2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1.已知u耀，uu，则（）耀㌳䁣A.B.െu耀െC.uD.耀㌳䁣㌳2.关于的不等式的解集为（）െ等A.െെ䁃等㌳B.െ等C.െെ䁃等㌳D.െ等䁃3.设等差数列的前项和为，公差＝，且െ等＝，则㌳䁣＝（）A.等B.C.䁣D.4.若不等式等㌳耀െ的解集为െ等，则㌳耀的值为（）A.െB.C.D.䁣等5.已知等比数列中，等䁣，＝䁣，则＝（）A.等B.െ等C.等D.䁣6.已知在数列中，等㌳，则等等的值为（）㌳A.B.C.D.等等等䁣7.已知u，耀u，㌳耀＝，则㌳的最小值为（）耀㌳A.B.C.D.䁣等െ等8.已知数列耀满足耀等െെ，若数列耀是单调递减数列，则实数的等取值范围是（）A.െB.െC.െD.െ等等二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.)9.下列说法正确的有（）A.“＝耀”是“＝耀”的充分不必要条件B.“u”是“耀”的既不充分又不必要条件耀C.“”是“耀”的必要不充分条件试卷第1页，总7页 D.“u耀u”是“u耀等”的充要条件10.已知等差数列的前项和为，且u，等㌳＝，则（）A.B.当且仅当＝时，取得最大值C.䁣＝D.满足u的的最大值为等11.已知，耀均为正实数，且㌳耀＝，则（）等等A.㌳耀的最小值为B.耀㌳的最小值为等等耀C.㌳耀的最大值为等D.㌳的最大值为䁣耀12.对于数列，定义：耀െ，称数列耀是的“倒差数列”．下列叙述正确的有（）A.若数列单调递增，则数列耀单调递增B.若数列耀是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列C.若െെ，则数列耀没有最小值等D.若െെ，则数列耀有最大值等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.)13.命题“，等െ等㌳”的否定是________．14.在等比数列中，已知，则的值为________．15.已知u，u，㌳㌳，则㌳的最小值为________．16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前项依次是，等，䁣，，等，，等䁣，等，䁣，，则此数列第项的值为等െ等________，此数列的通项公式＝等．等四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在①㌳െ＝等，②的对称轴为，③＝等这三个条件中等任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．已知二次函数＝等㌳耀㌳，若_____，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围．试卷第2页，总7页 18.已知数列是公比u的等比数列，若㌳等㌳＝䁣，且等㌳是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设耀＝log等，数列的前项和为，若െ对恒成立，耀耀㌳等求满足条件的自然数的最小值．19.已知数列中，＝等，且满足െ等＝等㌳．㌳（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；等㌳等െ（2）求证：对于数列耀，耀㌳等耀等㌳㌳耀＝的充要条件是耀．等㌳20.已知函数．等െ（1）当＝时，求不等式u的解集；（2）若不等式等െ对任意等䁃恒成立，求实数的取值范围．21.如图，某森林公园内有一条宽为等百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为䳌䁨，到河两岸距离，相等，䳌，䁨分别在两岸上，䳌䁨．为方便游客观赏，拟围绕䳌䁨区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即䳌䁨的周长）为．设䁨＝百米．（1）试用表示线段䳌䁨的长度；（2）求关于的函数解析式，并求的最小值．