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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题2 优化解答程序,构建答题模板 第4讲 直线与圆的综合求解策略

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第4讲 直线与圆的综合求解策略例5 在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.审题破题 (1)求出圆上三点,根据三点坐标灵活设出圆的方程;(2)将直线和圆的方程联立,根据根与系数的关系,转化已知条件求出a的值.解 (1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.设x1,x2是方程的两根,从而x1+x2=4-a,x1x2=.①由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.第一步:求出曲线与坐标轴的交点坐标(两条坐标轴);第二步:求出圆心和半径并且写出圆的方程;第三步:将直线和圆的方程联立;第四步:求出联立后方程的判别式以及根与系数的关系;第五步:根据垂直的等价条件——数量积为零求出字母a的值.跟踪训练5 (2022·课标全国Ⅰ)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当OP=OM时,求l的方程及△POM的面积.解 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.2\n设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于OP=OM,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又OM=OP=2,O到l的距离为,所以PM=2=,所以△POM的面积为.2

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发布时间:2022-08-26 00:16:04 页数:2
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文章作者:U-336598

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