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【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学程序方法策略篇 专题2 优化解答程序,构建答题模板 第7讲 导数的应用问题 函数的单调性、极值、最值问题

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第7讲 导数的应用问题函数的单调性、极值、最值问题例8 已知函数f(x)=(x∈R),其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.审题破题 (1)直接求f′(x),得f′(2)后写出切线方程;(2)求导函数f′(x)后要对a进行讨论,可以列表观察函数f(x)的单调性,极值.解 (1)当a=1时,f(x)=,f(2)=,又f′(x)==,f′(2)=-.所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-=-(x-2),即6x+25y-32=0.(2)f′(x)==.由于a≠0,以下分两种情况讨论.①当a>0,令f′(x)=0,得到x1=-,x2=a.当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-)-(-,a)a(a,+∞)f′(x)-0+0-f(x)极小值极大值所以f(x)在区间,(a,+∞)内为减函数,在区间内为增函数.函数f(x)在x1=-处取得极小值f,且f=-a2.函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.②当a<0时,令f′(x)=0,得到x1=a,x2=-,当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:5\nx(-∞,a)a(a,-)-(-,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)在区间(-∞,a),内为增函数,在区间内为减函数.函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.函数f(x)在x2=-处取得极小值f(-),且f=-a2.综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-,a),单调递减区间为(-∞,-),(a,+∞),极大值为1,极小值为-a2.当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(-,+∞),单调递减区间为(a,-),极大值为1,极小值为-a2.第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R.第二步:求f(x)的导数f′(x).第三步:求方程f′(x)=0的根.第四步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个开区间,并列出表格.第五步:由f′(x)在开区间内的正、负值判断f(x)在开区间内的单调性.第六步:明确规范地表述结论.第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中f′(x)=0的根为x1=-,x2=a.要确定x1,x2的大小,就必须对a的正、负进行分类讨论.这就是本题的关键点和易错点.跟踪训练8 已知函数f(x)=alnx++x(a≠0).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.(1)解 f(x)的定义域为{x|x>0}.f′(x)=-+1(x>0).根据题意,有f′(1)=-2,5\n所以2a2-a-3=0,解得a=-1或a=.(2)解 f′(x)=-+1==(x>0).①当a>0时,因为x>0,由f′(x)>0得(x-a)(x+2a)>0,解得x>a;由f′(x)<0得(x-a)(x+2a)<0,解得0<x<a.所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.②当a<0时,因为x>0,由f′(x)>0得(x-a)(x+2a)>0,解得x>-2a;由f′(x)<0得(x-a)(x+2a)<0,解得0<x<-2a.所以函数f(x)在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增.导数与不等式问题例9 设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f′(x)=,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g的大小关系;(3)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.审题破题 (1)先求出f(x),再求g(x),然后讨论g(x)的单调区间,最值;(2)可构造函数h(x)=g(x)-g,通过h(x)的单调性比较g(x),g的大小;(3)对任意x>0若不存在x0,只需取一特殊值即可;若存在x0,一般利用最值解决.解 (1)由题设易知f(x)=lnx,g(x)=lnx+,所以g′(x)=,令g′(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.故(1,+∞)是g(x)的单调增区间,因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.(2)g=-lnx+x,设h(x)=g(x)-g=2lnx-x+,则h′(x)=-,5\n当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g,当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0,因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g,当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g.(3)满足条件的x0不存在.证明如下:假设存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立,即对任意x>0,有lnx<g(x0)<lnx+,(*)但对上述x0,取x1=eg(x0)时,有lnx1=g(x0),这与(*)左边不等式矛盾,因此,不存在x0>0,使|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立.第一步:构造函数第二步:根据求单调性、极值的步骤探求函数h(x)的单调性;第三步:根据h(x)的单调性比较h(x)和0的大小;第四步:下结论,反思回顾.跟踪训练9 已知函数f(x)=ax2+bx+c+lnx.(1)当a=b时,若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)设函数f(x)在x=,x=1处取得极值,且f(1)=-1,若对任意的x∈,f(x)≤m恒成立,求m的取值范围.(参考数据:e≈2.7)解 (1)∵a=b时,f(x)=ax2+ax+c+lnx,∴f′(x)=2ax+a+=(x>0).当a=0时,f′(x)=>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,∵x>0,∴2ax2+ax+1>0,∴f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,设g(x)=2ax2+ax+1,函数g(x)在上单调递减,且g(0)=1>0,故在(0,+∞)上,函数g(x)的符号不确定,即此时f′(x)的符号不确定,∴函数f(x)在(0,+∞)上不单调.综上可知,a的取值范围是[0,+∞).(2)∵f(x)在x=,x=1处取得极值,5\n∴f′(1)=f′=0,即解得即f′(x)==,且f(x)=x2-3x+c+lnx.又∵f(1)=-1,∴1-3+c=-1,得c=1,∴f(x)=x2-3x+1+lnx.∵当x∈时,f′(x)>0,∴函数f(x)在上单调递增;∵当x∈时,f′(x)<0,∴函数f(x)在上单调递减;∵当x∈(1,2]时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(1,2]上单调递增.∴f(x)极大值=f=-+1+ln=--ln2,而f(2)=-1+ln2,f(2)-f=-+ln4=ln4-lne,由于4>e>e,故f(2)>f,∴f(x)max=-1+ln2,∴m≥-1+ln2.5

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发布时间:2022-08-26 00:16:03 页数:5
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文章作者:U-336598

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