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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第3讲 换元法在解题中的应用
【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第3讲 换元法在解题中的应用
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第3讲 换元法在解题中的应用[方法精要] 一般而言,在数学问题中,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法称为换元法.某些数学问题通过这种换元,往往可以暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质,发现解题途径.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法,其特点是通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,把条件与结论联系起来,把陌生的形式转变为熟悉的形式.高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等.换元法应用广泛,如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等,在解析几何中也有广泛的应用.题型一 换元法求函数的解析式例1 已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).破题切入点 通过引入参数,令1-cosx=t,将原式转化为含有t的式子,从而得到函数f(x)的表达式,特别注意写出函数f(x)的定义域.解 令1-cosx=t,则t∈[0,2],所以cosx=1-t,所以f(t)=sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t,所以f(x)=-x2+2x(0≤x≤2).题型二 换元法在不等式中的应用例2 已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:++≤3.破题切入点 换元法在不等式中的应用主要体现在不等式的证明中,把原不等式中的参数用某一个或几个量表示,然后利用取值范围进行比较.证明 设++=k,再设=+t1,=+t2,=+t3,其中t1+t2+t3=0,∴3a+1+3b+1+3c+1=(+t1)2+(+t2)2+(+t3)2,即6=+k(t1+t2+t3)+t+t+t=+(t+t+t),∴6≥,解得k≤3,∴++≤3.题型三 换元法在三角函数中的应用例3 已知函数y=2+2sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,],求函数的最大值和最小值.-5-\n破题切入点 题目中的未知量较多,解题时选择适当的三角函数式作为辅助未知量,可以利用正弦与余弦之间的关系,设sinx+cosx=t,则2sinxcosx=t2-1,把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示,并根据这个未知量的范围解决最值问题.解 令sinx+cosx=t,因为x∈[0,],所以t∈[1,],由(sinx+cosx)2=t2得2sinxcosx=t2-1,所以原函数变为y=t2+t+1,t∈[1,],因为y=t2+t+1的对称轴是t=-,所以函数y=t2+t+1在t∈[1,]上单调递增.所以t=时函数有最大值ymax=()2++1=3+;t=1时函数有最小值ymin=3.总结提高 换元法不仅是重要的解题方法,也是解高考题的热点方法之一,掌握它的关键在于通过观察、联想发现构造出变换式,常见的基本换元形式有等式代换、三角代换、均值代换、和差代换等.1.已知f()=2x,则函数f(x)的解析式是________.答案 f(x)=2-2x2(x≥0)解析 令=t,t≥0,则x=1-t2,所以f(t)=2-2t2(t≥0).所以f(x)=2-2x2(x≥0).2.已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=________.答案 3解析 因为log210与lg2互为倒数,所以lg(log210)与lg(lg2)互为相反数.不妨令lg(log210)=x,则lg(lg2)=-x,而f(x)+f(-x)=ax3+bsinx+4+a(-x)3+bsin(-x)+4=8,故f(-x)=8-f(x)=8-5=3.3.若函数y=f(x)的值域是[,3],则函数F(x)=f(x)+的值域是________.答案 [2,]解析 令t=f(x),则t∈[,3],则F(x)=f(x)+可化为y=t+,t∈[,3],易知,当t=1时,y有最小值2,当t=3时,y有最大值.故函数F(x)的值域为[2,].4.函数f(cosx)=cos2x-3cosx+2的最小值为________.-5-\n答案 0解析 设t=cosx,则f(t)=t2-3t+2,t∈[-1,1],所以有f(t)=(t-)2-.结合二次函数的单调性,可知当t=1时,函数f(t)有最小值即为0.5.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)=________.答案 解析 令t=,得x=,∴f(t)==,∴f(x)=.6.若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是________.答案 +解析 由0<x≤,令t=sinx+cosx=sin(x+),而<x+≤π,得1<t≤.又t2=1+2sinxcosx,得sinxcosx=,得y=t+=(t+1)2-1,有1+0<y≤+=+.所以y的最大值为+.7.已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值为________.答案 2008解析 令t=3x,则x=log3t,f(t)=4log3tlog23+233=4log23+233=4log2t+233,所以f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=4×(1+2+3+…+8)+8×233=144+1864=2008.8.函数y=x+4+的最小值是________.答案 1解析 由9-x2≥0得-3≤x≤3,-5-\n故可令x=3sinθ(θ∈[-,]),则y=3sinθ+4+=3sinθ+3cosθ+4=3sin(θ+)+4.又θ+∈[-,],所以sin(θ+)∈[-,1],所以y∈[1,3+4].9.若cos2x+2msinx-<0恒成立,试求实数m的取值范围.解 原式化为1-sin2x+2msinx-<0,则sin2x-2msinx+>0,即(sinx-m)2-m2+>0恒成立.令t=sinx,f(t)=(t-m)2-m2+(-1≤t≤1).若m<-1,则当t=-1时,f(t)有最小值f(-1)=2m+,所以2m+>0,即m>-,所以-<m<1.若m>1,则当t=1时,f(t)有最小值f(1)=-2m,所以-2m>0,即m<,所以1<m<.当-1≤m≤1时,f(t)有最小值f(m)=-m2.所以-m2>0.所以-1≤m≤1.综上,m的取值范围是-<m<.10.在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点,求S=x+y的最大值.-5-\n解 根据分析,令=cosθ,y=sinθ,则x=cosθ,故可设动点P的坐标为(cosθ,sinθ),其中0≤θ<2π.因此S=x+y=cosθ+sinθ=2(cosθ+sinθ)=2sin(θ+).所以当θ=时,S取最大值2.11.若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,求实数a的取值范围.解 方法一 设2x=t,则函数f(x)=4x+a·2x+a+1化为g(t)=t2+at+a+1(t∈(0,+∞)).函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,等价于方程t2+at+a+1=0,①有正实数根.(1)当方程①有两个正实根时,a应满足解得-1<a≤2-2;(2)方程①有一正根一负根时,只需t1·t2=a+1<0,即a<-1;(3)方程①有一根为0时,a=-1,此时方程①的另一根为1.综上可知a≤2-2.方法二 令g(t)=t2+at+a+1(t∈(0,+∞)).(1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足解得-1<a≤2-2.(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1=0,a=-1,此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.综合(1)(2)(3)知a≤2-2.-5-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:16:01
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