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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第1讲 待定系数法的应用策略
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第1讲 待定系数法的应用策略
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第1讲 待定系数法的应用策略[方法精要] 对于某些数学问题,如果得知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数(或参数)来表示这种结果,然后利用已知条件通过变形与比较,根据恒等关系列出含有待定系数的方程(组),解之即得待定的系数,进而使问题获解,这种常用的数学基本方法称之为“待定系数法”.待定系数法的实质是方程思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(组)求得未知数.运用待定系数法求解问题,其基本步骤是:第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.题型一 用待定系数法求函数的解析式例1 已知函数f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次项系数大于零,若f(g(x))=4x2-20x+25,求g(x)的表达式.破题切入点 一次函数的解析式具有固定的形式y=kx+b,求函数的解析式就是求出参数k,b,根据f(g(x))=4x2-20x+25,比较函数两边的系数即可解决问题.解 ∵g(x)为一次函数,设g(x)=kx+b(k>0),∵f(g(x))=4x2-20x+25,∴f(kx+b)=4x2-20x+25,即k2x2+2kbx+b2=4x2-20x+25,∴又k>0,解得k=2,b=-5,∴g(x)=2x-5.题型二 用待定系数法求曲线方程例2 已知点P(4,4),圆C:(x-m)2+y2=5(m<3)与椭圆E:+=1(a>b>0)有一个公共点A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,直线PF1与圆C相切.(1)求m的值与椭圆E的方程;(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求·的取值范围.破题切入点 圆过点A,将坐标代入就可以确定m的值,椭圆过点A,只要能求出椭圆的焦点坐标问题就解决了,这可以用直线PF1与圆C相切解决;由于点A、点P都是定点,故·仅仅依赖于椭圆上点的坐标,结合椭圆上点的坐标的关系解决.解 (1)点A代入圆C方程,得(3-m)2+1=5.∵m<3,∴m=1.圆C:(x-1)2+y2=5.设直线PF1的斜率为k,则PF1:y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0.∵直线PF1与圆C相切,∴=.解得k=或k=.-6-\n当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0).∵2a=AF1+AF2=5+=6,a=3,a2=18,b2=2,∴椭圆E的方程为+=1.(2)=(1,3),设Q(x,y),=(x-3,y-1),·=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.∵+=1,即x2+(3y)2=18,而x2+(3y)2≥2|x|·|3y|,∴-18≤6xy≤18.则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36].x+3y的取值范围是[-6,6].∴·=x+3y-6的取值范围是[-12,0].题型三 待定系数法在数列中的应用例3 数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成等比数列.(1)求c的值;(2)求{an}的通项公式;(3)求数列{}的前n项之和Tn.破题切入点 根据通项公式和a1,a2,a3成等比数列就可以列出c满足的关系式,即可求出c的值;根据公式an+1=an+cn写出相邻项之间的关系式,然后利用累加法求出数列的通项公式;数列求和常用的方法是错位相减法,求和时防止“漏项”或“添项”.解 (1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.∵c≠0,∴c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,所以an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=c.又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立,所以an=n2-n+2(n=1,2,…).(3)令bn==(n-1)()n,Tn=b1+b2+b3+…+bn-6-\n=0+()2+2()3+3()4+…+(n-1)()n,①Tn=0+()3+2()4+…+(n-2)()n+(n-1)()n+1,②①-②得:Tn=1-(n+1)()n.总结提高 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程.要判断一个问题是否适用待定系数法求解,关键是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果有,就可以用待定系数法求解.例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解.1.若f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,则f(-1)的值为________.答案 8解析 由已知得解得∴f(x)=x2-4x+3,∴f(-1)=(-1)2-4(-1)+3=8.2.若焦点在x轴上的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是________.答案 x±y=0解析 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则它的一个焦点到一条渐近线的距离为d,则d=c,所以渐近线与x轴的夹角为30°,∴tan30°==,因此其渐近线方程为x±y=0.3.二次不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),则a+b的值是________.答案 -14解析 因为不等式的解集是(-,),所以-,是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个根,所以解得所以a+b=-14.4.若f(x)=ax2-,a为一个正的常数,且f[f()]=-,则a=________.答案 解析 ∵f()=a·()2-=2a-,∴f[f()]=a·(2a-)2-=-,-6-\n∴a·(2a-)2=0.∵a为一个正常数,∴2a-=0,∴a=.5.函数f(x)=ax2+2x-3+b(a>0,且a≠1)恒过定点(1,6),则b的值是________.答案 5解析 由于函数恒过定点(1,6),所以函数值与a无关,所以当x=1时,x2+2x-3=0,即a0+b=6,所以b=5.6.若向量a和b是不共线的向量,且=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A,B,C三点共线的条件是________.答案 λ1λ2=1解析 因为A,B,C三点共线,所以存在实数μ(μ≠0),使得=μ,所以λ1a+b=μ(a+λ2b),即λ1=μ且1=μλ2,所以λ1λ2=1.7.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是________.答案 (x-2)2+(y-1)2=1解析 根据题意设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1(a>0,b>0),则b=1且=1,又因为a>0,解得a=2,b=1,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.8.已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点,弦AB过F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆的方程为________.答案 +=1解析 根据椭圆的定义,△ABF2的周长为4a,即4=8,解得k=2,故在这个椭圆中a=2,b=,故椭圆方程为+=1.9.若函数y=a-bsinx(b>0)的最大值为,最小值为-,求函数y=-4asinbx的最值和最小正周期.解 根据题意,sinx∈[-1,1],因为b>0,所以sinx=-1时函数有最大值,sinx=1时函数有最小值,所以解得所以y=-2sinx,所以函数y=-2sinx的最大值是2,最小值是-2,周期是2π.10.如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:x-y-1=0上,求直线方程.-6-\n解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x+2y-2=0.设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0,即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1),∴(1+λ)(-1)+(2-λ)·1-2-λ=0.解得λ=-.∴所求直线方程为2x+7y-5=0.11.已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,b4=54,a1+a2+a3=b2+b3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)数列{cn}满足cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.解 (1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由b4=b1q3,得q3==27,从而q=3,因此bn=b1·qn-1=2·3n-1,又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24,∴a2=8,从而d=a2-a1=6,故an=a1+(n-1)·6=6n-4.(2)cn=anbn=4·(3n-2)·3n-1,令Tn=1×30+4×31+7×32+…+(3n-5)·3n-2+(3n-2)·3n-1.3Tn=1×31+4×32+7×33+…+(3n-5)·3n-1+(3n-2)·3n.两式相减得-2Tn=1+3×31+3×32+3×33+…+3×3n-1-(3n-2)·3n=1+3×-(3n-2)·3n=1+-(3n-2)·3n,∴Tn=+,故Sn=4Tn=7+(6n-7)·3n.12.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||、||、||成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率;(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解 (1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d,由勾股定理可得:(m-d)2+m2=(m+d)2,得:d=m,tan∠AOF=,tan∠AOB=tan2∠AOF==,-6-\n由倍角公式:=,解得=,则离心率e=.(2)过F直线方程为y=-(x-c)与双曲线方程-=1联立,将a=2b,c=b代入,化简有x2-x+21=0.4=|x1-x2|=,将数值代入,有4=,解得b=3,最后求得双曲线方程为-=1.-6-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:16:02
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