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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第9讲 消元法在解题中的应用

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第9讲 消元法在解题中的应用[方法精要] 在一些较复杂的题目中,若含有两个或两个以上的未知数时,为了保证先求出其中的一种数量,往往要通过对某些数量的比较,设法先消去一个或几个未知量,从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来,这种解题方法就是消元法.用消元法解题时注意以下几点:1.把条件写成几个等式,并排列在一起进行比较,如果有一种量的数相同,就很容易把这种量消去.2.如果两种量的数都不相同,可以用一个数去乘等式的两边,使其中的一个量的数相同然后消去这个量.3.解答后,可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算,检验是否符合题意.题型一 消元法在平面向量中的应用例1 设=a,=b,=c,=d,=e,且2a=b,c=b+d,2e=3b+4d,求证:点C是线段AE的中点.破题切入点 本题涉及到的向量比较多,观察结论,根据结论的要求,只需证明c=(a+e),因此,只要不断消元,即可得到向量c,a,e的关系.证明 因为2a=b,c=b+d,所以b=2a,d=c-2a,代入2e=3b+4d,可得2e=3×2a+4×(c-2a),整理得c=(a+e),所以点C是线段AE的中点.题型二 消元法在解析几何中的应用例2 已知双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,离心率为e,若点(-1,0)与(1,0)到直线-=1的距离之和S≥c,则e的取值范围是________.破题切入点 根据已知的不等式找a,c所满足的不等式,转化为关于离心率e的不等式,通过这个不等式解得双曲线的离心率的范围.答案 [,]解析 ∵S=+=≥c,∴2c2≤5ab,即4c4≤25a2(c2-a2),即4c4-25a2c2+25a4≤0,即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5,即≤e≤.-5-\n总结提高 消元思想是中学数学的重要思想方法之一,它既可以显性的表现为具体的技能,如降幂、减少变量的个数等,又指导着思维的方向,如对题设或结论的简化意识等,在解题的动态思维过程中,如能紧扣消元的数学思想,重视消元法的应用,就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣.1.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)的值为________.答案 解析 因为f(x)+g(x)=ax-a-x+2,则f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2,联立可得g(x)=2,又因为g(2)=a,故a=2.因为f(2)+g(2)=a2-a-2+2,g(2)=a,则f(2)=a2-a-2+2-a=22-2-2+2-2=.2.(2022·浙江改编)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α的值为________.答案 -解析 因为sinα+2cosα=,又sin2α+cos2α=1,联立解得或故tanα==-,或tanα==3,代入可得tan2α===-,或tan2α===-.3.设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为________.答案 (1,1+)解析 画出可行域,或分别解方程组得到三个区域端点(0,0),(,),(,),当且仅当直线z=x+my过点(,)时,z取到最大值z=<2,解得m∈(1,1+).4.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+2bx+c=0的两个实根分别是x1和x2,则点P(x1,x2)到原点的距离为________.答案 -5-\n解析 因为e==,所以a=2c,由a2=b2+c2,得=,x1+x2=-=-,x1·x2==,点P(x1,x2)到原点(0,0)的距离d===.5.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A,B两点,则弦AB的长为________.答案 16解析 抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),直线AB的倾斜角为135°,故直线AB的方程为y=-x+2代入抛物线方程y2=8x,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦AB的长AB=|x1-x2|=16.6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是________.答案 解析 由题意知x≥0,则焦点F(1,0),PF=x+1,PA==,当x=0时,=1;当x>0时,1<=≤=(当且仅当x=1时取等号).因此当x≥0时,1≤≤,≤≤1,的最小值是.7.已知双曲线:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若直线AB过原点,则k1k2的值为________.答案 3解析 由题意知e==2,则b2=3a2,双曲线方程可化为3x2-y2=3a2,设A(m,n),M(x,y),则B(-m,-n),k1k2=·===3.8.已知圆C1:x2+y2-2x-2y-2=0和圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0,则过两圆交点的公共弦所在直线方程为________.答案 2x+2y-1=0解析 联立两圆的方程,消去二次项即得公共弦所在直线的方程2x+2y-1=0.9.设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为________.答案 9-5-\n解析 (x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+2=9,当且仅当x2y2=时等号成立.10.设=a,=b,=c,=d,m,n,p,q是不同时为零的实数,如果ma+nb+pc+qd=0,且(m+n)2+(p+q)2=0.求证:A,B,C,D共线或AB∥CD.证明 因为(m+n)2+(p+q)2=0,m,n,p,q是不同时为零的实数,∴m=-n,p=-q,代入ma+nb+pc+qd=0得n(b-a)=-q(d-c)∴n=q,∵n≠0,(否则m,p,q均为零),∴=,∴∥,即A,B,C,D共线或AB∥CD.11.如图,已知抛物线C:y2=-2px(p>0)上横坐标为-3的一点,与其焦点的距离为4.(1)求p的值;(2)设动直线y=x+b(b>3)与抛物线C相交于A、B两点,问在直线l:y=2上是否存在与b的取值无关的定点M,使得∠AMB被直线l平分?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)由已知得|-3-|=4,∵p>0,∴p=2.(2)令A(x1,y1),B(x2,y2),设存在点M(a,2)满足条件,由已知得kAM=-kBM,即有+=0,x1=-,x2=-;整理得y1y2(y1+y2)+4a(y1+y2)-2(y+y)-16a=0;由得y2+4y-4b=0,即y1+y2=-4,y1y2=-4b,则-4b·(-4)+4a(-4)-2[(-4)2+8b]-16a=0,∴a=-1,-5-\n因此存在点M(-1,2),而当b>3时线段AB在点M(-1,2)的左上方,满足题意.12.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M(1,).(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足·=2?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.解 (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,代入椭圆C的方程得,(3+4k)x2-8k1(2k1-1)x+16k-16k1-8=0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k)·(16k-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以k1>-.又x1+x2=,x1x2=,因为·=2,即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,所以(x1-2)(x2-2)(1+k)=2=.即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k)=.所以[-2·+4]·(1+k)==,解得k1=±.因为k1>-,所以k1=.于是存在直线l1满足条件,其方程为y=x.-5-

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发布时间:2022-08-26 00:15:59 页数:5
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文章作者:U-336598

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