一点一练2022版高考数学第十章推理与证明算法与复数专题演练文含两年高考一年模拟

第十章　推理与证明、算法与复数考点33　推理与证明两年高考真题演练1．(2022·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　)A．77B．49C．45D．302．(2022·广东)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4，0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4，0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝(　　)A．200B．150C．100D．503．(2022·陕西)观察下列等式1－＝1－＋－＝＋1－＋－＋－＝＋＋……据此规律，第n个等式可为________．4．(2022·陕西)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋则f2014(x)的表达式为______．5．(2022·北京)顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________个工作日．6．(2022·江苏)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a16\n依次构成等比数列？并说明理由．16\n考点33　推理与证明一年模拟试题精练1．(2022·吉林四校调研)设a、b、c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于22．(2022·河北保定模拟)定义AB，BC，CD，DB分别对应下列图形(　　)那么下列图形中，可以表示AD，AC的分别是(　　)A．(1)(2)B．(2)(3)C．(2)(4)D．(1)(4)3．(2022·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是(　　)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确4．(2022·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(　　)A．2011B．2012C．2013D．20145．(2022·泉州模拟)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S16\n，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________．6．(2022·黄山模拟)在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2022·莱芜模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．8．(2022·北京模拟)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________．9．(2022·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2022·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2022·宝鸡市质检)观察等式：①×13＋×12＋×1＝12，②×23＋×22＋×2＝12＋22，③×33＋×32＋×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2015个成立的等式是________．12．(2022·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有＋＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．16\n考点34　算法与复数两年高考真题演练1．(2022·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为(　　)A．2B．7C．8D．128　　　　第1题图　　　　　　第2题图2．(2022·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为(　　)A．2B．3C．4D．53．(2022·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为(　　)A．3B．4C．5D．64．(2022·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为(　　)A．－B.C．－D.16\n　　　第3题图　　　　第4题图　　　　　第5题图5．(2022·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(　　)A.B.C.D.6．(2022·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝(　　)A.B.C.D.　　第6题图　　　　　　　第7题图7．(2022·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)A．4B．5C．6D．78．(2022·新课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i9．(2022·新课标全国Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)A．－4B．－3C．3D．416\n10．(2022·广东)已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)A．2iB．－2iC．2D．－211．(2022·山东)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i12．(2022·安徽)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．3＋3iB．－1＋3iC．3＋iD．－1＋i13．(2022·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．(2022·福建)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于(　　)A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i16\n考点34　算法与复数一年模拟试题精练1．(2022·北京西城区期末)执行如图所示的程序框图，输出的x的值为(　　)A．4B．5C．6D．7　　　　第1题图　　　　　　　　第2题图2．(2022·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为(　　)A．7B．8C．9D．103．(2022·湖北八校一联)如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是(　　)A．i≤2013?B．i≤2015?C．i≤2017?D．i≤2019?　　　　　第3题图　　　　　第4题图4．(2022·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于(　　)16\nA．1B.C.D.5．(2022·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应填(　　)A．k>4?B．k>5?C．k>6?D．k>7?　　第5题图　　　　　第6题图6．(2022·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S的值为(　　)A．3B．－6C．10D．127．(2022·贵阳市模拟)复数z＝3－2i，i是虚数单位，则z的虚部是(　　)A．2iB．－2iC．2D．－28．(2022·郑州一预)设i是虚数单位，若复数m＋(m∈R)是纯虚数，则m的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．39．(2022·邯郸市质检)已知i是虚数单位，则复数z＝的虚部是(　　)A．0B．iC．－iD．110．(2022·汕头市监测)复数的实部与虚部之和为(　　)A．－1B．2C．1D．011．(2022·唐山一期检测)若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则z的值为(　　)A．2B．3C．3iD．2i12．(2022·唐山摸底)复数z＝，则(　　)A．|z|＝2B．z的实部为1C．z的虚部为－iD．z的共轭复数为－1＋i16\n13．(2022·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点(　　)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x参考答案第十章　推理与证明、算法与复数考点33　推理与证明【两年高考真题演练】1．C　[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A　[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋　[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且有前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋16\n＋…＋.]4．f2014(x)＝　[f1(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝，…，由数学归纳法得f2014(x)＝.]5．