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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第10讲 关于计算过程的再优化
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第10讲 关于计算过程的再优化
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第10讲 关于计算过程的再优化[方法精要] 中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变形,初等函数的运算和求值,各种几何量的测量与计算,求数列和函数、概率、统计的初步计算等.《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本,运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.数学运算,都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的,尤其是概念,它是思维的形式,只有概念明确、理解透彻,才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化,对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中,对于运算求解能力的培养至关重要.提高数学解题能力,首先是提高数学的运算求解能力,可以从以下几个方面入手:1.培养良好的审题习惯.2.培养认真计算的习惯.3.培养一些常用结论的记忆的能力,记住一些常用的结论,比如数列求和的公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),三角函数中的辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+θ)等等.4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径,任何能力都是有计划、有目的地训练出来的,提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.5.提高运算基本技能,必须要提高学生在运算中的推理能力,这就首先要清楚运算的定理及相关理论.6.增强自信是解题的关键,自信才能自强,在数学解题中,自信心是相当重要的.题型一 化繁为简,优化计算过程例1 过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为________.破题切入点 本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式,先设出直线方程x=my+,表示出△AOB的面积,然后探讨面积最大时m的取值,得到直线的斜率.答案 -解析 由y=得,x2+y2=1(y≥0),设直线方程为x=my+,m<0(m≥0不合题意)代入x2+y2=1(y≥0),整理得,(1+m2)y2+2my+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=,则△AOB的面积为×|y1-y2|=|y1-y2|,-8-\n因为|y1-y2|=====≤=,当且仅当=,即m2-1=2,m=-时取等号.此时直线方程为x=-y+,即y=-x+,所以直线的斜率为-.题型二 运用概念、性质等优化计算过程例2 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若BC=2BF,且AF=3,则此抛物线的方程为________.破题切入点 由抛物线的定义解题.答案 y2=3x解析 如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知,AF=AA1,BF=BB1,∵BC=2BF,∴BC=2BB1,∴∠BCB1=30°,∴∠A1AF=60°.连结A1F,则△A1AF为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于N,则NF=A1F1=AA1=AF,即p=,∴抛物线方程为y2=3x.-8-\n题型三 代数运算中加强“形”的应用,优化计算过程例3 设b>0,数列{an}满足a1=b,an=(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,an≤+1.破题切入点 结合题目中an的表达式可知,需要构造an新的形式=+·,得到新的数列,根据新数列的形式求和;不等式的证明借用放缩完成.(1)解 由a1=b>0,知an=>0,=+·.令An=,A1=,当n≥2时,An=+An-1=++…++A1=++…++.①当b≠2时,An==,②当b=2时,An=.综上,an=(2)证明 当b≠2时,(2n+1+bn+1)=(2n+1+bn+1)(bn-1+2bn-2+…+2n-1)=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn(++…++++…+)>2nbn(2+2+…+2),=2n·2nbn=n·2n+1bn,∴an=<+1.当b=2时,an=2=+1.综上所述an≤+1.-8-\n总结提高 数学学习最重要的是创造能力,而解题则是培养学生创造能力的最好手段.通过解题,可以提高运算求解能力,锻炼应付各种复杂情况的机智,以及掌握克服各种困难所需要的若干常规方法和技巧.因此平时练习中应注重学生运算求解能力的训练,运算求解能力提高了,解题水平就可以提高.1.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是________.答案 0≤m≤4解析 根据题意mx2+mx+1≥0(x∈R)恒成立,当m=0时,满足不等式;当m≠0时,须满足解得0<m≤4,综上0≤m≤4.2.已知函数f(x-)=x2+,则f(3)的值为________.答案 11解析 ∵f(x-)=(x-)2+2,∴f(3)=9+2=11.3.定义运算:(aD○+b)⊗x=ax2+bx+2,若关于x的不等式(aD○+b)⊗x<0的解集为{x|1<x<2},则关于x的不等式(bD○+a)⊗x<0的解集为________.答案 ∪(1,+∞)解析 1,2是方程ax2+bx+2=0的两实根,1+2=-,1×2=,解得由(-3D○+1)⊗x=-3x2+x+2<0,得3x2-x-2>0,解得x<-或x>1.4.已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值与0的大小关系为________.答案 f(a1)+f(a3)+f(a5)>0解析 因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(x)是R上的增函数,所以当x>0,时有f(x)>f(0)=0,当x<0时有f(x)<f(0)=0,因为a3>0,所以有f(a3)>0.因为数列{an}是等差数列,所以=a3>0⇒a1+a5>0⇒a1>-a5⇒f(a1)>f(-a5).又f(-a5)=-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,即有f(a1)+f(a3)+f(a5)=[f(a1)+f(a5)]+f(a3)>0.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,则b=________.