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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第5讲 分析法与综合法应用策略

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第5讲 分析法与综合法应用策略[方法精要] 综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明结论成立,这种证明方法叫做综合法.分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种正面的方法叫做分析法.综合法往往以分析法为基础,是分析法的逆过程.但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发,根据不等式的性质推导证明.分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不宜推导时,常考虑用分析法.注意用分析法证题时,一定要严格按格式书写.题型一 综合法在三角函数中的应用例1 已知函数f(x)=2sincos-2sin2+.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;(2)令g(x)=f(x+),判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由.破题切入点 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所要证明的结论,则综合法的应用可以表示为:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q.本题是将三角函数式化为同一个角的三角函数,再利用三角函数的周期性和单调性及奇偶性解决.解 (1)∵f(x)=sin+(1-2sin2)=sin+cos=2sin(+).∴f(x)的最小正周期T==4π.当sin(+)=-1时,f(x)取得最小值-2;当sin(+)=1时,f(x)取得最大值2.(2)由(2)知f(x)=2sin(+).又g(x)=f(x+).∴g(x)=2sin[(x+)+]=2sin(+)=2cos.-7-\n∴g(-x)=2cos(-)=2cos=g(x).∴函数g(x)是偶函数.题型二 综合法在立体几何中的应用例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.破题切入点 综合法的运用,从已知条件、已有的定义、公理、定理等经过层层推理,最后得到所要证明的结论.(1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性质,得线面垂直.(2)BE∥AD易证.(3)EF是△CPD的中位线.证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,且PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,所以CD⊥EF.又EF⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.题型三 分析法在不等式中的应用例3 若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.-7-\n破题切入点 本题适合用分析法解决,借助对数的性质反推关于a,b,c的不等式,依次寻求使其成立的充分条件,直至得到一个容易解决的不等式,类似的不等式往往利用基本不等式.证明 要证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc,只需证lg(··)>lg(a·b·c),即证··>a·b·c.因为a,b,c为不全相等的正数,所以≥>0,≥>0,≥>0,且上述三式中等号不能同时成立.所以··>a·b·c成立,所以原不等式成立.总结提高 综合法和分析法是直接证明中两种最基本的方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.综合法的特点是由原因推出结果,分析法的特点是由结果追溯到产生这一结果的原因.在解决问题时,经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论,根据结论的特点去转化条件,得到另一中间结论,根据中间结论的转化证明结论成立.1.下面的四个不等式:①a2+b2+c2>ab+bc+ca;②a(1-a)≤;③+≥2;④(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.其中恒成立的有________个.答案 3解析 因为a2+b2+c2-(ab+bc+ca)=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以①正确;因为a(1-a)-=-a2+a-=-(a-)2≤0,所以a(1-a)≤;所以②正确;当ab<0时,+<0,-7-\n所以③错误;因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以④正确.2.若x,y∈(0,+∞)且+≤a恒成立,则a的最小值是________.答案 解析 ==,要使不等式恒成立,只需a不小于的最大值即可,因为≤,当x=y时取等号,所以a≥,即a的最小值是.3.已知p=+,q=·(m、n、a、b、c、d均为正数),则p、q的大小为________.答案 p≤q解析 q=·=≥=+=p.4.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明________.答案 (a2-1)(b2-1)≥0解析 因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.5.设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系为________.答案 a>b解析 因为a=lg2+lg5=lg10=1,b=ex<e0=1,所以a>b.6.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系是________.答案 cn+1<cn解析 根据条件可得cn=an-bn=-n=,所以cn随着n的增大而减小,所以cn+1<cn.7.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是________.答案 a≥0,b≥0且a≠b解析 因为a+b>a+b,所以(-)2(+)>0,-7-\n所以a≥0,b≥0且a≠b.8.设a,b,c>0,证明:++≥a+b+c.证明 因为a,b,c>0,根据基本不等式+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,三式相加得:+++a+b+c≥2a+2b+2c,即++≥a+b+c.当且仅当a=b=c时取等号.9.已知△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,证明:B为锐角.证明 要证明B为锐角,根据余弦定理,也就是证明cosB=>0,即需证a2+c2-b2>0,由于a2+c2-b2≥2ac-b2,故只需证2ac-b2>0,因为a,b,c的倒数成等差数列,所以+=,即2ac=b(a+c).所以要证2ac-b2>0,只需证b(a+c)-b2>0,即b(a+c-b)>0,上述不等式显然成立,所以B为锐角.10.设数列{an}满足a1=0且-=1.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,记Sn=k,证明:Sn<1.(1)解 由题设-=1,可得{}是公差为1的等差数列.又=1,所以根据等差数列通项公式可得=1+(n-1)×1=n,所以an=1-.(2)证明 由(1)得bn==-7-\n=-,Sn=k=(-)=1-<1.所以Sn<1.11.已知函数f(x)=tanx,x∈(0,),若x1,x2∈(0,)且x1≠x2,证明:[f(x1)+f(x2)]>f().证明 欲证[f(x1)+f(x2)]>f()⇔(tanx1+tanx2)>tan⇔(+)>(“化弦”)⇔>⇔>只要证明0<cos(x1-x2)<1,则以上最后一个不等式成立,在题设条件下易得此结论.12.(2022·江苏)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明 (1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.-7-\n因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC,又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.-7-

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发布时间:2022-08-26 00:16:00 页数:7
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文章作者:U-336598

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