一点一练2022版高考数学第五章数列专题演练文含两年高考一年模拟

第五章　数列考点16　等差数列两年高考真题演练1．(2022·重庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)A．－1B．0C．1D．62．(2022·新课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5B．7C．9D．113．(2022·浙江)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．(2022·新课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　)A.B.C．10D．125．(2022·新课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)A．n(n＋1)B．n(n－1)C.D.6．(2022·重庆)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)A．5B．8C．10D．147．(2022·陕西)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．8．(2022·浙江)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．9．(2022·安徽)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．10．(2022·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．11．(2022·新课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________．21\n12．(2022·北京)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7；问：b6与数列{an}的第几项相等？13．(2022·新课标全国Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．考点16　等差数列一年模拟试题精练1．(2022·黄冈中学检测)已知{an}是等差数列，a1＋a7＝－2，a3＝2，则{an}的公差d＝(　　)A．－1B．－2C．－3D．－42．(2022·惠州市三调)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于(　　)A．1B.C．－2D．33．(2022·西安八校联考)在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)A．37B．36C．20D．194．(2022·杭州七校联考)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1＋an，若a1＝1，a5＝8，则a3＝(　　)21\nA．1B．2C．3D.5．(2022·唐山一中高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝(　　)A．7B．12C．14D．216．(2022·邯郸市质检)已知在等差数列{an}中，a1＝1，前10项的和等于前5项的和，若am＋a6＝0，则m＝(　　)A．10B．9C．8D．27．(2022·赣州十二县高三联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝15，则S9＝(　　)A．27B．36C．44D．548．(2022·长春调研)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S4＝20，S6－S2＝36，则该等差数列的公差d＝(　　)A．－2B．2C．－4D．49．(2022·郑州市一预)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且＝，则a2＝(　　)A．2B．3C．4D．510．(2022·济南一中高三期中)等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为(　　)A．7B．8C．9D．1011．(2022·河北五市一中监测)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝10，S4＝36，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是(　　)A.B．(－1，－1)C.D.12．(2022·泰安市检测)在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于(　　)A．－2B．0C．1D．213．(2022·巴蜀中学一模)在等差数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a8＝40，则a4·a5的最大值是(　　)A．5B．10C．25D．5014．(2022·宿迁市摸底)已知{an}是等差数列，若2a7－a5－3＝0，则a9的值是________．21\n15．(2022·眉山市一诊)有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为________．16．(2022·大同市调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若＝，则＋＝________．17．(2022·宝鸡市质检)已知等差数列{an}的公差不为零，a3＝5，且a1，a7，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.考点17　等比数列两年高考真题演练1．(2022·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)A．21B．42C．63D．842．(2022·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)A．2B．1C.D.3．(2022·广东)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b21\n＝________．4．(2022·新课标全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．5．(2022·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．6．(2022·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．7．(2022·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．8．(2022·安徽)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．9．(2022·重庆)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.10．(2022·四川)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.21\n考点17　等比数列一年模拟试题精练1．(2022·绵阳市一诊)设各项均不为0的数列{an}满足an＋1＝an(n≥1)，若a2a4＝2a5，则a3＝(　　)A.B．2C．2D．42．(2022·邢台市摸底)已知数列{an}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　)A．9或－9B．9C．27或－27D．273．(2022·泰安市高三统考)正项等比数列{an}的公比为2，若a2a10＝16，则a9的值是(　　)A．8B．16C．32D．644．(2022·安阳市高三摸底)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7a1，则数列{an}的公比q的值为(　　)A．2B．3C．2或－3D．2或35．(2022·云南师大附中适应性考试)各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则公比q的值为(　　)A.B.C.D.或6．(2022·天津六校一联)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)A．3B．4C．5D．67．(2022·赤峰市高三统考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)A．7B．5C．－5D．－78．(2022·沈阳市四校联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)A．2B.C.D．39．(2022·湖北八校一联)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是(　　)A．若a3＞0，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜021\nC．若a3＞0，则S2013＞0D．若a4＞0，则S2014＞010．(2022·济南一中检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)11．(2022·桂林市检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，a4＝－8，则S5＝________．12．(2022·乐山市调研)等比数列{an}满足anan＋1＝9n，则{an}的公比为________．13．(2022·晋冀豫三省二调)设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和，记Tn＝，n∈N*，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________．14．(2022·豫南九校二联)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4，求数列前n项和Tn.21\n考点18　数列求和与数列的综合应用两年高考真题演练1．(2022·福建)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．2．(2022·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.3．(2022·安徽)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明Tn≥.21\n4．(2022·新课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.