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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第8讲 构造法在解题中的应用
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第8讲 构造法在解题中的应用
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第8讲 构造法在解题中的应用[方法精要] 在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连结条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,称为构造法.解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思考,但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难,甚至无从着手.在这种情况下,经常要求我们改变思维方向,换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径.构造法就是这样的手段之一.构造法作为一种数学方法,不同于一般的逻辑方法,一步一步寻求必要条件,直至推导出结论,它属于非常规思维.其本质特征是“构造”,用构造法解题,无一定之规,表现出思维的试探性、不规则性和创造性.数学证明中的构造法一般可分为两类,一类为直接性构造法,一类为间接性构造法.题型一 构造向量解决不等式的问题例1 若直线+=1通过点M(cosα,sinα),则下列正确的有________.①a2+b2≤1;②a2+b2≥1;③+≤1;④+≥1.破题切入点 根据点在直线上可以得到+=1,联想向量的数量积的坐标运算法则,可以构造向量.答案 ④解析 设向量m=(cosα,sinα),n=(,),由题意知+=1,由m·n≤|m||n|可得1=+≤.所以+≥1.题型二 构造不等式解决证明问题例2 已知a,b,c>0,证明:++≥.破题切入点 直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式.观察其结构特点,必须想办法去掉不等式左端各项的分母,为此可以做变换:在不等式两端都加上,即我们证明不等式+++≥a+b+c,这时把拆成++,就可以构造轮换不等式了.证明 证明++≥,-7-\n即证+++≥a+b+c,即证+++++≥a+b+c.又因为+≥a,+≥b,+≥c,所以所证三式相加,不等式成立.题型三 构造函数最值、比较大小的问题例3 已知f(x)=3-4x+2xln2,数列{an}满足-<an<0,21+an+1=f(an)(n∈N*).(1)求f(x)在[-,0]上的最大值和最小值;(2)判断an与an+1(n∈N*)的大小,并说明理由.破题切入点 (1)直接按照导数研究函数的方法解决.(2)根据给出的条件21+an+1-21+an=f(an)-21+an,可以构造函数g(x)=f(x)-2x+1,通过研究这个函数解决问题.解 (1)f′(x)=(1-4x)ln4,当-<x<0时,0<1-4x<,∴f′(x)>0,∴f(x)=3-4x+2xln2在[-,0]上是增函数,∴f(x)max=f(0)=2;f(x)min=f(-)=-ln2.(2)由21+an+1-21+an=f(an)-21+an,记g(x)=f(x)-2x+1得g′(x)=f′(x)-2x+1ln2=(1-2x-4x)ln4,当-<x<0时,<2x<1,<4x<1.故1-2x-4x<1--<0,所以g′(x)<0,得g(x)在(-,0)上是减函数,所以g(x)>g(0)=f(0)-2=0,∴f(an)-21+an>0,即21+an+1-21+an>0,得an+1>an.题型四 构造数列解决数列求和的问题例4 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2Sn·Sn-1(n≥2).(1)求出通项公式an.(2)求证:S+S+…+S≤-.破题切入点 (1)首先根据已知条件求出Sn的通项公式,进而求出通项an.(2)利用放缩法和拆项法证明.(1)解 因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),-7-\n所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1,两边同除Sn·Sn-1,得-=2(n≥2),所以数列{}是以==2为首项,以d=2为公差的等差数列.所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.又因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),所以当n≥2时,an=-2Sn·Sn-1=-2··=,所以an=(2)证明 因为S=<=(-),S=,所以当n≥2时,S+S+…+S=++…+<+(1-)+…+(-)=-,当n=1时,S==-.综上S+S+…+S≤-.总结提高 用构造法解题时,被构造的对象是多种多样的,按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等,从上面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的,没有固定的程序和模式,不可生搬硬套.但可以尝试从中总结规律,在运用构造法时,一要明确构造的目的,即以什么目的而构造;二要弄清楚问题的特点,以便依据特点确定方案,实现构造.1.在空间四边形ABCD中,·+·+·的值为________.答案 0解析 如图,选取不共面的向量,,为基底,-7-\n则原式=·(-)+·(-)+·(-)=·-·+·-·+·-·=0.2.已知数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则数列{an}的通项公式为________.答案 an=2n-1解析 因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1.3.