x≠1}D.{x|x>-3,且x≠1}答案C 解析要使函数f(x)=x+3x-1有意义,则x+3≥0,x-1≠0,解得x≥-3且x≠1,所以函数f(x)=x+3x-1的定义域为{x|x≥-3,且x≠1}.故选C.4.已知函数f(x)=11+x,且f(t)=6,则t=　　　　. 答案-56解析由f(t)=6,得11+t=6,即t=-56.5.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=fx2+f(x-1)的定义域是　　　　. 答案(0,2)解析由题意知-1<x2<1,-1<x-1<1,即-2<x<2,0<x<2.解得0<x<2,于是函数g(x)的定义域为(0,2).6.求下列函数的定义域:(1)f(x)=3x-1+1-2x+4;(2)f(x)=(x+3)0|x|-x.解(1)要使函数式有意义,必须满足3x-1≥0,1-2x≥0,即x≥13,x≤12.所以13≤x≤12,即函数的定义域为13,12.(2)要使函数式有意义,必须满足x+3≠0,|x|-x>0,即x≠-3,|x|>x,解得x≠-3,x<0.所以函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,0). 7.画出二次函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题:(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小;(2)求函数f(x)的值域.解f(x)=-(x-1)2+4的图象如图所示.(1)f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,所以f(1)>f(0)>f(3).(2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)=4,则函数f(x)的值域为(-∞,4].8.已知函数f(x)=x-1,则函数f(x)的图象是(　　)答案C解析f(x)=x-1的图象如图所示.故选C.9.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正实数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是(　　)A.1B.0C.-1D.2答案A解析f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1. ∴a3-2a2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).10函数f(x)=x+1+1-x+x2的定义域为(　　)A.{x|x∈R}B.{x|x>0}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-1<x<1}答案C解析要使函数有意义,需要满足x+1≥0,1-x≥0,解得-1≤x≤1,所以函数的定义域为{x|-1≤x≤1}.故选C.11已知φ(x)=2-x,f(φ(x))=3x2x2-1,则f32=(　　)A.-15B.15C.-13D.13答案A解析令φ(x)=32,则x=14,故x2=116,故f32=3×116116-1=-15.故选A.12已知函数f(x)=1mx2+2mx+1的定义域是一切实数,则实数m的取值范围是(　　)A.(-1,0)B.[0,1]C.[0,1)D.(0,1]答案C解析由题意mx2+2mx+1>0恒成立,当m=0时,mx2+2mx+1=1>0恒成立;当m≠0时,m>0,Δ=4m2-4m<0,解得0<m<1.综上,实数m的取值范围是[0,1).故选C.13.(多选下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=x,g(t)=tB.f(x)=x2(x≥0),g(x)=(x)2C.f(x)=x2-1x+1,g(x)=x-1D.f(x)=x+1·x-1,g(x)=x2-1答案AB解析对于A,两个函数的定义域都是实数集,且它们的对应关系也相同,故是同一个函数;对于B,f(x)=x2(x≥0),该函数的定义域是非负实数集,由g(x)=(x)2可知x≥0,该函数的定义域是非负实数集,且它们的对应关系也相同,故两个函数是同一个函数;对于C,函数f(x)=x2-1x+1的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),函数g(x)=x-1的定义域为全体实数集,故两个函数的定义域不相同,不是同一个函数;对于D,由f(x)=x+1·x-1可知x+1≥0,x-1≥0,解得x≥1,由g(x)=x2-1可知x2-1≥0,解得x≥1或x≤-1,故两个函数的定义域不相同,不是同一个函数.故选AB.14.(多选已知f(x)=x2-2x-3,x∈[0,a],a为大于0的常数,则f(x)的值域可能为(　　)A.[-4,-3]B.RC.[-4,10]D.[-3,10]答案AC解析f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,f(0)=-3.当a=1时,f(x)的值域为[-4,-3];由二次函数的性质可得值域不可能是R;当a>1且满足f(a)=10,即a=14+1时,f(x)的值域为[-4,10],无论a取任何正实数,二次函数的最小值一定小于-3,即值域不可能为[-3,10].故选AC.15.设f(x)=2x2+2,g(x)=1x+2,则g(f(2))=　　　　.  答案112解析∵f(x)=2x2+2,∴f(2)=10,∴g(f(2))=g(10)=110+2=112.16.(1)y=2x+1x-3的值域为　　　　　. (2)y=2x-x-1的值域为　　　　　. 答案(1)(-∞,2)∪(2,+∞)　(2)158,+∞解析(1)(分离常数法)y=2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+7x-3,显然7x-3≠0,故y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).(2)(换元法)令t=x-1,则x=t2+1,且t≥0,∴y=2(t2+1)-t=2t-142+158.由t≥0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为158,+∞.17求下列函数的定义域:(1)f(x)=x2-3x-4|x+1|-2;(2)f(x)=(2x+1)0-1x+1-1.解(1)要使函数有意义,只需x2-3x-4≥0,|x+1|-2≠0,解得x≤-1或x≥4且x≠-3,所以定义域为{x|x≤-1,或x≥4,且x≠-3}. (2)要使函数有意义,只需1x+1-1≥0,2x+1≠0,解得-1<x≤0且x≠-12,所以定义域为x-1<x≤0,且x≠-12.18.已知函数f(x)=2x21+x2.(1)求f(2)+f12,f(3)+f13的值;(2)求证:f(x)+f1x是定值;(3)求f(1)+f(2)+f12+f(3)+f13+…+f(2020)+f12020的值.(1)解∵f(x)=2x21+x2,∴f(2)+f12=2221+22+(12) 21+(12) 2=2221+22+11+22=2,f(3)+f13=2321+32+(13) 21+(13) 2=2321+32+11+32=2.(2)证明∵f(x)=2x21+x2,∴f1x=2(1x) 21+(1x) 2=21+x2,∴f(x)+f1x=2.(3)解由(2)知f(x)+f1x=2,∴f(i)+f1i=2(i=1,2,3,4,…,2020),又f(1)=1,∴f(1)+f(2)+f12+f(3)+f13+…+f(2020)+f12020=4039.19函数f(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.解(1)①若1-a2=0,即a=±1,当a=1时,f(x)=6,定义域为R,满足题意;当a=-1时,f(x)=6x+6,定义域不为R,不满足题意.②若1-a2≠0,令g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6,则g(x)为二次函数,∵f(x)的定义域为R,∴g(x)≥0对x∈R恒成立,∴1-a2>0,Δ=9(1-a)2-24(1-a2)≤0,即-1<a<1,(a-1)(11a+5)≤0,解得-511≤a<1.结合①②得,a的取值范围为-511,1.(2)f(x)的定义域为[-2,1],等价于不等式(1-a2)·x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1],显然1-a2≠0,∴1-a2<0且x1=-2,x2=1是方程(1-a2)x2+3·(1-a)x+6=0的两根,∴x1+x2=3(a-1)1-a2=-1,x1x2=61-a2=-2,即a2-3a+2=0,a2=4,解得a=2.