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一点一练2022版高考数学第二章函数与导数专题演练文含两年高考一年模拟

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第二章 函数与导数考点3 函数的概念及表示两年高考真题演练1.(2022·重庆)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是(  )A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)2.(2022·湖北)函数f(x)=+lg的定义域为(  )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]3.(2022·陕西)设f(x)=则f(f(-2))=(  )A.-1B.C.D.4.(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=(  )A.-B.-C.-D.-5.(2022·山东)设函数f(x)=若f=4,则b=(  )A.1B.C.D.6.(2022·湖北)设x∈R,定义符号函数sgnx=则(  )A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx7.(2022·浙江)设实数a,b,t满足|a+1|=|sinb|=t(  )A.若t确定,则b2唯一确定B.若t确定,则a2+2a唯一确定C.若t确定,则sin唯一确定D.若t确定,则a2+a唯一确定8.(2022·山东)函数f(x)=的定义域为(  )A.(0,2)B.(0,2]57\nC.(2,+∞)D.[2,+∞)9.(2022·江西)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=(  )A.1B.2C.3D.-110.(2022·浙江)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则(  )A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>911.(2022·江西)已知函数f(x)=(a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=(  )A.B.C.1D.212.(2022·福建)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L距离”定义为||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L距离”之和等于定值(大于||F1F2||)的点的轨迹可以是(  )13.(2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为________.14.(2022·湖北)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为________.15.(2022·浙江)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=________.考点3 函数的概念及表示一年模拟试题精练1.(2022·湛江市高三调研)函数f(x)=的定义域是(  )A.RB.(0,3)C.(1,3)D.∪57\n2.(2022·黄冈中学期中)函数f(x)=-lg(x-1)的定义域是(  )A.(-∞,2]B.(2,+∞)C.(1,2]D.(1,+∞)3.(2022·抚州市模拟)函数y=+的定义域是(  )A.[-1,0)∪(0,1)B.[-1,0)∪(0,1]C.(-1,0)∪(0,1]D.(-1,0)∪(0,1)4.(2022·临川一中检测)已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,3],则函数y=f(log3x)的定义域为(  )A.[1,9]B.[0,1]C.[0,2]D.[0,9]5.(2022·眉山市一诊)若f(x)=4log2x+2,则f(2)+f(4)+f(8)=(  )A.12B.24C.30D.486.(2022·江西省质检三)已知函数f(x)=则f[f(2015)]等于(  )A.B.-C.1D.-17.(2022·江西省监测)已知f(x)=则f(3)=(  )A.B.-C.-1D.38.(2022·济宁市统考)若点(16,2)在函数y=logax(a>0且a≠1)的图象上,则tan的值为(  )A.-B.-C.D.9.(2022·武昌区调研)函数f(x)=满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为(  )57\nA.1或-B.-C.1D.1或10.(2022·济宁市统考)函数y=(ex-e-x)·sinx的图象大致是(  )11.(2022·中山质检)如图所示,该图象的函数解析式可能是(  )A.y=2x-x2-1B.y=C.y=(x2-2x)exD.y=12.(2022·泰安市高三期末)设函数f(x)=若f(f(t))≤2,则实数t的取值范围是(  )A.(-∞,]B.[,+∞)C.(-∞,-2]D.[-2,+∞)13.(2022·山西省三诊)已知f(x)=则f(f(5))=________.14.(2022·南昌检测)若函数f(x)的定义域是[2,+∞),则函数y=的定义域是________.15.(2022·绵阳市一诊)定义:如果函数y=f(x)的定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点.例如y=|x|是[-2,2]上的平均值函数,0就是它的均值点,若函数f(x)=x2-mx-1是[-1,1]上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是________.57\n考点4 函数的基本性质两年高考真题演练1. (2022·福建)下列函数为奇函数的是(  )A.y=B.y=exC.y=cosxD.y=ex-e-x2.(2022·北京)下列函数中为偶函数的是(  )A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x3.(2022·广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(  )A.y=x+sin2xB.y=x2-cosxC.y=2x+D.y=x2+sinx4.(2022·浙江)函数f(x)=cosx(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(  )5.(2022·新课标全国Ⅰ)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=(  )A.-1B.1C.2D.46.设f(x)=x-sinx,则f(x)(  )A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数7.(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(  )A.B.∪(1,+∞)57\nC.D.∪8.(2022·陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是(  )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x9.(2022·新课标全国Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(  )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数10.(2022·大纲全国)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(  )A.-2B.-1C.0D.111.(2022·辽宁)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=则不等式f(x-1)≤的解集为(  )A.∪B.∪C.∪D.∪12.(2022·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为(  )A.[-,]B.[-,]C.[-,]D.[-,]13.(2022·福建)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,57\n+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________.14.(2022·湖北)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=________时,g(a)的值最小.15.(2022·四川)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=,现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中真命题有________(写出所有真命题的序号).考点4 函数的基本性质一年模拟试题精练1.(2022·惠州市调研)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(  )A.y=ln(x-1)B.y=|x-1|C.y=D.y=sinx+2x2.(2022·广东佛山模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为(  )A.-4B.4C.-6D.63.(2022·江西省监测)已知函数f(x)在R上递增,若f(2-x)>f(x2),则实数x的取值范围是(  )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-1,2)D.(-2,1)4.(2022·唐山市高三摸底)函数f(x)=是(  )A.偶函数,在(0,+∞)是增函数B.奇函数,在(0,+∞)是增函数C.偶函数,在(0,+∞)是减函数D.奇函数,在(0,+∞)是减函数5.(2022·贵阳市高三摸底)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x≥0时f(x)的图象如图所示,则f(-2)=(  )57\nA.-3B.-2C.-1D.26.(2022·洛阳市统考)设f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,若f(x)在[-2,0]上单调递减,则使f(a2-a)<0成立的实数a的取值范围是(  )A.[-1,2]B.[-1,0)∪(1,2]C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)7.(2022·云南省名校统考)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)时f(x)=2x+,则f(log220)=(  )A.-1B.C.1D.-8.(2022·沈阳市四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x≤-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2022)=(  )A.335B.338C.1678D.20129.(2022·石家庄名校联考)函数y=[x∈(-π,0)∪(0,π)]的图象大致是(  )10.