2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.)1.设R，则“ͷݔെ“是“ݔെ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.不等式ݔെ的解集是（）香െA.െ䁃െ香䁃B.െ香䁃C.െ䁃D.െെ䁃െ3.已知数列中，െ，െ䁃，则െ等于()െെെA.െB.C.D.4.已知൐൐，൐，则下列关系式一定成立的是（）A.൐B.൐C.香൐D.䁃൐5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长ͷ尺，头部െ尺，重斤，尾部െ尺，重斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A.斤B.斤C.斤D.െͷ斤6.已知各项均为正数的等比数列中，，ͷ香，则䁃A.B.ͷC.െD.7.等差数列的公差为，关于的不等式香的解集为，则使数െ列的前项和最大的正整数的值是（）A.B.ͷC.D.8.设是数列的前项和，满足香െ，且൐，则䁃െA.െB.െെC.െെെD.െെ试卷第1页，总9页 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分.)9.关于的不等式香香ݔ的解集为䁃香䁃，则下列正确的是（）A.ݔB.关于的不等式香൐的解集为䁃C.香香൐െെD.关于的不等式香൐的解集为䁃香䁃10.当െ时，下列函数的最小值为的有（）A.＝香B.＝C.＝D.＝ͷ11.设首项为െ的数列的前项和为，且香െ香െ，则下列结论正确的是（）A.数列香为等比数列B.数列的通项公式为െെC.数列香െ为等比数列D.数列的前项和为香12.已知为等比数列，下列结论正确的是（）A.若＝，则香B.香ͷC.若＝ͷ，则െ＝D.若ͷ൐，则൐ͷ三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第15题第一格3分，第二格2分.)13.命题“൐，香ݔ”的否定为________．14.已知实数，满足൐且香＝，则香的最小值是െ________香．试卷第2页，总9页 െ，＝െ䁃15.已知数列满足：，设的前项和为െ香െ䁃香䁃െ，则当时，数列的通项公式为________；当െ时，െെ________．16.数列满足െ香香香ǤǤǤ香െ＝，若对任意൐，所有的正整数都有香൐成立，则实数的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知关于的不等式香ݔ的解集为空集，函数䁃＝香香在，香䁃上的值域为．（1）求实数的取值集合及函数䁃的值域；（2）对（1）中的集合，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18.已知正项等差数列的前项和为，若െ，且െ，，香െ成等比数列．െ䁃求的通项公式；䁃设，记数列的前项和为，求．19.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件时，该产品需另投入流动成本䁃െ万元．在年产量不足万件时，䁃香，在年产量不小于万件时，െ䁃香．每件产品的售价为ͷ元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．设年利润为䁃（单位：万元）．（1）若年利润䁃（单位：万元）不小于万元，求年产量（单位：万件）的范围；（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.设函数䁃＝香䁃香．（1）若䁃൐䁃香െ䁃香െ在െ香䁃恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式香䁃香൐．21.设数列的前项和为，满足香香香െ．且െെ，．（1）求证：数列香െ是等比数列并求数列的通项公式；试卷第3页，总9页 െ（2）令，求数列的前项和，若对任意都有൐，香െ香െ䁃香െ香െ䁃求实数的取值范围．