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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题2 优化解答程序,构建答题模板 第2讲 常考的数列综合问题
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题2 优化解答程序,构建答题模板 第2讲 常考的数列综合问题
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第2讲 常考的数列综合问题数列通项公式的求解问题例2 设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.审题破题 (1)可令n=1,n=2得关系式联立求a1;(2)由已知可得n≥2时,2Sn-1=an-2n+1,两式相减.解 (1)当n=1时,2a1=a2-4+1=a2-3,①当n=2时,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7,②又a1,a2+5,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+5),③由①②③解得a1=1.(2)∵2Sn=an+1-2n+1+1,∴当n≥2时,有2Sn-1=an-2n+1,两式相减得an+1-3an=2n,则-·=1,即+2=.又+2=3,知是首项为3,公比为的等比数列,∴+2=3n-1,即an=3n-2n,n=1时也适合此式,∴an=3n-2n.第一步:令n=1,n=2得出a1,a2,a3的两个方程,和已知a1,a2,a3的关系联立求a1;第二步:令n≥2得关系式后,利用作差得an+1,an的关系;第三步:构造等比数列,并求出通项;第四步:求出数列{an}的通项.跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*).(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;(2)求证:数列为等比数列,并求出{an}的通项公式.(1)解 在Sn=2an+(-1)n,n≥1中分别令n=1,2,3,得解得(2)证明 由Sn=2an+(-1)n,n≥1,得Sn-1=2an-1+(-1)n-1,n≥2.两式相减得an=2an-1-2(-1)n,n≥2.4\nan=2an-1-(-1)n-(-1)n=2an-1+(-1)n-1-(-1)n,∴an+(-1)n=2(n≥2).故数列是以a1-=为首项,公比为2的等比数列.所以an+(-1)n=×2n-1,∴an=×2n-1-×(-1)n.数列求和问题例3 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(其中k∈N*),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn.审题破题 (1)由Sn的最大值,可根据二次函数性质求k,因而确定an;(2)利用错位相减法求和.解 (1)当n=k∈N*时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2).又a1=S1=,所以an=-n.(2)设bn==,Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.第一步:利用条件求数列{bn}的通项公式;第二步:写出Tn=b1+b2+…+bn的表达式;4\n第三步:分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如:公式法、裂项法,本题用错位相减法);第四步:明确规范表述结论;第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.如本题中在求an时,易忽视对n=1,n≥2时的讨论.跟踪训练3 已知点是函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前n项和为f(n)-c.数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+(n≥2).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若数列的前n项和为Tn,问满足Tn>的最小正整数n是多少?解 (1)∵f(1)=a=,∴f(x)=x.由题意知,a1=f(1)-c=-c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-.又数列{an}是等比数列,∴a1===-=-c,∴c=1.又公比q==,∴an=-·n-1=-2·n(n∈N*).∵Sn-Sn-1=(-)(+)=+(n≥2).又bn>0,>0,∴-=1.∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列,=1+(n-1)×1=n,即Sn=n2.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,b1=1也适合此通项公式.∴bn=2n-1(n∈N*).(2)Tn=+++…+=+++…+=×+×+×+…+×=×=.由Tn=>,得n>,4\n∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.4
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:16:04
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文章作者:U-336598
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