(2022·山东潍坊模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(  )A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c11.(2022·荆门市高三调研)若f(x)=若f(x)=2,则x57\n=________.12.(2022·宿迁市高三摸底)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+x,则关于x的不等式f(x)<-2的解集是________.13.(2022·南京市调研)若f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围为________.14.(2022·玉溪一中高三期中)若函数f(x)=|3x-1|+ax+3有最小值,则实数a的取值范围为________.考点5 基本初等函数两年高考真题演练1.(2022·山东)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(  )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a2.(2022·四川)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的(  )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.(2022·湖南)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是(  )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数4.(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=(  )A.3B.6C.9D.125.(2022·安徽)函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是(  )A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<057\nD.a<0,b<0,c<06.(2022·天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(  )A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a7.(2022·四川)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是(  )A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时8.(2022·山东)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a取值范围是(  )A.B.[0,1]C.D.[1,+∞)9.(2022·福建)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(  )10.(2022·北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(  )A.3.50分钟B.3.75分钟57\nC.4.00分钟D.4.25分钟11.(2022·四川)lg0.01+log216=________12.(2022·安徽)lg+2lg2-=________.13.(2022·浙江)计算:log2=____________,2log23+log43=____________.14.(2022·北京)2-3,3,log25三个数中最大的数是________.15.(2022·江苏)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.考点5 基本初等函数一年模拟试题精练1.(2022·福州市质检)lg3+lg2的值是(  )A.lgB.lg5C.lg6D.lg92.(2022·山东省实验中学二诊)如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是(  )A.(-,)B.(-2,0)C.(-2,1)D.(0,1)3.(2022·江西省监测)已知幂函数y=(m2-m-1)·xm2-2m-3在区间x∈(0,+∞)上为减函数,则m的值为(  )A.2B.-1C.2或-1D.-2或14.(2022·江西省监测)对数函数f(x)=ln|x-a|在[-1,1]区间上恒有意义,则a的取值范围是(  )A.[-1,1]B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)5.(2022·山西省二诊)已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2(2x+1),则f等于(  )A.log23B.log25C.1D.-16.(2022·东北三校第一次联考)若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的大致图象是(  )57\n7.(2022·江西省质检三)若a=,b=,c=,则(  )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c8.(2022·江西省质检三)函数y=-(x-2)|x|的递增区间是(  )A.[0,1]B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.[0,1)和(2,+∞)9.(2022·宁夏质检)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(  )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)10.(2022·山西省二诊)设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c之间的大小关系是(  )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a11.(2022·抚州市模拟)(-6≤a≤3)的最大值为________.12.(2022·贵阳市高三摸底)已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则该函数的解析式为________.13.(2022·江西省监测)设a=log23,b=log46,c=log89,则a,b,c的大小关系是________.14.(2022·宿迁市高三摸底)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式57\nf(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是________.考点6 函数与方程两年高考真题演练1.(2022·安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(  )A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx2.(2022·天津)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(  )A.2B.3C.4D.53.(2022·北京)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(  )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)4.(2022·湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(  )A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}5.(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(  )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)6.(2022·湖南)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.7.(2022·江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.8.(2022·湖北)函数f(x)=2sinxsin-x2的零点个数为________.9.(2022·湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是________.10.(2022·安徽)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.57\n11.(2022·北京)设函数f(x)=-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.考点6 函数与方程一年模拟试题精练1.(2022·保定模拟)已知函数f(x)=则方程f(x)=1的解是(  )A.或2B.或3C.或4D.±或42.(2022·荆门市调研)对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内(  )A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至少有一个零点3.(2022·广东二模)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是(  )A.B.(1,2)C.D.(2,3)4.(2022·赤峰市高三统考)设a为非零实数,则关于函数f(x)=x2+a|x|+1,x∈R57\n的以下性质中,错误的是(  )A.函数f(x)一定是个偶函数B.函数f(x)一定没有最大值C.区间[0,+∞)一定是f(x)的单调递增区间D.函数f(x)不可能有三个零点5.(2022·昆明一中摸底)若函数f(x)=ax2-lnx在(0,1]上存在唯一零点,则实数a的取值范围是(  )A.[0,2e]B.C.(-∞,-1]D.(-∞,0]6.(2022·衡水二调)已知函数f(x)=e|x|+|x|,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(  )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)7.(2022·济宁一中研考)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式成立的是(  )A.f(1)<f(a)<f(b)B.f(a)<f(b)<f(1)C.f(a)<f(1)<f(b)D.f(b)<f(1)<f(a)8.(2022·山西省二诊)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x,若方程ax-a-f(x)=0(a>0)恰有三个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(  )A.B.[0,2]C.(1,2)D.[1,+∞)9.(2022·邯郸市高三质检)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=若关于x的方程5[f(x)]2-(5a+6)f(x)+6a=0,(a∈R),有且仅有6个不同的实数根,则实数a的取值范围是(  )A.0<a<1或a=B.0≤a≤1或a=C.0<a≤1或a=D.1<a≤或a=010.