【考前三个月】（江苏专用）2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第2讲 参数法在解题中的应用

第2讲　参数法在解题中的应用[方法精要]　在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法．应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果．参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题．题型一　参数法在函数问题中的应用例1　定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．破题切入点　(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决．(2)将恒成立问题转化成函数最值问题．(1)解　令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.(2)证明　令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(3)解　方法一　因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x<－3x＋9x＋2，32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R成立．令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝，当<0即k<－1时，f(0)＝2>0，符合题意；当≥0即k≥－1时，对任意t>0，f(t)>0恒成立⇔解得－1≤k<－1＋2.综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立．方法二　由k·3x<－3x＋9x＋2，得k<3x＋－1.-9-\nu＝3x＋－1≥2－1,3x＝时，取“＝”，即u的最小值为2－1，要使对x∈R，不等式k<3x＋－1恒成立，只要使k<2－1.题型二　参数法在数列问题中的应用例2　设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．破题切入点　求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量．解　(1)设公差为d，则a－a＝a－a，由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1＋d＝7，解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.(2)因为an＝2n－7，所以＝，设2m－3＝t，则＝＝t＋－6，所以t为8的约数．又因为t是奇数，所以t可取的值为±1，当t＝1时，m＝2，t＋－6＝3,2×5－7＝3＝a5是数列{an}中的项；当t＝－1时，m＝1，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5，故不是数列中的项．所以满足条件的正整数m的值为2.题型三　参数法在不等式中的应用例3　已知2x＝3y＝5z，试比较2x、3y、5z的大小．破题切入点　本题的解决需要引入中间变量t(参数)，必须使得x，y，z都能用这个参数t表示，而后通过作差即可进行大小的比较．解　设2x＝3y＝5z＝t(t>1)，则x＝log2t，y＝log3t，z＝log5t，所以2x－3y＝2log2t－3log3t＝－＝lgt()＝lgt()，-9-\n因为lgt>0，>0，所以lgt()>0，所以2x>3y；同理5z－2x＝lgt()>0，所以5z>2x>3y.题型四　参数法在解析几何中的应用例4　(2022·浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求MN的最小值．破题切入点　(1)已知抛物线焦点坐标为F(0,1)，可直接写出抛物线方程；(2)利用根与系数的关系和函数的单调性求最值．解　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.由解得点M的横坐标xM＝＝＝.同理，点N的横坐标xN＝.所以MN＝|xM－xN|＝＝8-9-\n＝.令4k－3＝t，t≠0，则k＝.当t>0时，MN＝2>2.当t<0时，MN＝2≥.综上所述，当t＝－，即k＝－时，MN的最小值是.总结提高　数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样，设参数而不求参数，只是利用其作为中间变量辅助计算，是常见的形式．其综合性强，知识面广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当的选取参数，然后利用参数提供的信息，顺利解答问题．1．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．答案　2解析　∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，max＝2.∴λ的最小值为2.2．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组构成，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值是________．答案　4解析　如图作出区域D，目标函数z＝x＋y过点(，2)时取最大值，故z的最大值为×＋2＝4.3．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)-9-\n的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________．答案　解析　y＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)向左平移m个单位长度后得到y＝2sin(x＋＋m)，它关于y轴对称可得sin(＋m)＝±1，∴＋m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为.4．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围为________．答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析　∵t∈[，8]，∴f(t)∈.原题转化为当m∈时，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈，问题转化为g(m)在m∈上恒大于0，则　即解得x>2或x<－1.5．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.答案　解析　讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意．6．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(x∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝________.答案　1解析　因为f[g(1)]＝1＝50，所以g(1)＝0，即a－1＝0，所以a＝1.7．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A、B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.答案　4±解析　根据题意，圆心到直线ax＋y－2＝0的距离为，-9-\n所以＝，解得a＝4±.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解　(1)由得圆心C为(3,2)，∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，∴＝1，∴|3k＋1|＝，∴2k(4k＋3)＝0，∴k＝0或k＝－，∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3，即切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)∵圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以，设圆心C为(a,2a－4)，则圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1，又∵MA＝2MO，∴设M为(x，y)，则＝2，整理得：x2＋(y＋1)2＝4.此圆设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，∴|2－1|≤≤|2＋1|，由5a2－12a＋8≥0得a∈R；由5a2－12a≤0得0≤a≤.综上所述，a的取值范围为[0，]．9．已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋-9-\n≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得或故an＝·3n－1或an＝(－5)·(－1)n－1.(2)若an＝·3n－1，则＝n－1，故数列是首项为，公比为的等比数列．从而＝＝·<<1.若an＝(－5)·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故数列是首项为－，公比为－1的等比数列，从而＝故<1.综上，对任何正整数m，总有<1.故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．10．(2022·苏州模拟)已知函数f(x)＝x4－3x2＋6.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点P在曲线y＝f(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．解　(1)f′(x)＝4x3－6x＝4x(x＋)(x－)，令f′(x)>0得－<x<0或x>；令f′(x)<0得x<－或0<x<.因此，f(x)在区间(－，0)和(，＋∞)为增函数；在区间(－∞，－)和(0，)为减函数．(2)设点P(x0，f(x0))，由l过原点知，l的方程为y＝f′(x0)x，-9-\n因此f(x0)＝f′(x0)x0，即x－3x＋6－x0(4x－6x0)＝0，整理得(x＋1)(x－2)＝0，解得x0＝－或x0＝.所以所求的方程为y＝－x或y＝x.11．设函数f(x)＝sin(－)－2cos2＋1.(1)求f(x)的最小正周期．(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时y＝g(x)的最大值．解　(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin(x－)故f(x)的最小正周期为T＝＝8.(2)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－]＝sin[－x－]＝cos(x＋)，当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为g(x)max＝cos＝.12．已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且满足·＝－3.(1)求抛物线Ω的方程；(2)若直线y＝x与抛物线Ω交于A，B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)依题意，设抛物线Ω的方程为x2＝2py(p>0)，则F(0，)，-9-\n由直线l的斜率存在，设为k，得l的方程为y＝kx＋，联立方程消去y并整理，得x2－2pkx－p2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，又y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋kp(x1＋x2)＋＝k2·(－p2)＋kp·2kp＋＝.所以·＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－3，因为p>0，解得p＝2，故所求抛物线Ω的方程为x2＝4y.(2)联立方程可求得A(0,0)，B(4,4)，假设抛物线Ω上存在异于A，B的点C，且设C的坐标为(t，)(t≠0，t≠4)，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线，令圆心为E(a，b)，则由得即解得①因为抛物线Ω在点C处的切线斜率k′＝y′|x＝t＝(t≠0，t≠4)，又该切线与EC垂直，所以·＝－1，即2a＋bt－2t－＝0.②将①代入②得，2(－)＋t·－2t－＝0，即t3－2t2－8t＝0，因为t≠0，t≠4，解得t＝－2.故存在点C且坐标为(－2,1)．-9-