答案 4解析 在△ABC中,sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有a·=3··c,化简并整理得2(a2-c2)=b2.又由已知a2-c2=2b,则4b=b2,解得b=4或b=0(舍).6.已知直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点,若P(2,2)为AB的中点,则直线AB的方程为________.答案 x-y=0-8-\n解析 ∵点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=4x上,∴∴y-y=4x2-4x1,即=.因为P(2,2)为AB的中点,所以y2+y1=4,所以直线AB的斜率k===1,所以直线AB的方程为x-y=0.7.抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是________.答案 [-2,]解析 易知切线方程为:y=2x-1,所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A(0,0),B(,0),C(0,-1).易知过C点时有最小值-2,过B点时有最大值.8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已有A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求△ABC的面积.(1)证明 由bsin(+C)-csin(+B)=a,应用正弦定理,得sinBsin(+C)-sinCsin(+B)=sinA,sinB(sinC+cosC)-sinC(sinB+cosB)=,整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B-C)=1.由于0<B,C<π,从而B-C=.(2)解 B+C=π-A=,因此B=,C=.由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,所以△ABC的面积S=bcsinA=sinsin=cossin=.9.已知奇函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,当0≤θ≤-8-\n时,是否存在实数m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有的θ∈均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m;若不存在,请说明理由.解 ∵f(x)在R上为奇函数,又在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)在R上为增函数,且f(0)=0.由题设条件可得,f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0.又由f(x)为奇函数,可得f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m).∵f(x)在R上为增函数,∴cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.令cosθ=t,∵0≤θ≤,∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2>0恒成立.∴t2-2>m(t-2),即m>恒成立.又∵=(t-2)++4≤4-2,∴m>4-2,∴存在实数m满足题设的条件,即m>4-2.10.已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点,且·=0,求+的值.解 (1)因为e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,∵双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2,∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2,∴a2=4,所以所求双曲线方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1得∴|OP|2=x2+y2=.-8-\n∵·=0,∴直线OQ的方程为y=-x,同理可得|OQ|2==,∴+===.11.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.解 (1)方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆.设=k,即y=kx,则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由=,解得k2=3,所以kmax=,kmin=-.即的最大值为,最小值为-.(2)设y-x=b,则y=x+b,转化为求直线y=x+b的截距的最值,圆心到直线的距离≤,解得-2-≤b≤-2+,所以y-x的最大值和最小值分别为-2+和-2-.(3)x2+y2是圆C上点与原点O的距离的平方,故连结OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,则(x2+y2)max=|OC′|2=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4.12.已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-成立.(1)解 由f(x)=xlnx,x>0,得f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.-8-\n当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.①当0<t<,f(x)min=f()=-;②当≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.所以f(x)min=.(2)解 2xlnx≥-x2+ax-3,x∈(0,+∞),则a≤2lnx+x+,设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=,①当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,②当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,因为对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤h(x)min=4.即a≤4.(3)证明 问题等价于证明xlnx>-(x∈(0,+∞)).由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到,设m(x)=-(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,易知m(x)max=m(1)=-,当且仅当x=1时取到.从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-成立.-8-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:16:02
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