(2022·宝鸡市质检一)函数g(x)=log2x,关于方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0在(0,2)内有三个不同实数解,则实数m的取值范围是(  )57\nA.(-∞,4-2)∪(4+2,+∞)B.(4-2,4+2)C.D.11.(2022·南京市调研)设f(x)=x2-3x+a,若函数f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数a的取值范围为________.12.(2022·北京东城区高三期末)设函数f(x)=则f=________.若函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是________.13.(2022·北京西城区高三期末)设函数f(x)=(1)如果f(1)=3,那么实数a=________.(2)如果函数y=f(x)-2有且仅有两个零点,那么实数a的取值范围是________.考点7 导数的概念及几何意义两年高考真题演练1.(2022·安徽)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(  )A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<02.(2022·陕西)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(  )A.y=x3-x2-x57\nB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x3.(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________.4.(2022·新课标全国Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________.5.(2022·江西)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.6.(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.7.(2022·广东)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为______________.8.(2022·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(1)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3;②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)3;③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx;④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx;⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx.9.(2022·山东)设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.57\n考点7 导数的概念及几何意义一年模拟试题精练1.(2022·赣州市十二县联考)函数f(x)=3lnx+x2-x+在点(,f())处的切线斜率是(  )A.-2B.C.2D.42.(2022·唐山一中高三检测)如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是(  )A.B.C.D.3.(2022·大庆市高三质检)已知函数f(x)=x3-2x2+3x+,则与f(x)图象相切的斜率最小的切线方程为(  )A.2x-y-3=0B.x+y-3=0C.x-y-3=0D.2x+y-3=04.(2022·东北三校联考)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(  )A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-35.(2022·浙江金华十校联考)设函数y=xsinx+cosx,且在f(x)图象上点(x0,y0)处的切线的斜率为k,若k=g(x0),则函数k=g(x0)的图象大致为(  )57\n6.(2022·昆明三中模拟)设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围是(  )A.[-2,2]B.[,]C.[,2]D.[,2]7.(2022·湖南怀化市监测)已知函数f(x)=y=g(x)为曲线h(x)=lnx+a+1在x=1处的切线方程,若方程f(x)=g(x)有两个不同实根,则实数a的取值范围是(  )A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(0,1)D.[0,+∞)8.(2022·江西省监测)曲线y=x3在P(1,1)处的切线方程为________.9.(2022·宝鸡市质检一)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为________.10.(2022·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+b是曲线y=alnx的切线,则当a>0时,实数b的最小值是________.11.(2022·江西省监测)已知函数f(x)=x2+ax,g(x)=bx3+x.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点C(1,m)处具有公共切线,求实数m的值;(2)当b=,a=-4时,求函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[-3,4]上的最大值.57\n考点8 导数的应用一(单调性与极值)两年高考真题演练1.(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)2.(2022·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是(  )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)3.(2022·江西)在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能的是(  )4.(2022·陕西)函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.5.(2022·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.6.(2022·安徽)已知函数f(x)=(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.57\n7.(2022·重庆)已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.考点8 导数的应用一(单调性与极值)一年模拟试题精练1.(2022·长春名校联考)若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能为(  )2.(2022·郑州市一预)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-3)=f(5)=1,f′(x)为f(x)的导函数,且导函数y=f′(x)的图象如图所示.则不等式f(x)<1的解集是(  )57\nA.(-3,0)B.(-3,5)C.(0,5)D.(-∞,-3)∪(5,+∞)3.(2022·云南师大附中检测)若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是(  )A.B.(-∞,3]C.D.[3,+∞)4.(2022·邢台市高三摸底)已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x),其导函数为f′(x)=1+cosx,如果f(1-a)+f(1-a2)<0,则实数a的取值范围为(  )A.(0,1)B.(1,)C.(-2,-)D.(1,)∪(-,-1)5.(2022·巴蜀中学一模)定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)>f′(x),且f(0)=1,则不等式<1的解集为(  )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)6.(2022·山东省实验中学二诊)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<,则f(x)<+的解集是(  )A.{x|-1<x<1}B.{x|x<-1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x>1}7.(2022·深圳市五校一联)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时,有>0成立,则不等式f(x)>0的解集是(  )A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-1,0)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)8.(2022·烟台市高三检测)已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0总成立,若记a=20.2f(20.2),b=(logπ3)·f(logπ3),c=(-3)·f,则a,b,c的大小关系为(  )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b57\n9.(2022·珠海模拟)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________.10.(2022·山西省二诊)函数f(x)=2x-sinx的零点个数为________.11.(2022·江西省监测)已知函数f(x)=x2-ax-lnx(x∈R).(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在区间(1,2)上存在极小值,求实数a的取值范围.考点9 导数的应用(二)(最值与不等式)两年高考真题演练1.(2022·新课标全国Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.2.(2022·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;57\n(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.3.(2022·湖南)已知a>0,函数f(x)=aexcosx(x∈[0,+∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.(1)证明:数列{f(xn)}是等比数列;(2)若对一切n∈N*,xn≤|f(xn)|恒成立,求a的取值范围.4.(2022·辽宁)已知函数f(x)=π(x-cosx)-2sinx-2,g(x)=(x-π)+-1.证明:(1)存在唯一x0∈,使f(x0)=0;(2)存在唯一x1∈,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1>π.