江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）

2022-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是　　．2．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为　　．3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为　　．4．双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为　　．5．若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为　　．6．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为　　．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有　　条．8．已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为　　．9．“a=b”是“a2=b2”成立的　　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）10．若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为　　．11．如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于　　．12．椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是　　．13．已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为　　．18/1914．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为　　．　二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：DE⊥AD．16．已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，﹣2），Q（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值．17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．18/1918．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．19．已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c的取值范围．20．把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．18/19（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．　18/192022-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是　∃x∈R，sinx＞1　．【考点】命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．　2．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为　y2=4x　．【考点】抛物线的标准方程．【分析】直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程，再由准线方程求得p，则抛物线标准方程可求．【解答】解：∵抛物线的准线方程为x=﹣1，∴可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由准线方程x=﹣，得p=2．∴抛物线的标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．　3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为　π　．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的体积公式，能求出结果．【解答】解：底面半径为1高为3的圆锥的体积为：V==π．故答案为：π．18/19　4．双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为　6　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得该双曲线的焦点在x轴上，且a=，b=，可得其渐近线方程为y=±x，进而结合题意可得=1，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：，则其焦点在x轴上，且a=，b=，故其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=1，解可得m=6；故答案为：6．　5．若直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直，则k的值为　﹣4　．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：x+4y﹣1=0与l2：kx+y+2=0互相垂直互相垂直，∴﹣•（﹣k）=﹣1，解得k=﹣4故答案为：﹣4　6．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为　（﹣1，1）　．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数y=x3﹣3x的单调递减区间．【解答】解：令y′=3x2﹣3＜018/19解得﹣1＜x＜1，∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．　7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有　4　条．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】画出正方体，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱有：DD1，CC1，A1D1，B1C1，共4条．故答案为：4．　8．已知函数f（x）=cosx+sinx，则的值为　0　．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=﹣sinx+cosx，则f′（）=﹣sin+cos=﹣+=0，故答案为：0　9．“a=b”是“a2=b2”成立的　充分不必要　条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若a2=b2，则a=b或a=﹣b，18/19即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．　10．若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为　±3　．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，圆心距=|t|=2+1，∴t=±3，故答案为±3．　11．如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于　　．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】根据题意，结合函数的图象可得f（4）=5，以及直线l过点（0，3）和（4，5），由直线的斜率公式可得直线l的斜率k，进而由导数的几何意义可得f′（4）的值，将求得的f（4）与f′（4）的值相加即可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（4）=5，直线l过点（0，3）和（4，5），则直线l的斜率k==又由直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f′（4）=，则有f（4）+f'（4）=5+=；故答案为：．　18/1912．椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是　[，1）　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，tan∠F1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）　13．已知A（3，1），B（﹣4，0），P是椭圆上的一点，则PA+PB的最大值为　　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，可知B为椭圆的左焦点，A在椭圆内部，设椭圆右焦点为F，借助于椭圆定义，把|PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求解．【解答】解：由椭圆方程，得a2=25，b2=9，则c2=16，∴B（﹣4，0）是椭圆的左焦点，A（3，1）在椭圆内部，18/19如图：设椭圆右焦点为F，由题意定义可得：|PB|+|PF|=2a=10，则|PB|=10﹣|PF|，∴|PA|+|PB|=10+（|PA|﹣|PF|）．连接AF并延长，交椭圆与P，则此时|PA|﹣|PF|有最大值为|AF|=∴|PA|+|PB|的最大值为10+．故答案为：10+　14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为　5　．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10），18/19当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整数k的最大值是5．故答案为：5．　二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：DE⊥AD．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出DE∥PC，由此能证明DE∥平面PAC．（2）推导出AD⊥PB，BC⊥AB，从而AD⊥BC，进而AD⊥平面PBC，由此能证明DE⊥AD．【解答】证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，所以DE∥PC，…又DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，故DE∥平面PAC．…18/19（2）因为AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，…因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，又BC⊥AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAB，…因为AD⊂平面PAB，所以AD⊥BC，…又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面ABC，故AD⊥平面PBC，…因为DE⊂平面PBC，所以DE⊥AD．…　16．已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为P（1，﹣2），Q（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，求b的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故可得圆心C的坐标，求出半径，即可求圆C的方程；（2）求出圆心C到直线y=2x+b的距离，利用直线y=2x+b被圆C截得的弦长为，建立方程，即可求b的值．【解答】解：（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故圆心C的坐标为（2，1），…圆C的半径，…所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．…（2）设圆心C到直线y=2x+b的距离是，…据题意得：，…18/19即，解之得，b=2或b=﹣8．…　17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．【解答】解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），18/19则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：　18．某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S．（1）写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S最小，并求出最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据体积公式求出h，再根据表面积公式计算即可得到S与x的关系式，（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）据题意，可知πx2h=3π，得，（2），令S′=0，得x=±1，舍负，当S′（x）＞0时，解得x＞1，函数S（x）单调递增，当S′（x）＜0时，解得0＜x＜1，函数S（x）单调递减，18/19故当x=1时，函数有极小值，且是最小值，S（1）=9π答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9π．　19．已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．【分析】（1）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b的值即可；（2）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围；（3）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．【解答】解：（1）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为：y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，导函数y=h′（x）过点（5，0）和（0，﹣10），代入h′（x）=2ax+b得：b=﹣10，a=1；（2）由（1）得：h（x）=x2﹣10x+c，h′（x）=2x﹣10，f（x）=8lnx+h（x）=8lnx+x2﹣10x+c，18/19f′（x）=+2x﹣10=，当x变化时（0，1）1（1，4）4（4，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗↘↗所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（4，+∞）．单调递减区间为（1，4），若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥4，解得0≤m≤或m≥4；故m的范围是：[0，]∪[4，+∞）．（3）若对任意k∈[﹣1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，即对k=﹣1时，x∈（0，8]，不等式c≤﹣x2﹣8lnx+10x恒成立，设g（x）=﹣x2﹣8lnx+10x，x∈（0，8]，则g′（x）=，x∈（0，8]，令g′（x）＞0，解得：1＜x＜4，令g′（x）＜0，解得：4＜x≤8或0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，4）递增，在（4，8]递减，故g（x）的最小值是g（1）或g（8），而g（1）=9，g（8）=16﹣24ln3＜4＜9，c＜4，故c≤g（x）min=g（8）=16﹣24ln3，即c的取值范围是（﹣∞，16﹣24ln3]．　20．把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．18/19（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由扇形FB1A1B2的面积为可得a，在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因为c2+b2=a2，可得c．（2）分①当θ∈（0，）；②当θ∈（）；③当θ∈（，）求出△A1PQ的周长；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示面积，再利用单调性求出范围．【解答】解：（1）∵扇形FB1A1B2的面积为=，∴a=2，圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）与y轴交点B2（0，b），在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因为c2+b2=a2，∴c=1．（2）显然直线PQ的斜率不能为0（θ∈（0，π）），故设PQ方程为：x=my+1由（1）得半椭圆方程为：（x≥0）与圆弧方程为：（x﹣1）2+y2=4（x＜0），且A1（﹣1，0）恰为椭圆的左焦点．18/19①当θ∈（0，）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，②当θ∈（）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，③当θ∈（，）时，P、Q在半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=018/19y1+y2=，y1y2=．|PQ|=，点A1到PQ的距离d=．△A1PQ的面积s=|PQ|•d=12．令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；∵g（t）=9t+在[1，+]上递增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，≤s≤3∴△A1PQ的面积不为定值，面积的取值范围为：[]　18/19