22.设各项均为正数的数列的前项和为，已知数列满足香െ香െ䁃െ晦䁃，且െെ．（1）求数列的通项公式；（2）求的值使数列香香为等差数列；െ（3）数列满足，为数列的前项和，是否存在正整数，െݔെݔ䁃，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.B2.A3.C4.D5.D6.C7.B8.A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有选错或不选的得0分.9.A,C,D10.B,C,D11.A,D12.A,B,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第15题第一格3分，第二格2分.13.൐，香െ14.香െ15.െ,16.，）四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.＝时，ݔ的解集不是空集，൐时，若不等式香ݔ的解集为空集，则＝，则ͷ或െ，试卷第5页，总9页 ݔ香式等不的于关，时ݔ的解集不是空集，综上：，故＝െ；令＝香香䁃，则䁃＝+香＝+，当且仅当＝即＝ͷ时，䁃＝香，min故＝[香；∵是的必要不充分条件，∴是的真子集，∴香൐െ．18.解：െ䁃∵െ，即െ香香െ，∴െ，所以．又∵െ，，香െ成等比数列，∴香െ䁃，即䁃香香െ䁃，െ解得，或（舍去），∴െെ，故．െ䁃䁃，െെെെ∴െ香香香香䁃，①െെെെ①得െ香香െെെ香香ͷ䁃香䁃，②香െെെെ①-②得香香香െെെ香香䁃香െെെെ䁃െെെ香䁃െ香െെͷെെെ䁃，െ香െͷെെെ∴ͷ香ͷെ．19.䁃ͷ䁃，试卷第6页，总9页 െെ①当䁃时，䁃ͷ香䁃香，െ令香得：െ香，解得：，又∵䁃，∴ݔ，െെ②当香䁃时，䁃ͷ香䁃ͷ香䁃，െ令ͷ香䁃得：香െ，解得：ͷ，又∵香䁃，∴ͷ，综上所述，年产量的范围为：ͷ．െെ由（1）可知当䁃时，䁃香䁃香，∴时，䁃max，െെ当香䁃时，䁃ͷ香䁃ͷെͷ，当且仅当െ时，等号成立，∴െ时，䁃maxെͷ，∵ݔെͷ，∴当െ时，䁃取得最大值，最大值为െͷ，故当年产量为െ万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，且最大利润是െͷ万元．20.由䁃൐䁃香䁃香െ得：ͷ香െ䁃香൐在െ香䁃恒成立．令䁃＝香䁃香ͷ，则䁃的最小值大于，ͷ，，则，＝െ时，䁃min＝െ䁃＝香൐，则൐．，，则，＝时，ݔ，所以，即，所以．综上，．试卷第7页，总9页 ，＝，所以ݔ．，൐，方程的根＝．，即时，，或൐；，即时，ݔ，或；③时，即时，．，ݔ，则，＝，所以．综上，ݔ时）；＝时，䁃；时；解集为；时．21.证明：分别令െ，代入条件，െ＝香香െ得，香െ＝香香െ由于且െെ，，െെ所以＝，＝．െെ所以香＝香香െ①，െെ当时，െ香െ＝െ䁃香െ䁃香െ②，െെ①-②得：െ＝െ䁃香＝，所以െ，由于െെ香െ，香െെ所以＝（常数），െെ䁃香െെ所以数列香െ为等比数列且首项为െ，公比为．െെ所以＝香䁃െ．试卷第8页，总9页 െെ由，香െെെ则：＝，香െ䁃香െ香െ䁃െ香െെെെെെെെെെ所以＝香െെ香െ䁃香െ香െ香െ䁃香香െ香െ香െ䁃香െ．由于单调递增，െെെ所以：െ，䁃min＝＝，െ所以ݔ．22.数列满足香െ香െ䁃െ晦䁃，两边同除以香െ䁃，香െെെ整理得：＝，香െ香െെെെ所以＝，െെ…，െെെ＝െെെെ利用叠加法：＝െ，െ整理得െ．由于香െ，所以数列是以െ为首项，为公差的等差数列．െ䁃所以＝香＝．假设െ香香，香香，香െ香，成等差数列，故解得െ．当െ时，香香＝香െ，香െ香香െ䁃香香，所以香െ香香െ䁃香香香＝，所以െ时，数列香香为等差数列；െെെെെ数列满足＝䁃，െെെ香െെെെെെെ所以＝െ香香香䁃．ͷെ香െ香െ若存在正整数，，使得？则＝，整理得＝，香െ香െ䁃香െ由于െݔݔ，൐所以香െ，整理得െݔݔെ香，൐െ所以，െ，故存在整数，െ，满足题意．试卷第9页，总9页