考点9 导数的应用(二)(最值与不等式)一年模拟试题精练1.(2022·合肥质检)函数y=xex的最小值是(  )A.-1B.-eC.-D.不存在2.(2022·唐山一中高三期中)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为(  )A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)3.(2022·石家庄质检一)设函数f(x)=ex+2x-a(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1],使得f(f(b))=b,则a的取值范围是(  )A.[1,e]B.[1,1+e]57\nC.[e,1+e]D.[0,1]4.(2022·晋冀豫三省调研)设函数f(x)=x3-2ex2+mx-lnx,记g(x)=,若函数g(x)至少存一个零点,则实数m的取值范围是(  )A.B.C.D.5.(2022·沈阳市四校联考)函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥0成立,则a=________.6.(2022·泗水中学二调)下列说法,其中正确命题的序号为________.①若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则实数c=2或6;②对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有f(0)+f(2)>2f(1)③若函数f(x)=x3-3x在(a2-17,a)上有最大值,则实数a的取值范围为(-1,4);④已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,xf′(x)-f(x)>0(x>0),则不等式f(x)>0的解集是(-1,0)∪(1,+∞).7.(2022·泰安市统考)某工厂为提高生产效益,决定对一条生产线进行升级改造,该生产线升级改造后的生产效益y万元与升级改造的投入x(x>10)万元之间满足函数关系:y=mlnx-x2+x+ln10(其中m为常数)若升级改造投入20万元,可得到生产效益为35.7万元.试求该生产线升级改造后获得的最大利润.(利润=生产效益-投入)(参考数据:ln2=0.7,ln5=1.6).8.(2022·江西省质检三)已知函数f(x)=lnx-x.(1)求f(x)的单调区间;(2)已知数列{an}的通项公式为an=1+(n∈N*),求证:a1a2a3…an<e(e为自然对数的底数);(3)若k<对任意x>2恒成立,求实数k的最大值.57\n参考答案第二章 函数与导数考点3 函数的概念及表示【两年高考真题演练】1.D [需满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,所以f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).]2.C [依题意,有4-|x|≥0,解得-4≤x≤4①;且>0,解得x>2且x≠3②;由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4].故选C.]3.C [∵f(-2)=2-2=>0,则f(f(-2))=f=1-=1-=,故选C.]4.A [若a≤1,f(a)=2a-1-2=-3,2a-1=-1(无解);若a>1,f(a)=-log2(a+1)=-3,a=7,f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-2=-.]5.D [由题意,得f=3×-b=-b.若-b≥1,即b≤时,2-b=4,解得b=.若-b<1,即b>时,3×-b=4,解得b=(舍去).所以b=.]6.D [对于选项A,右边=x|sgnx|=而左边=|x|=显然不正确;对于选项B,右边=xsgn|x|=而左边=|x|=显然不正确;对于选项C,右边=|x|sgnx=,而左边=|x|=显然不正确;对于选项D,右边=xsgnx=而左边=|x|=显然正确;故应选D.]7.B [当t确定时,∵|a+1|=t,∴|a+1|2=t2,a2+2a+1=t2,∴a2+2a=t257\n-1(定值).而对于|sinb|=t,b的值不唯一确定.故选B.]8.C [由题意可知x满足log2x-1>0,即log2x>log22,根据对数函数的性质得x>2,即函数f(x)的定义域是(2,+∞).]9.A [因为f[g(1)]=1,且f(x)=5|x|,所以g(1)=0,即a·12-1=0,解得a=1.]10.C [由已知得解得又0<f(-1)=c-6≤3,所以6<c≤9.]11.A [因为-1<0,所以f(-1)=2-(-1)=2,又2>0,所以f[f(-1)]=f(2)=a·22=1,解得a=.]12.A [设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,则||F1F2||=2c,依题意,得||PF1||+||PF2||=2d(d为常数且d>c),所以|x+c|+|y-0|+|x-c|+|y-0|=2d,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d,①当-c≤x≤c时,(x+c)+c-x+2|y|=2d,即y=±(d-c);②当x<-c时,-(x+c)+c-x+2|y|=2d,即x±y+d=0;③当x>c时,(x+c)+x-c+2|y|=2d,即x±y-d=0.画出以上三种情形的图象,即可知选项A正确,故选A.]13.- [∵|x-a|≥0恒成立,∴要使y=2a与y=|x-a|-1只有一个交点,必有2a=-1,解得a=-.]14. [由题中图象知f(x)为奇函数,当x≤-2a或x≥2a时,f(x)为增函数,f(x)>f(x-1)恒成立;又∀x∈R,f(x)>f(x-1),且f(4a)=f(-2a)=a,故只需4a-(-2a)<1,即a<,又a为正实数,故a∈.]15. [当a≤0时,f(a)=a2+2a+2>0,f(f(a))<0,显然不成立;当a>0时,f(a)=-a2,f(f(a))=a4-2a2+2=2,则a=±或a=0,故a=.]【一年模拟试题精练】1.D [x2-4x+3≥0,解得x∈(-∞,1]∪[3,+∞).]2.C [由题意得:解得x∈(1,2].]3.D [由题意得解得x∈(-1,0)∪(0,1).]4.A [∵1≤x≤3,∴0≤x-1≤2,57\n∴0≤log3x≤2,即x∈[1,9].]5.C [∵f(2)=4log22+2=4×1+2=6,f(4)=4log24+2=4×2+2=10,f(8)=4log28+2=4×3+2=14,∴f(2)+f(4)+f(8)=6+10+14=30.]6.D [∵f[f(2015)]=f(2015-15)=f(2000),∴f(2000)=2cos=-2cosπ=-1.]7.D [f(3)=f(3-2)+1=f(1)+1=f(1-2)+2=f(-1)+2=-sin+2=3.]8.D [∵(16,2)在y=logax上,∴loga16=2,得a=4.∴tan=tan=.]9.A [∵f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1,当a≥0时,f(a)=ea-1=1,得a=1,当-1<a<0时,f(a)=sinπa2=1,得a=-.]10.A [∵f(-x)=(e-x-ex)sin(-x)=(ex-e-x)sinx=f(x),∴f(x)为偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,排除选项B、C.∵f(π)=0,f=(e-e-)sin=e-e->0,故排除选项D.]11.C [对于A,当x=-1时,y=-<0,不合题意;对于B,当x=-π时,sinx=0,故y=0,不合题意;对于D,当x<0时,函数无意义,故选C.]12.A [令a=f(t),则f(a)≤2,当a≤0时,a2+a-2≤0,a∈[-2,0]当a>0时,-a2≤2,故a>0,综上,a≥-2,因此f(t)≥-2,当t≤0时,t2+t+2≥0,t≤0均成立;当t>0时,-t2≥-2,t∈(0,],故t∈(-∞,].]13.1 [∵5>2,∴f(5)=log2(5-1)=2,∴f(f(5))=f(2)=22-2=20=1.]14.{x|x≥1,且x≠2} [依题意有解得x≥1且x≠2,故所求函数的定义域是{x|x≥1,且x≠2}.]15.(0,2) [因为函数f(x)=x2-mx-1是[-1,1]上的“平均值函数”,所以存在x0∈(-1,1)使x-mx0-1=得,x-1=(x0-1)m⇒m=x0+1,又x0∈(-1,1)所以实数m的取值范围是m∈(0,2).]考点4 函数的基本性质【两年高考真题演练】1.D [由奇函数定义易知y=ex-e-x为奇函数,故选D.]57\n2.B [由f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,可知A为奇函数,B为偶函数,C定义域不关于原点对称,D为非奇非偶函数.]3.D [对于A,f(-x)=-x+sin2(-x)=-(x+sin2x)=-f(x),为奇函数;对于B,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x),为偶函数;对于C,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数;y=x2+sinx既不是偶函数也不是奇函数,故选D.]4.D [∵f(x)=(x-)cosx,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,B;当x→π时,f(x)<0,排除C.故选D.]5.C [设f(x)上任意一点为(x,y)关于y=-x的对称点为(-y,-x),将(-y,-x)代入y=2x+a,所以y=a-log2(-x),由f(-2)+f(-4)=1,得a-1+a-2=1,2a=4,a=2.]6.B [f(x)=x-sinx的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-f(x),故f(x)为奇函数.又f′(x)=1-sinx≥0恒成立,所以f(x)在其定义域内为增函数,故选B.]7.A [由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)>f(2x-1)即为f(|x|)>f(|2x-1|).当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,得f′(x)=+>0,所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A.]8.D [f(x)=x,f(x+y)=(x+y)≠x·y,不满足f(x+y)=f(x)f(y),A不满足题意.f(x)=x3,f(x+y)=(x+y)3≠x3·y3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),B不满足题意.f(x)=,f(x+y)==·,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)=不是增函数,C不满足题意.f(x)=3x,f(x+y)=3x+y=3x·3y,满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(x)=3x是增函数,D满足题意.]57\n9.C [f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选C.]10.D [由函数f(x+2)为偶函数可得,f(2+x)=f(2-x).又f(-x)=-f(x),故f(2-x)=-f(x-2),所以f(2+x)=-f(x-2),即f(x+4)=-f(x).