【考前三个月】（江苏专用）2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第7讲 配凑法在解题中的应用

第7讲　配凑法在解题中的应用[方法精要]　为解答某些数学问题，常在运算或证明过程中巧妙地配上一些适当的数或式，凑成某一合适的形式，以使问题迅速解决，我们称这类解题技巧为配凑法．当题目给出的信息按照常规思路难以处理或结构差异比较明显时，常借助题目中的信息或特定的背景利用配凑法解决．题型一　配凑法在函数中的应用例1　已知f(x)－2f()＝x，求f(x)的解析式．破题切入点　x与互为倒数，故可用代替x，类似解方程组，消去f()，即可求出f(x)的解析式．解　因为f(x)－2f()＝x，用代替x可得f()－2f(x)＝，联立消去f()可得f(x)＝－，所以f(x)的解析式是f(x)＝－.题型二　配凑法在三角函数中的应用例2　求cos20°cos40°cos60°cos80°.破题切入点　20°、40°、80°恰好有二倍角的关系，而cos60°＝可不必考虑变形，有二倍角的关系即可联想到二倍角公式的应用，故分子、分母同乘2sin20°配凑成二倍角公式，反复利用二倍角公式即可．解　cos20°cos40°cos60°cos80°＝＝·＝·＝·＝·＝.题型三　配凑法在数列中的应用例3　设{an}是公比为q的等比数列．(1)求{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．-6-\n破题切入点　本题求数列的通项公式要分类讨论，分公比等于1和不等于1两种情况，当公比不等于1时，在前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an的两边同乘以q，得到qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan，配凑成错位相减的方法，然后整理就可以求出前n项和公式．解　(1)分两种情况讨论．①当q＝1时，数列{an}是首项为a1的常数列，所以Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.②当q≠1，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，两边同时乘以q(配凑成错位同类项)qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan.上面两式错位相减：(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan＝a1－qan.所以Sn＝＝.综上，Sn＝(2)设{an}是公比q≠1的等比数列，假设数列{an＋1}是等比数列．则①当∃n∈N*，使得an＋1＝0成立，则{an＋1}不是等比数列．②当∀n∈N*，使得an＋1≠0成立，则＝恒为常数α⇒a1qn－1(q－α)＝α－1⇒当a1≠0时，q＝1.这与题目条件q≠1矛盾．综上两种情况，假设数列{an＋1}是等比数列均不成立，所以当q≠1时，数列{an＋1}不是等比数列．题型四　配凑法在几何中的应用例4　如图，在△ABC中，已知三个角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠A＝120°，求证：S△ABC＝[a2－(b－c)2]．破题切入点　由∠A＝120°知，∠B＋∠C＝60°，有这样的三个三角形可以配凑成一个等边三角形花环，求出两个三角形的面积的差，即为三个三角形面积的和，就可以求出△ABC的面积．证明　如图所示，阴影部分是三个△ABC的面积，S△BCD＝a·a·sin60°＝a2，S△AEF＝(b－c)·(b－c)·sin60°-6-\n＝(b－c)2，所以S△ABC＝(S△BCD－S△AEF)＝[a2－(b－c)2]＝[a2－(b－c)2]．总结提高　“配凑”就是通过恰当的拼与凑，使问题简洁、明了，从而达到比较容易解决问题的目的．一般来说，配与凑总是相辅相成、互为依托、互为补充的，所谓配凑就是在解题过程中，对某些题目同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子，或者给式子左右加减同一个式子，或者有目的地编造一个式子，使要解证的式子能出现某种特定的形式，或具有某种特性，使问题向特定的方向转化，最后到问题的解决．配凑法是一种启发思维的好方法．1．方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是________．答案　k<或k>1解析　把方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0化为圆的标准方程的形式(x－2k)2＋(y－1)2＝4k2－5k＋1，若表示圆，须满足4k2－5k＋1>0，即k<或k>1.2．函数f(x)＝log0.5(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是________．答案　[，3)解析　要使函数有意义，须满足－2x2＋5x＋3>0，即－<x<3，令t＝－2x2＋5x＋3，其在x∈[，3)上单调递减，又知y＝log0.5t单调递减，根据复合函数的单调性，原函数在x∈[，3)上单调递增．3．已知f(x)＋2f(－x)＝2x，则f(x)的解析式是________．答案　f(x)＝－2x解析　因为f(x)＋2f(－x)＝2x，用－x代替x可得f(－x)＋2f(x)＝－2x，两式联立得f(x)＝－2x.4．已知点P(x，y)的坐标满足＝|3x－4y－12|，则点P的轨迹是________．答案　抛物线解析　因为＝|3x－4y－12|，所以＝＝.把坐标满足的关系式配凑成到原点的距离与到直线3x－4y－12＝0的距离相等，-6-\n又因为直线不经过原点，故符合抛物线的定义，所以其轨迹是抛物线．5．已知0<x<1，a>0，b>0，a，b为常数，则＋的最小值是________．答案　(a＋b)2解析　因为0<x<1，所以0<1－x<1，所以＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.6．已知α、β为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则cosβ的值是________．答案　解析　因为cosα＝，α为锐角，所以sinα＝＝＝，又tan(α－β)＝－，－<α－β<，所以sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.7．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则f(2)，f(3)，g(0)的大小关系为________．答案　g(0)<f(2)<f(3)解析　因为f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，所以f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，联立可得f(x)＝，g(x)＝－，根据函数的单调性f(2)<f(3)，而g(0)＝－1<f(2)．8．若x2＋x－1＝0，则x3＋2x2＋x＋1的值为________．答案　解析　x3＋2x2＋x＋1＝x(x2＋x－1)＋(x2＋x－1)＋x＋2，因为x2＋x－1＝0，所以x3＋2x2＋x＋1＝x＋2，由x2＋x－1＝0，解得x＝，-6-\n所以x3＋2x2＋x＋1＝.9．求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．解　设M＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°，配凑一个对偶式N＝cos220°＋sin250°＋cos20°sin50°，则即解得M＝.所以sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值为.10．已知0<x<1，求函数y＝＋的最小值．解　因为0<x<1，所以1－x>0.所以y＝＋＝[x＋(1－x)](＋)＝5＋＋≥9.当且仅当＝，即x＝时，上式取“＝”，故ymin＝9.11．正项数列{an}的前n项和{Sn}满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.(1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.(2)证明　由于an＝2n，bn＝.则bn＝＝[－]．Tn＝[1－＋－＋－＋…＋－＋－]＝[1＋－－]<(1＋)＝.-6-\n即对任意的n∈N*，都有Tn<.12．(2022·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以AB2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0<x≤4)．因为＋≥4(0<x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以AB2≥8.故线段AB长度的最小值为2.-6-