22.已知数列为等差数列，公差为，前项和为．（1）若＝，＝等，求的值；（2）若＝െ，中恰有项在区间内，求的取值范围；等（3）若＝，＝，集合，问能否在集合中抽取到无穷多个不等全相等的元素组成一个新数列耀，使得此新数列耀满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：等耀数叫作数和数耀的调和平均数）．㌳耀试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.D2.C3.B4.B5.C6.C7.B8.A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.9.A,B,C10.A,C,D11.A,C,D12.B,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.13.，等െ等㌳u14.15.16.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.选①㌳െ＝等，∵＝等㌳耀㌳，∴㌳等㌳耀㌳㌳െ等െ耀െ＝等，整理可得，等㌳㌳耀＝等，∴㌳耀＝，∵＝等െ㌳对任意的恒成立，当＝时，对任意的恒成立，u∴等，解得䁣，െ䁣故䁣；选②：的对称轴为，等耀∴െ，等等∴耀＝െ，∵＝等െ㌳对任意的恒成立，当＝时，对任意的恒成立，u∴等，解得䁣，െ䁣试卷第4页，总7页 故䁣；选③：＝等，∴㌳耀㌳＝等即耀＝െ，∵＝等㌳െ㌳对任意的恒成立，当＝时，㌳不恒成立，u当时，等，解得െ等等㌳等等，െെ䁣故െ等等㌳等等．18.数列是公比u的等比数列，若㌳等㌳＝䁣，且等㌳是，的等差中项．㌳等㌳䁣所以，等等㌳㌳㌳㌳等䁣等整理得，解得，等㌳㌳等等故等．由于耀＝log等＝，所以െ，耀耀㌳㌳㌳所以െ㌳െ㌳㌳െെ，等等㌳㌳若െ对恒成立，等只需满足െ即可，等故䁣，即满足条件的自然数的最小值为䁣．19.数列中，＝等，且满足െ等＝等㌳．㌳㌳整理得െ（常数），等㌳等所以数列是以为首项，为公差的等差数列．等所以㌳െ，等所以等．证明：由于等，所以耀㌳等耀㌳㌳耀＝等①，等当＝时，耀＝等，当等时，耀㌳等耀㌳㌳െ耀െ等െ②，等െെ等㌳等①-②得：耀等െ，等等㌳等െ所以耀，（首项符合通项），㌳等െ所以耀，㌳等െ即数列耀，耀㌳等耀等㌳㌳耀＝的充要条件是耀．试卷第5页，总7页 等㌳20.当＝时，，等െ等㌳等െ等由u，即u，化为u，等െ等െ即等等，可得，则解集为；等㌳㌳㌳，等െ等െ㌳㌳െ等则等െെ㌳，等等െ等െ等等െ令＝等，因为等䁃，可得等䁣䁃，等等െ由题意可得㌳等െെ恒成立，等等即有㌳െmin，而＝െ在等䁣䁃递增，可得min＝等，等则㌳，解得െ，等等等则的取值范围是െ䁃．等等21.∵䳌䁨，∴䁨㌳䳌＝，在䳌中，䳌㌳䳌＝，∴䁨＝䳌，则䁨䳌，䁨䁨∴．䳌∵䁨＝，䁨等㌳䁨等㌳等，＝，㌳等㌳等∴䳌，㌳等则䳌䁨䳌等㌳䁨等㌳等㌳等㌳等㌳㌳；等等㌳等㌳等㌳㌳㌳，u．㌳等∵u，∴等㌳等㌳等等㌳㌳等等等㌳等．㌳等当且仅当㌳等，且，即＝时取“＝”．∴min等等㌳等，故景观桥总长的最小值为等等㌳等百米．试卷第6页，总7页 െ22.因为＝，＝等，又因为＝㌳，等所以＝㌳等＝；等设从第等项开始在内，则等uെ㌳െu等等െ，即有െ㌳െ等，解得等െ等െ等，等等㌳െ㌳㌳䁣㌳㌳䁣㌳െ㌳㌳等െ㌳䁣所以，解得等䁃，㌳等െ等所以＝，所以；因为＝，等＝㌳等＝，所以等＝等，＝等െ＝，所以＝，等①新数列耀中有两个相同和一个不同项，，，若，矛盾；㌳等若，解得＝，㌳所以，是两个不同项，且，，所以，所以新数列耀中有两个相同和一个不同项是不成立的；②新数列耀中有三个不同项，，，设＝，＝，＝，且，耀＝，耀等＝，等等则，即，㌳㌳等解得，设第四项为，则，等െ㌳等等െ即，等െ等െെ等等െ等等െെ等设第五项为，则，即等，㌳等െെ䁣െ等െെ等耀耀等耀െ等由数学归纳法可得耀，即െ耀uെ等耀等，u，െ耀െെ等耀等耀等െെ等当非常大时，趋向于，െ耀则，即耀耀等（与假设矛盾），故三项不同的数列耀也不存在．耀等综上可得，耀不存在．试卷第7页，总7页