所以f(x+8)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),故该函数是周期为8的周期函数.又函数f(x)为奇函数,故f(0)=0.所以f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=0+1=1,故选D.]11.A [当0≤x≤时,令f(x)=cosπx≤,解得≤x≤;当x>时,令f(x)=2x-1≤,解得<x≤,故有≤x≤.因为f(x)是偶函数,所以f(x)≤的解集为∪,故f(x-1)≤的解集为∪,故选A.]12.B [当x≥0时,f(x)=,又f(x)为奇函数,可得f(x)的图象如图所示,由图象可得,当x≤2a2时,f(x)max=a2,当x>2a2时,令x-3a2=a2,得x=4a2,又∀x∈R,f(x-1)≤f(x),可知4a2-(-2a2)≤1⇒a∈,选B.]13.1 [∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴x=1,∴a=1,f(x)=2|x-1|,∴f(x)的增区间为[1,+∞),∵[m,+∞)⊆[1,+∞),∴m≥1.∴m的最小值为1.]14.2-2 [①当a≤0时,f(x)=|x2-ax|在[0,1]上是增函数,所以g(a)=f(1)=1-a,此时g(a)min=1;②当0<a<2时,作出函数f(x)=|x2-ax|的大致图象如图:由图易知,f(x)=|x2-ax|在上是增函数,在上是减函数,在[a,157\n]上是增函数,此时,只需比较f与f(1)的大小即可.由f=f(1),得=|1-a|,得=|1-a|,解得a=2-2或a=-2-2(舍)或a=2(舍去).(ⅰ)当0<a≤2-2时,f≤f(1),所以g(a)=f(1)=1-a,此时g(a)min=3-2;(ⅱ)当2-2<a<2时,f>f(1),所以g(a)=f=,此时3-2<g(a)<1;③当a≥2时,f(x)=|x2-ax|在[0,1]上是增函数,所以g(a)=f(1)=a-1,此时g(a)min=1.综上,当a=2-2时,g(a)min=3-2.]15.①④ [设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)),对于①从y=2x的图象可看出,m=kAB>0恒成立,故正确;对于②直线CD的斜率可为负,即n<0,故不正确;对于③由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax,则h′(x)=2x·ln2-2x-a,由h′(x)=0,∴2x·ln2=2x+a,(*)结合图象知,当a很小时,方程(*)无解,∴函数h(x)不一定有极值点,就不一定存在x1,x2使f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),不一定存在x1,x2使得m=n;对于④由m=-n,得f(x1)-f(x2)=g(x2)-g(x1),即f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),令F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax,则F′(x)=2xln2+2x+a,由F′(x)=0,得2xln2=-2x-a,结合如图所示图象可知,该方程有解,即F(x)必有极值点,∴存在x1,x2使F(x1)=F(x2),使m=-n.57\n故①④正确.]【一年模拟试题精练】1.D [y=ln(x-1)在(1,+∞)为增函数,故A错误;y=|x-1|在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)为增函数,故B错误;y=是R上的减函数,故C错;y′=cosx+2>0,所以y=sinx+2x在区间(0,+∞)上为增函数,故选D.]2.A [由题意f(0)=0,即1+m=0,所以m=-1,f(-log35)=-f(log35)=-(3log35-1)=-4.]3.D [由题意得:2-x>x2,即x∈(-2,1).]4.B [函数f(x)的定义域为R,f(-x)==-f(x),所以函数为奇函数;函数f(x)=2x是增函数,f(x)=2-x是减函数,所以f(x)=2x-2-x是增函数,则f(x)=也是增函数.]5.B [因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2),由x≥0时f(x)的图象知f(2)=2,∴f(-2)=-2.]6.B [∵f(x)是[-2,2]上的奇函数,∴f(0)=0,f(a2-a)<0=f(0),又∵f(x)在[-2,0]上单调递减,∴f(x)在[0,2]也单调递减,故即a∈[-1,0)∪(1,2].]7.A [∵x∈(0,1),-x∈(-1,0),∴f(-x)=2-x+=-f(x),即f(x)=-2-x-,x∈(0,1),由f(x-2)=f(x+2),可得f(x)=f(x-4).∵4<log220<5,∴0<log220-4<1∴f(log220)=f(log220-4)=-2-(log220-4)-=-1.]8.B [∵f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(3-6)=f(-3)=-1,f(4)=f(4-6)=f(-2)=0,f(5)=f(5-6)=f(-1)=-1,f(6)=f(6-6)=f(0)=0.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=[f(1)+f(2)+…+f(2010)]+f(2011)+f(2012)=335×1+f(1)+f(2)=338.]9.A [函数为偶函数,所以图象关于y轴对称,排除B,C,当x→π时,y=→57\n0,所以选A.]10.D [由题意得f(x+1)的图象关于y轴对称,则f(x)的图象关于x=1对称,即有f(x)=f(2-x),∴a=f=f,又由已知得f(x)在(1,+∞)上为减函数,∴f(2)>f>f(3),即b>a>c,故选D.]11.-1 [当x>1时,3x=2,x=log32<1,故该值应舍去;当x≤1时,|x-1|=2,x=3或-1,3>1,故x=3应舍去,故x=-1.]12.(2,+∞) [当x∈(0,+∞),-x∈(-∞,0),f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x),故当x∈(0,+∞),f(x)=-x2+x当x∈(0,+∞)时,f(x)<-2即x2-x-2>0,解得x∈(2,+∞);当x∈(-∞,0]时,f(x)<-2即x2+x+2<0,x∈∅,综上,x∈(2,+∞).]13. [由题意可得:解得a∈.]14.[-3,3] [f(x)=|3x-1|+ax+3=函数f(x)有最小值的充要条件为,故实数a的取值范围是[-3,3].]考点5 基本初等函数【两年高考真题演练】1.C [根据指数函数y=0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60=1,根据指数函数y=1.5x在R上单调递增可得1.50.6>1.50=1,∴b<a<c.]2.A [若a>b>1,那么log2a>log2b>0;若log2a>log2b>0,那么a>b>1,故选A.]3.A [易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数,又f(x)=ln=ln,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选A.]4.C [因为-2<1,log212>log28=3>1,所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,f(log212)=2log212-1=2log212×2-1=12×=6,故f(-2)+f(log212)=3+6=9,故选C.]5.C [由图可知-c>0,∴c<0,又当x<-c时,由图象形状可知,a<0且b>0,故选C.]6.B [由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0,57\n所以f(x)=2|x|-1,当x>0时,f(x)为增函数,log0.53=-log23,∴log25>|-log23|>0,∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故选B.]7.C [由题意知∴e22k==,∴e11k=,∴x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·eb=×192=24.]8.C [当a=2时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),∴a=2满足题意,排除A,B选项;当a=时,f(a)=f=3×-1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=满足题意,排除D选项,故答案为C.]9.B [因为函数y=logax过点(3,1),所以1=loga3,解得a=3,y=3-x不可能过点(1,3),排除A;y=(-x)3=-x3不可能过点(1,1),排除C;y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除D.故选B.]10.B [由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.]11.2 [lg0.01+log216=lg+log224=-2+4=2.]12.-1 [lg+2lg2-=lg+lg22-2=lg-2=1-2=-1.]13.- 3 [log2=log22-=-,2log23+log43=2log23+log23=2log23=3.]14.log25 [2-3=<1,又因为2<22<5,所以log22<log222<log25,即<log25.所以最大值为log25.]57\n15. [作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有即解得-<m<0.]【一年模拟试题精练】1.C [lg3+lg2=lg(3×2)=lg6.]2.C [由题意知f(1)<0,∴12+(m-1)×1+m2-2<0,解得:-2<m<1.]3.A [由题意得:解得m=2.]4.C [由题意可得:|x-a|>0,即x-a≠0,a≠x,又∵f(x)在[-1,1]恒有意义,∴a∈(-∞,-1)∪(1,+∞).]5.D [∵由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(-x)=-f(x),∴f=-f=-log2=-1.]6.D [由f(x)=loga(x+b)的图象可知0<a<1,且0<b<1,则函数g(x)=ax+b的大致图象是D.]7.B [易知a,b,c都是正数,==log8164<1,所以b<a;==>1.所以b>c,即c<b<a,故选B.]8.A [y=-(x-2)|x|=作出该函数的图象,观察图象知,其递增区间为[0,1].]9.C [由题意可得或解得a>1或-1<a<0,因此选C.]57\n10.C [a=,b=log9,c=log8,∵=log9<log8,log9>log9.∴c>a>b.]11. [令f(a)=(3-a)(a+6)=-a2-3a+18,a∈[-6,3],当a=-时,f(a)取最大值f=,故(-6≤a≤3)的最大值为.]12.y=x [设f(x)=xα,因为y=f(x)的图象经过点,所以=⇒α=,所以该函数的解析式为:y=x.]13.a>b>c [b==log2,c==log29∵3>6=(63)>(92)=9,∴3>>9,故log23>log2>log29,即a>b>c.]14.