函数f(x)=+的值域是________.答案 [5,+∞)解析 f(x)=+其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)和N(5,-1)的距离之和(如图),为求其值域只要求其最值即可,易知当M,N,P三点共线(即P在线段MN上)时,f(x)取得最小值,f(x)min=MN==5,无最大值,故得函数的值域为[5,+∞).4.如图,已知球O的球面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积为________.答案 π解析 如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以|CD|==2R,所以R=,故球O的体积V==π.5.已知a=ln-,b=ln-,c=ln--7-\n,则a,b,c的大小关系为________.答案 a>b>c解析 令f(x)=lnx-x,则f′(x)=-1=.当0<x<1时,f′(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上是增函数.∵1>>>>0,∴a>b>c.6.若a>b>c>0,则,,的大小关系是________.答案 <<解析 构造函数f(x)=log2(x+1),问题就是函数f(x)图象上的三个点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))与原点连线的斜率在比较大小,观察图象即得.7.若x2+y2=3,a2+b2=4(x,y,a,b∈R),则ax+by的取值范围是________.答案 [-2,2]解析 构造向量m=(x,y),n=(a,b),θ为m与n的夹角,则ax+by=m·n=|m||n|cosθ=×cosθ=2cosθ.∵-1≤cosθ≤1,∴-2≤2cosθ≤2.∴ax+by的最小值为-2,最大值为2.8.在平面直角坐标系中,椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M.若过点P(,0),所作圆M的两切线互相垂直,则该椭圆的离心率为________.答案 解析 过点(,0)作圆的两切线互相垂直,如图,这说明四边形OAPB是一个正方形,即圆心O到点P(,0)的距离等于圆的半径的倍,即=a,故e==.9.设a>b>c且a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求a+b的范围.解 由a+b+c=1得a+b=1-c,①将①的两边平方并将a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c,②由①②可知,a,b是方程x2+(c-1)x+(c2-c)=0的两个不等的实根,于是Δ=(c-1)2-4(c2-c)=-3c2+2c+1>0,解得-<c<1,-7-\n又由a+b=1-c>2c,得c<,∴-<c<,即-<1-(a+b)<,∴<a+b<.10.求证:≤+.(提示:|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时取等号)证明 设f(x)=(x≥0),由|a+b|≤|a|+|b|,又f(x)在[0,+∞)上是一个单调递增函数,所以有f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),所以≤=+≤+.即原式得证.11.求值cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°.解 以单位长1为边长作正五边形A1A2A3A4A5,且与x轴正方向夹角为5°.由正五边形内角108°,得x轴正方向逆时针转到,,,的角分别为77°,149°,221°,293°.∵++++=0,又因为和向量的投影等于各个向量投影的和,∴,,,,在x轴上投影的和为0,即||cos5°+||cos77°+||cos149°+||cos221°+||cos293°=0,∴cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°=0.12.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足a=4Sn+4n+1,n∈N*,且a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;-7-\n(2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,(Tn+)k≥3n-6恒成立,求实数k的取值范围.解 (1)当n≥2时,由题设知4Sn-1=a-4(n-1)-1,∴4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4,∴a=a+4an+4=(an+2)2,∵an>0,∴an+1=an+2.∴当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列.∵a2,a5,a14构成等比数列,∴a=a2·a14,(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3,由条件可知,4a1=a-5=4,∴a1=1,∵a2-a1=3-1=2,∴{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴等差数列{an}的通项公式为an=2n-1.∵等比数列{bn}的公比q===3,∴等比数列{bn}的通项公式为bn=3n.(2)Tn===,∴(+)k≥3n-6对任意的n∈N*恒成立,∴k≥对任意的n∈N*恒成立,令cn=,cn-cn-1=-=,当n≤3时,cn>cn-1;当n≥4时,cn<cn-1.∴(cn)max=c3=,∴k≥.-7-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:15:59
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