42　[为使交货期最短，需徒弟先对原料B进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B后直接对原料A进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明　因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列，(2)解　令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.将t2＝t＋1代入(*)式，t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．(3)解　假设存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列，则a(a1＋2d)n＋2k＝(a1＋d)2(n＋k)，且(a1＋d)n＋k(a1＋3d)n＋3k＝(a1＋2d)2(n＋2k)．分别在两个等式的两边同除以a及a，并令t＝，则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，16\n且(1＋t)n＋k(1＋3t)n＋3k＝(1＋2t)2(n＋2k)．将上述两个等式两边取对数，得(n＋2k)ln(1＋2t)＝2(n＋k)ln(1＋t)，且(n＋k)ln(1＋t)＋(n＋3k)ln(1＋3t)＝2(n＋2k)ln(1＋2t)．化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)(**)．令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，则g′(t)＝.令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)，则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]．令φ1(t)＝φ′(t)，则φ1′(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]．令φ2(t)＝φ1′(t)，则φ2′(t)＝＞0.由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)＞0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在和(0，＋∞)上均单调．故g(t)只有唯一零点t＝0，即方程(**)只有唯一解t＝0，故假设不成立．所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D　[利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a＋＋b＋＋c＋＜6，而a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C　[由AB，BC知，B是大正方形，A是|，C是—，由CD知，D是小正方形，∴AD为小正方形中有竖线，即(2)正确，AC为＋，即(4)正确．故选C.]3．D　[反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B　[设最小的数为x，则其它8个数分别为x＋7，x＋8，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，x＋17，x＋18，故9个数之和为x＋3(x＋8)＋5(x＋16)＝9x＋104，当x＝212时，9x＋104＝2012.]16\n5.　[V＝S1·R＋S2·R＋S3·R＋S4·R＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，R＝.]6．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2　[设α，β，γ是AC1分别与面ABCD1，面ABB1A1，面BCC1B1所成的角．cosα＝，cosβ＝，cosγ＝，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＝2.]7.　[f(x)＝sinx，≤f即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.故sinA＋sinB＋sinC的最大值为.]8．2014　[令a＝n，b＝1，则f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即：＝f(1)＝2，故：＋＋…＋＝2×1007＝2014.]9．甲　[假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n＋1·　[12＝1＝(－1)2；12－22＝－3＝(－1)3；12－22＋32＝6＝(－1)4；12－22＋32－42＝－10＝(－1)5，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·.]11.×20153＋×20152＋×2015＝12＋22＋…＋20222　[①：×13＋×12＋×1＝12；②：×23＋×22＋×2＝12＋22；③：×33＋×32＋×3＝12＋22＋32，……；2015：×20153＋×20152＋×2015＝12＋22＋…＋20152]12.＋＋＝3　[设O到各个平面的距离为d，而VR－AQP＝S△AQP·AR＝··AQ·AP·AR＝AQ·AP·AR，16\n又∵VR－AQP＝VO－AQP＋VO－ARP＋VO－AQR＝S△AQP·d＋S△ARP·d＋S△AQR·d＝(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)dAQ·AP·AR＝(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d，即＋＋＝d，而VA－BDC＝S△BDC·h＝··2·＝，VO－ABD＝VA－BDC＝，即·S△ABD·d＝··d＝⇒d＝3，∴＋＋＝3.]考点34　算法与复数【两年高考真题演练】1．C　[当x＝1时，执行y＝9－1＝8.输出y的值为8，故选C.]2．C　[运行相应的程序．第1次循环：i＝1，S＝10－1＝9；第2次循环：i＝2，S＝9－2＝7；第3次循环：i＝3，S＝7－3＝4；第4次循环：i＝4，S＝4－4＝0；满足S＝0≤1，结束循环，输出i＝4.故选C.]3．B　[第一次循环：a＝3×＝，k＝1；第二次循环：a＝×＝，k＝2；第三次循环：a＝×＝，k＝3；第四次循环：a＝×＝<，k＝4.故输出k＝4.]4．D　[每次循环的结果为k＝2，k＝3，k＝4，k＝5＞4，∴S＝sin＝.]5．D　[s＝＋＋＋＝，即输出s的值为.]16\n6．D　[当n＝1时，M＝1＋＝，a＝2，b＝；当n＝2时，M＝2＋＝，a＝，b＝；当n＝3时，M＝＋＝，a＝，b＝；n＝4时，终止循环．输出M＝.]7．D　[k＝1，M＝×2＝2，S＝2＋3＝5；k＝2，M＝×2＝2，S＝2＋5＝7；k＝3，3>t，∴输出S＝7，故选D.]8．C　[由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.]9．D　[由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D.]10．A　[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.]11．A　[∵＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.]12．C　[(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i，故选C.]13．B　[实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C　[因为复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选C.]【一年模拟试题精练】1．C　[x＝3，y＝23＝8<10＋3＋3＝33；x＝3＋1＝4.y＝24＝16<10×4＋3＝43；x＝4＋1＝5，y＝25＝32<10×5＋3＝53；x＝5＋1＝6，y＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x值为6.]2．D　[由题意知S0应为偶数，排除选项A、C.当S0＝8时，i＝1<4，S＝8－2＝6；i＝2<4，S＝6－22＝2；i＝3<4，S＝2－23＝－6；i＝4＝4，输出S＝－6，排除B，故选D.]3．B　[i＝2，S＝0；S＝0＋，i＝4；S＝＋，i＝6；…，S＝＋＋…＋，i＝2014；要计算S＝＋＋…＋＋，应满足i≤2015.]4．C　[S＝1＝1，k＝1<2015；S＝<1，k＝2<2015；s＝2×＝<1，k＝3<2015；16\nS＝×2＝<1，k＝4<2022；S＝×2＝1，k＝5<2015循环周期为4，2015＝4×503＋3，S＝1＝1，k＝2013<2015；S＝，k＝2014<2015；S＝×2＝<1，k＝2015＝2015，S＝×2＝<1，k＝2016>2015，输出S＝.]5．A　[k＝1，S＝1；k＝2，S＝2×1＋2＝4；k＝3，S＝2×4＋3＝11；k＝4，S＝2×11＋4＝26；k＝5，S＝2×26＋5＝57要输出S＝57，需k>4.]6．C　[当i＝1时，1<5为奇数，S＝－1，i＝2；当i＝2时，2<5为偶数，S＝－1＋4＝3，i＝3；当i＝3时，3<5为奇数，S＝3－33＝－5，i＝4；当i＝4时，4<5为偶数，S＝－6＋42＝10，i＝5；当i＝5时，5≥5，输出S＝10.]7．D　[z＝3－2i的虚部为－2.]8．A　[∵m＋＝m＋3－i为纯虚数，∴m＋3＝0，即m＝－3.]9．D　[∵z＝＝i，∴z的虚部为1.]10．B　[＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C　[∵z＝＝＋i为纯虚数，∴＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D　[∵z＝＝－1－i，∴|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A　[∵z＝a＋bi的共轭复数z＝a－bi，∴z和z关于x轴对称．]16