(-∞,-2] [法一 f(f(x))<0解集为空集等价于,对∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,f(x)=[x-(a+1)][x-(a-1)],f(f(x))=(x2-2ax+a2-a-2)(x2-2ax+a2-a)≥0恒成立,等价于对∀x∈R,x2-2ax+a2-a≥2或x2-2ax+a2-a≤0(舍去),即∀x∈R,x2-2ax+a2-a-2≥0,由Δ=(-2a)2-4(a2-a-2)≤0,解得a∈(-∞,-2].法二 令t=f(x),由题意得∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立化为f(t)=t2-2at+a2-1≥0,解得t≥a+1或t≤a-1,即:对∀x∈R,t=f(x)=x2-2ax+a2-1≥a+1或t≤a-1或t=f(x)=x2-2ax+a2-1≤a-1成立,即:∀x∈R,x2-2ax+a2-a-2≥0或x2-2ax+a2-a≤0(舍).∴Δ=(-2a)2-4(a2-a-2)≤0,解得a∈(-∞,-2].]考点6 函数与方程【两年高考真题演练】1.D [对数函数y=lnx是非奇非偶函数;y=x2+1为偶函数但没有零点;y=sinx是奇函数;y=cosx是偶函数且有零点,故选D.]2.A [57\n函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,记h(x)=-f(2-x),在同一坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象,如图,g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位,可知f(x)与g(x)的图象有两个交点,故选A.]3.C [因为f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4),故选C.]4.D [当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;当x<0时,由f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-(正根舍去).故选D.]5.B [f′(x)=3ax2-6x.当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈时,f′(x)>0,x∈时,f′(x)<0;x∈时,f′(x)>0注意f(0)=1,f=>0,则f(x)的大致图象如图所示.不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈时,f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0,x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f=-,则f(x)的大致图象如图所示.不符合题意,排除D.]6.(0,2) [令y=|2x-2|,作出其图象如图:57\n由图形知,当0<b<2时,f(x)=|2x-2|-b有两个零点.]7.4 [令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.]8.2 [f(x)=2sinxsin-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.令f(x)=0,则sin2x=x2,则函数f(x)的零点个数即为函数y=sin2x与函数y=x2的图象的交点个数.作出函数图象知,两函数交点有2个,即函数f(x)的零点个数为2.]9.(-∞,0)∪(1,+∞) [若0≤a≤1时,函数f(x)=在R上递增,若a>1或a<0时,由图象知y=f(x)-b存在b使之有两个零点,故a∈(-∞,0)∪(1,+∞).]10.①③④⑤ [令f(x)=x3+ax+b,f′(x)=3x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,必有一个实根,④⑤正确;当a<0时,由于选项当中a=-3,∴只考虑a=-3这一种情况,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∴f(x)极大=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要有一根,f(x)极大<0或f(x)极小>0,∴b<-2或b>2,①③正确,所有正确条件为①③④⑤.]11.解 (1)函数的定义域为(0,+∞).由f(x)=-klnx(k>0)得f′(x)=x-=.由f′(x)=0解得x=.57\nf(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:x(0,)(,+∞)f′(x)-0+f(x)所以,f(x)的单调递减区间是(0,).单调递增区间是(,+∞),f(x)在x=处取得极小值f()=.(2)由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e,当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且f(1)=>0,f()=<0,所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【一年模拟试题精练】1.C [当x∈[-1,2]时,由3-x2=1⇒x=;当x∈(2,5]时,由x-3=1⇒x=4.综上所述,f(x)=1的解为或4.]2.C [画出f(x)的不同情况,其图象如右图,由①排除A,由②排除B,由③排除D,故选C.]3.C [f′(x)=2x+a,则g(x)=lnx+2x+a,由函数f(x)=x2+ax+b的图象知0<b<1,且a+b+1=0,故-2<a<-1,显然函数g(x)=lnx+2x+a在(0,+∞)上为单调增函数,g=ln+2×+a=1-ln2+a<0,57\ng(1)=ln1+2+a=2+a>0,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是.]4.C [(1)∵-x∈R,∴f(-x)=(-x)2+a|-x|+1=x2+a|x|+1=f(x)∴函数f(x)是偶函数,(2)∵二次函数f(x)=x2+a|x|+1,开口向上,所以函数f(x)一定没有最大值.(3)令a=-2,则f(x)=x2-2|x|+1画出如上图所示的函数图象,可知在区间[0,+∞)不是f(x)的单调递增区间,所以C项错误,(4)方程x2+ax+1=0,Δ=a2-4≥-4,此方程可能无解、一个解或者两个解,所以函数f(x)=x2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点.]5.D [由f(x)=ax2-lnx=0,得ax2=lnx,设g(x)=ax2和m(x)=lnx,若a=0,则g(x)和m(x)只有一个交点,满足条件,若a≠0时,作出函数g(x)=ax2和m(x)=lnx的图象,若a>0,当x∈(0,1],g(x)>0,m(x)≤0,此时两个函数没有交点.若a<0,作出函数g(x)=ax2和m(x)=lnx的图象,此时g(x)和m(x)只有一个交点,满足条件,综上a≤0,故选D.]6.B [方程f(x)=k可化为:e|x|=k-|x|,令y=e|x|,y=k-|x|,在同一个坐标系内画出两个函数的图象;57\n当曲线y=e|x|和折线y=k-|x|恰好有一个公共点时,k=1,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是:k>1,故选B.]7.C [a,b分别是ln(x)=ex,n(x)=lnx与直线y=2-x交点的横坐标,如图,∴0<a<1<b,又f(x)在R上递增,∴f(a)<f(1)<f(b).]8.A [由f(x+2)=f(x),可得函数f(x)是周期为2的周期函数,由方程ax-a-f(x)=0(a>0)恰有三个不相等的实数根,可得函数y=f(x)的图象和直线y=ax-a=a(x-1)有3个交点,故有a(3-1)<2,且a(5-1)>2,求得<a<1.]9.C [∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,画出f(x)的图象,如右图,5[f(x)]2-(5a+6)f(x)+6a=0,即f(x)=或f(x)=a,由图象可知y=f(x)与y=有四个交点,由题可知y=f(x)与y=a仅有两个交点,可得a=或0<a≤1.]10.D [令t=|g(x)|,由题意,可化为t2+mt+2m+3=0有两个根分别在(0,157\n)和[1,+∞)上,设h(t)=t2+mt+2m+3.当有一根为1时,h(1)=1+m+2m+3=0,m=-,此时另一根为,符合题意.当没有根为1时,则得m∈.综上m∈.]11. [由题意可得:解得a∈.]12. (0,1] [∵>0,∴f=log2=-1,故f=f(-1)=4-1=,画出f(x)的图象如右图,g(x)存在两个零点等价于y=f(x)与y=k的图象有两个交点,由图形可知k∈(0,1].]13.(1)a=-2或a=4 (2)a∈(-1,3] [(1)∵f(1)=|1-a|=3,∴a=-2或a=4.(2)y=f(x)-2有两个零点等价于y=f(x)与y=2有两个交点,∵log39=2,∴y=|x-a|(x≤1)与y=2有一个交点,y=|x-a|的图象是由y=|x|通过平移得到的,观察图象,y=|x+1|与y=2恰有两个交点,y=|x-3|与y=2恰有一个交点,故a∈(-1,3].]考点7 导数的概念及几何意义【两年高考真题演练】1.A [由已知f(0)=d>0,可排除D;其导函数f′(x)=3ax2+2bx+c且f′(0)=c>0,可排除B;又f′(x)=0有两不等实根,且x1x2=>0,所以a>0,故选A.]2.A [法一 由题意可知,该三次函数满足以下条件:过点(0,0),(2,0),在(0,0)处的切线方程为y=-x,在(2,0)处的切线方程为y=3x-6,以此对选项进行检验.A选项,y=x3-x2-x,显然过两个定点,又y′=x2-x-1,则y′|x=0=-1,y′|x=2=3,故条件都满足,由选择题的特点知应选A.法二 设该三次函数为f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f′(x)=3ax2+2bx+c,由题设有57\n解得a=,b=-,c=-1,d=0.故该函数的解析式为y=x3-x2-x,选A.]3.1 [f′(x)=3ax2+1,f′(1)=1+3a,f(1)=a+2.(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(1+3a)(x-1).将(2,7)代入切线方程,得7-(a+2)=(1+3a),解得a=1.]4.8 [由y=x+lnx,得y′=1+,得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k=y′|x=1=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,此切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,消去y得ax2+ax+2=0,得a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8.]5.(e,e) [由题意得y′=lnx+x·=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以n=elne=e,则点P的坐标为(e,e).]6.-3 [由曲线y=ax2+过点P(2,-5)可得-5=4a+ (1).又y′=2ax-,所以在点P处的切线斜率4a-=- (2).由(1)(2)解得a=-1,b=-2,所以a+b=-3.]7.5x+y+2=0 [由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切线的斜率k=y′|x=0=-5,所以切线方程为y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.]8.①③④ [对于①,y′=3x2,y′|x=0=0,所以l:y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线,画图可知曲线C:y=x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧,①正确;对于②,因为y′=2(x+1),y′|x=-1=0,所以l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在点P(-1,0)处的切线,②错误;对于③,y′=cosx,y′|x=0=1,在点P(0,0)处的切线为l:y=x,画图可知曲线C:y=sinx在点P(0,0)附近位于直线l的两侧,③正确;对于④,y′=,y′|x=0==1,在点P(0,0)处的切线为l:y=x,画图可知曲线C:y=tanx在点P(0,0)附近位于直线l的两侧,④正确;对于⑤,y′=,y′|x=1=1,在点P(1,0)处的切线为l:y=x-1,令h(x)=x-1-lnx(x>0),可得h′(x)=1-=,所以h(x)min=h(1)=0,故x-1≥lnx,可知曲线C:y=lnx在点P(1,0)附近位于直线l的下侧,⑤错误.]9.解 (1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f57\n′(1)=2,又f′(x)=lnx++1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)lnx-,当x∈(0,1]时,h(x)<0.又h(2)=3ln2-=ln8->1-1=0,所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0.因为h′(x)=lnx++1+,所以当x∈(1,2)时,h′(x)>1->0,当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增,所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0.且x∈(0,x0)时,f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)时,f(x)>g(x),所以m(x)=当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0;若x∈(1,x0),由m′(x)=lnx++1>0,可知0<m(x)≤m(x0);故m(x)≤m(x0).当x∈(x0,+∞)时,由m′(x)=,可得x∈(x0,2)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;x∈(2,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减;可知m(x)≤m(2)=,且m(x0)<m(2).综上可得,函数m(x)的最大值为.【一年模拟试题精练】1.C [∵f′(x)=+2x-,∴f′()=+2-=2.]57\n2.B [由题意可得f′(x)=a(x-1)2+,∵a>0,∴f′(x)≥.故α∈.]3.B [f′(x)=x2-4x+3,f′(x)min=f′(2)=-1,f(2)=1,故与f(x)图象相切斜率最小的切线方程为y-1=-1(x-2),即x+y-3=0.]4.B [函数的导数为f′(x)=3x2+2ax+(a-3),若f′(x)为偶函数,则a=0,∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3.∴f′(0)=-3.∴在原点处的切线方程为y=-3x,选B.]5.A [y′=xcosx,k=g(x0)=x0cosx0,由于它是奇函数,排除B,C;当0<x<时,k>0,排除D,答案为A.]6.D [f′(x)=x2sinθ+xcosθ,∴f′(1)=sinθ+cosθ=2=2sin,∵0≤θ≤,∴≤θ+≤,∴≤2sin≤2,即≤f′(1)≤2,即导数f′(1)的取值范围是[,2],选D.]7.A [h′(x)=,h′(1)=1,故切线方程为y-(a+1)=(x-1),即g(x)=x+a,方程f(x)=g(x)有两个不同实根,即y=f(x)与y=g(x)图象有两个交点,由题意f(x)=n∈N*其图象如右图,g(x)=x+a表示与y=x平行的直线束,由图可得a∈(-∞,1).]8.3x-y-2=0 [∵y′=3x2,y′|x=1=3,∴在P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.]57\n9.3 [f(x)=x3+ax+b,f′(1)=3x2+a,f′(x)=3+a;把(1,3)代入y=kx+1,得k=2,可得f′(1)=3+a=2,即a=-1,f(1)=13+a+b=1-1+b=3,得b=3.]10.-2 [设切点为(x0,alnx0),则y=alnx上此点处的切线为y=x+alnx0-a,故∴b=aln-a(a>0)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.∴b的最小值为-2.]11.解 (1)f(x)=x2+ax,则f′(x)=2x+a,k1=2+a,g(x)=bx3+x,则g′(x)=3bx2+1,k2=3b+1,由(1,m)为公共切点,可得:2+a=3b+1,①又f(1)=a+1,g(1)=1+b,∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:a=,b=.∴m=f(1)=.(2)当b=,a=-4时,F(x)=f(x)+g(x)=x3+x2-3x,则F′(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1),令F′(x)=0,解得:x1=-3,x2=1;当x∈(-∞,-3)⇒F′(x)>0⇒函数F(x)单调递增,当x∈(-3,1)⇒F′(x)<0⇒函数F(x)单调递减,当x∈(1,4)⇒F′(x)>0⇒函数F(x)单调递增,∵F(-3)=9,F(4)=,∴函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[-3,4]上的最大值为.考点8 导数的应用一(单调性与极值)【两年高考真题演练】1.A [因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,且g(1)=g(-1)=0.则当x>0时,g′(x)=′=<0,故g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.57\n所以在(0,+∞)上,当0<x<1时,g(x)>g(1)=0⇔>0⇔f(x)>0;在(-∞,0)上,当x<-1时,g(x)<g(-1)=0⇔<0⇔f(x)>0.综上,得使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),选A.]2.D [因为f(x)=kx-lnx,所以f′(x)=k-.因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f′(x)=k-≥0恒成立,即k≥在区间(1,+∞)上恒成立,因为x>1,所以0<<1,所以k≥1.故选D.]3.B [令a=0,则函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a分别为y=-x与y=x,对应的图象是选项D中的图象.记f(x)=ax2-x+,g(x)=a2x3-2ax2+x+a,取a=,则g(0)>f(0)>0.而f(x)=x2-x+=(x-1)2-,令g′(x)=0,得x=或x=2,易知g(x)在区间和(2,+∞)上单调递增,在区间上单调递减,所以g(x)的极小值为g(2)=×23-2××22+2+=,又f(2)=×22-2+=,所以g(2)>f(2),所以选项A中的图象有可能.取a=2,则g(0)>f(0)>0,令g′(x)=0,得x=或x=,易知g(x)在区间和上单调递增,在区间上单调递减,所以g(x)的极小值为g=4×-4×++2=2,又f(x)=2x2-x+1>0,f=2×-+1=1,所以g>f,所以选项C中的图象有可能.利用排除法选B.]4.y=- [设y=f(x)=xex,由y′=ex+xex=ex(1+x)=0,得x=-1.当x<-1时,y′<0;当x>-1时,y′>0,故x=-1为函数f(x)的极值点,切线斜率为0,又f(-1)=-e-1=-,故切点坐标为,切线方程为y+=0(x+1),即y=-.]5.解 (1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′=0,57\n即3a·+2·=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=ex,故g′(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.6.解 (1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)==,f′(x)==.所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0,当-r<x<r时,f′(x)>0.因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100.7.解 (1)对f(x)求导得f′(x)=--,由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x知f′(1)=--a=-2,解得a=.(2)由(1)知f(x)=+-lnx-,57\n则f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=-1或x=5,因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5.【一年模拟试题精练】1.C [根据f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除A,D;从适合f′(x)=0的点可以排除B.]2.B [依题意得,当x>0时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x<0时,f′(x)<0,f(x)是减函数,又f(-3)=f(5)=1,因此不等式f(x)<1的解集是(-3,5),选B.]3.C [f′(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥=,故选C.]4.B [依题意得,f′(x)>0,则f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数、增函数.不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等价于f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),则-1<1-a2<a-1<1,由此解得1<a<,选B.]5.B [构造函数F(x)=,x∈R,F′(x)=,∵f(x)>f′(x),∴F′(x)<0,∴F(x)在R上单调递减,F(0)==1,F(x)=<1=F(0)可得x>0.]6.D [构造函数F(x)=f(x)-,F(1)=f(1)-1=0,∵f′(x)<,∴F′(x)=f′(x)-<0,∴F(x)在R上单调递减,f(x)<+的解集即F(x)<0=F(1)的解集,得x>1.]7.A [构造函数h(x)=,x>0,则h′(x)=>0,x>0,所以h(x)是(0,+∞)上过点(1,0)的增函数,所以当x∈(0,1)时<0,从而得f(x)<0;当x∈(1,+∞)时>0,从而得f(x)>0,由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,57\n所以不等式f(x)>0的解集(-1,0)∪(1,+∞),故选A.]8.D [构造函数F(x)=xf(x),F′(x)=f(x)+xf′(x),当x∈(-∞,0)时,F′(x)<0,故F(x)在(-∞,0)单调递减,∴F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),∴F(x)为R上的偶函数,故F(x)在(0,+∞)单调递增,a=20.2f(20.2)=F(20.2),b=(logπ3)f(logπ3)=F(logπ3),∴c=(-3)·f(log3)=F(-3)=F(3),∵3>20.2>1>logπ3,∴F(3)>F(20.2)>F(logπ3),即c>a>b.]9. [∵f′(x)=3x2+1>0恒成立,∴f(x)在R上是增函数.又f(-x)=-f(x),∴y=f(x)为奇函数.由f(mx-2)+f(x)<0得f(mx-2)<-f(x)=f(-x),∴mx-2<-x,即mx-2+x<0在m∈[-2,2]上恒成立.记g(m)=xm-2+x,则即解得-2<x<.]10.1 [因为f′(x)=2-cosx>0在R上恒成立,所以函数f(x)=2x-sinx在R上单调递增,又因为f(0)=0,所以函数f(x)=2x-sinx只有一个零点.]11.解 (1)f′(x)=x-a-,且函数的定义域为(0,+∞),∵函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,∴当x≥1时,f′(x)≥0恒成立,∴a≤x-,x∈[1,+∞),∵x与-在[1,+∞)都单调递增,∴x-在[1,+∞)也单调递增,且最小值为0,∴a≤0,实数a的取值范围为(-∞,0].57\n(2)f′(x)=x-a-=,x>0,令t(x)=x2-ax-1,此抛物线开口向上且t(0)=-1<0,要使函数f(x)在区间(1,2)上存在极小值x0,则函数f(x)在(1,x0)递减,在(x0,2)递增,所以⇒0<a<,实数a的取值范围为.考点9 导数的应用(二)(最值与不等式)【两年高考真题演练】1.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).2.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时,f′(x)>0,f′(x)没有零点.当a>0时,因为e2x单调递增,-单调递增,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.又f′(a)>0,当b满足0<b<且b<时,f′(b)<0,故当a>0时,f′(x)存在唯一零点.(2)证明 由(1),可设f′(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x57\n)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x0-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.故当a>0时,f(x)≥2a+aln.3.(1)证明 f′(x)=aexcosx-aexsinx=aexcos.令f′(x)=0,由x≥0,得x+=mπ-,即x=mπ-,m∈N*.而对于cos,当k∈Z时,若2kπ-<x+<2kπ+,即2kπ-<x<2kπ+,则cos>0.若2kπ+<x+<2kπ+,即2kπ+<x<2kπ+,则cos<0.因此,在区间与上,f′(x)的符号总相反.于是当x=mπ-(m∈N*)时,f(x)取得极值,所以xn=nπ-π(n∈N*).此时,f(xn)=aenπ-cos=(-1)n+1enπ-.易知f(xn)≠0,而==-eπ是常数,故数列{f(xn)}是首项为f(x1)=e,公比为-eπ的等比数列.(2)解 对一切n∈N*,xn≤|f(xn)|恒成立,即nπ-≤enπ-恒成立,亦即57\n≤恒成立(因为a>0).设g(t)=(t>0),则g′(t)=.令g′(t)=0得t=1.当0<t<1时,g′(t)<0,所以g(t)在区间(0,1)上单调递减;当t>1时,g′(t)>0,所以g(t)在区间(1,+∞)上单调递增.因为x1∈(0,1),且当n≥2时,xn∈(1,+∞),xn<xn+1,所以[g(xn)]min=min{g(x1),g(x2)}=min=g=e.因此,xn≤|f(xn)|恒成立,当且仅当≤e.解得a≥e-.故a的取值范围是.4.解 (1)当x∈(0,)时,f′(x)=π+πsinx-2cosx>0,所以f(x)在(0,)上为增函数,又f(0)=-π-2<0,f()=-4>0,所以存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0.(2)当x∈[,π]时,化简得g(x)=(π-x)·+-1.令t=π-x,记u(t)=g(π-t)=--t+1,t∈[0,],则u′(t)=.由(1)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)<0,当t∈(x0,)时,u′(t)>0.57\n在(x0,)上u(t)为增函数,由u()=0知,当t∈[x0,)时,u(t)<0,所以u(t)在[x0,)上无零点.在(0,x0)上u(t)为减函数,由u(0)=1及u(x0)<0知存在唯一t0∈(0,x0),使u(t0)=0.于是存在唯一t0∈(0,),使u(t0)=0.设x1=π-t0∈(,π),则g(x1)=g(π-t0)=u(t0)=0,因此存在唯一的x1∈(,π),使g(x1)=0.由于x1=π-t0,t0<x0,所以x0+x1>π.【一年模拟试题精练】1.C [∵y=xex,∴y′=ex+xex=(1+x)ex.则当x>-1时y′>0,当x<-1时y′<0.∴x=-1时函数取得最小值且ymin=-.故选C.]2.B [y=ex与y=ln(2x)互为反函数,故此两函数图象关于y=x对称,过y=ex点P1(x0,y0)且与y=ex相切斜率为1的直线为y-1=x-ln2,点P1的坐标为(ln2,1),点P1关于y=x的对称点Q1(1,ln2)在y=ln(2x),可知,|PQ|min=|P1Q1|=(1-ln2).]3.B [∵f(f(b))=b,∴f(b)=f-1(b),∴y=f(x)与y=f-1(x),在[0,1]上有交点,又∵y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于y=x对称,∴y=f(x)与y=f-1(x)的交点在y=x上,且交点横坐标b∈[0,1],根据ex+2x-a=x,得a=ex+x,令g(x)=ex+x,g′(x)=ex+1>0,故g(x)在[0,1]上单调递增.∴g(x)∈[1,1+e],故a∈[1,1+e].]57\n4.A [令g(x)=x2-2ex+m-=0⇒m=-x2+2ex+(x>0),设h(x)=-x2+2ex+,令f1(x)=-x2+2ex,f2(x)=⇒f′2(x)=,发现函数f1(x),f2(x)在x∈(0,e)上都单调递增,在x∈[e,+∞)上都单调递减,于是函数h(x)=-x2+2ex+在x∈(0,e)上单调递增,在x∈[e,+∞)上单调递减,所以当x=e时,h(x)max=e2+,所以函数有零点需满足m≤h(x)max,即m≤e2+.]5.4 [f′(x)=3ax2-3,由题意可得:得a∈[2,4],故f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为,∵a∈[2,4],∴⊆[-1,1],由函数的单调性,可得f≥0,即a≥4,故a=4.]6.②③④ [ 对于①,展开可得f(x)=x3-2cx2+c2x,求导数可得f′(x)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c),令f′(x)=0,可得x=c,或x=,当c=0时,函数无极值,不合题意,当c>0时,函数在,(c,+∞)单调递增,在单调递减,故函数在x=处取到极大值,故c=6;当c<0时,函数在(-∞,c),单调递增,在单调递减,故函数在x=c处取到极大值,故c=2,矛盾,∴命题①错误;对于②,(x-1)f′(x)≥0,则:函数f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增,∴f(0)>f(1),f(2)>f(1),则f(0)+f(2)>2f(1).命题②正确;对于③,∵f(x)=x3-3x在(a2-17,a)上有最大值,∴此最大值必是极大值,令f′(x)=3x2-3=0,求得极值点为x=1或x=-1,当x>1或x<-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当-1<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∴x=-1为极大值点,包含在(a2-17,a)之内,∴a2-17<-1<a,解得-1<a<4.∴实数a的取值范围为(-1,4),命题③正确;57\n对于④,xf′(x)-f(x)>0(x>0),即>0,则′>0,所以函数在(0,+∞)上是增函数,且当x=1时,=f(1)=0,故函数在(0,1)上有<0,则f(x)<0,在(1,+∞)上有>0,则f(x)>0.又由函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时f(x)<0,当x∈(1,0)时,f(x)>0.故不等式f(x)>0的解集为:(-1,0)∪(1,+∞),命题④正确.故答案为②③④.]7.解 由题意可知,当x=20时,y=35.7,所以35.7=mln20-+×20+ln10,即35.7=3m+38.7,解得:m=-1,所以:y=-lnx-x2+x+ln10(x>10),设利润为:f(x)=y-x=-lnx-x2+x+ln10-x=-lnx-x2+x+ln10(x>10),易得:f′(x)=--+=-,又x>10,∴当10<x<50时,f′(x)>0;当x>50时,f′(x)<0,从而x=50为函数f(x)的极大值点,即x=50时函数f(x)取得最大值.∴f(x)max=-ln50-×(50)2+×50+ln10=24.4(万元),答:该生产线升级改造后获得的最大利润为24.4万元.8.(1)解 因f(x)=lnx-x,所以f′(x)=-1=.当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明 由(1)知,当x>0时,f(x)<f(1)=-1,即lnx<x-1.因为an=1+(n∈N*),所以lnan=ln<.令k=1,2,3,…+,n,这n个式子相加得:57\nlna1+lna2+…+lnan<+++…=1-<1.即ln(a1a2a3…+an)<1,所以a1a2a3…an<e.(3)解 令g(x)==,则g′(x)=,令h(x)=x-lnx-1,则h′(x)=1-,x>2时h′(x)>0,故h(x)在(2,+∞)上单调递增,而h(x)>h(2)=1-ln2>0,h(x)>0,即g′(x)>0,所以g(x)在(2,+∞)上单调递增,故g(x)>g(2)==2ln2.由题意有k≤2ln2,所以k的最大值是2ln2.57

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文章作者:U-336598

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