考点18　数列求和与数列的综合应用一年模拟试题精练1．(2022·大庆市质检二)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)A．29B．31C．33D．362．(2022·青岛模拟)已知Sn＝＋＋＋…＋，若Sm＝10，则m＝(　　)A．11B．99C．120D．1213．(2022·重庆模拟)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn为(　　)21\nA.B.C.D.4．(2022·衡水中学四调)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若数列{Sn}在n≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为(　　)A．(－15，＋∞)B．[－15，＋∞)C．[－16，＋∞)D．(－16，＋∞)5.(2022·武汉市调考)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，和B1，B2，…，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋！的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则a9＝(　　)A.B.C．5D．26．(2022·济南一中高三期中)＋＋…＋＝________．7．(2022·厦门市质检)数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则该数列的前22项和等于________．8．(2022·南昌市调研)一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．9．(2022·衡水中学四调)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887.人们称该数列为{an}“斐波那契数列”，若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2014项的值是________．10．(2022·衡水中学四调)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，数列{bn}为等差数列，且b3＝3，b5＝9.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；21\n(2)若对任意的n∈N*，·k≥bn恒成立，求实数k的取值范围．参考答案第五章　数　列考点16　等差数列【两年高考真题演练】1．B　[由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.]2．A　[∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5.故选A.]3．B　[∵a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，整理得a1＝－d，∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，∴dS4＝－＜0，故选B.]4．B　[由S8＝4S4知，a5＋a6＋a7＋a8＝3(a1＋a2＋a3＋a4)，又d＝1，∴a1＝，a10＝＋9×1＝.5．A　[因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋d＝n(n＋1)．故选A.]6．B　[由等差数列的性质得a1＋a7＝a3＋a5，因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.]7．5　[由题意设首项为a1，则a1＋2015＝2×1010＝2020，∴a1＝5.]8.　－1　[因为a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴a1＝－d，∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1即3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1.]9．27　[由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.]10．10　[因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.]21\n11．－　[由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.]12．解　(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1，2，…)．(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2，得n＝63，所以b6与数列{an}的第63项相等．13．(1)证明　由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解　由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．【一年模拟试题精练】1．C　[a1＋a7＝a3－2d＋a3＋4d＝2a3＋2d＝－2，得d＝－3.]2．C　[∵a1＝4，S3＝6，∴S3＝4×3＋d＝6，得d＝－2.]3．A　[am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.]4．C　[a3＝a2＋a1＝a2＋1，a4＝a3＋a2＝2a2＋1，a5＝a4＋a3＝2a2＋1＋a2＋1＝3a2＋2，故a2＝2，因此a3＝a2＋a1＝3.]5．C　[∵an＋2＝2an＋1－an，∴an＋an＋2＝2an＋1，故{an}为等差数列，∵a5＝4－a3，∴a321\n＋a5＝4，故S7＝＝＝＝14.]6．A　[∵S10＝S5，∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，即a8＝0.am＋a6＝a8＋(m－8)d＋a8－2d＝0，得m＝10.]7．B　[∵{an}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即：S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)得S9＝36.]8．B　[由题意，a1＋a2＋a3＋a4＝20，a3＋a4＋a5＋a6＝36，作差可得8d＝16，即d＝2.]9．A　[依题意得＝，a1a3＝5，a2＝＝2.]10．B　[法一　S13＝＝0，a13＝－a1＝12，d＝＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－14，解an＞0，得n＞7，故使an＞0的最小正整数n为8.法二　S13＝＝13a7＝0，得a7＝0，故a8＞0，故an＞0的最小正整数n为8.]11．A　[设等差数列{an}的公差为d，则由题设得：解得：所以an＝4n－1，＝(n＋2－n，an＋2－an)＝(2，8)＝－4×，所以过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是，故选A.]12．A　[∵{an}为等差数列，∴an＋1＋an－1＝2an，又∵an＋1＋an－1＝a，∴a＝2an，∵an≠0，∴an＝2，故S2n－1－4n＝(2n－1)·2－4n＝－2.]13．C　[由a1＋a2＋a3＋…＋a8＝40得4(a4＋a5)＝40即a4＋a5＝10，a4＋a5≥2，得：a4·a5≤25，故a4·a5的最大值为25.]14．3　[2a7－a5＝a7＋(a7－a5)＝a7＋2d＝a9＝3.]15．1472　[2，6，10，…，190的通项公式为an＝2＋(n－1)·4＝4n－2；2，8，14，…，200的通项公式为bm＝2＋(m－1)·6＝6m－4，由4n－2＝6m－4，得：n＝，当m＝1时，n＝1；当m＝3时，n＝4；当m＝5时，n＝7，…；当m＝31时，n＝46构成一个新数列为2，14，26，…，182，其通项公式为Cn＝2＋(n－1)·12＝12n－10.其各项之和为C1＋C2＋…＋C16＝＝1472.]16.　[＋＝＋＝＝＝＝＝.]17．解　(1)设{an}的首项为a1，公差为d，由题意，a＝a1a5，21\n即(a1＋6d)2＝a1(a1＋4d)，又a3＝a1＋2d＝5(d≠0)，得a1＝9，d＝－2，故an＝－2n＋11.(2)令Sn＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，由(1)知a2n－1＝－4n＋13，故{a2n－1}是首项为9，公差为－4的等差数列．∴Sn＝(a1＋a2n－1)＝(－4n＋22)＝－2n2＋11n.考点17　等比数列【两年高考真题演练】1．B　[设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.]2．C　[由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.]3．1　[∵三个正数a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1.∵b为正数，∴b＝1.]4．6　[由an＋1＝2an知，数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.]5．2n－1　[由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.]6．3n－1　[由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.]7．4　[设等比数列{an}的公比为q，q>0.则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.]8．1　[设{an}公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，所以(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，所以q＝＝＝＝1.]9．解　(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得21\na1＋2d＝2，3a1＋d＝，化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，解得a1＝1，d＝，故通项公式an＝1＋，即an＝.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.10．解　(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.【一年模拟试题精练】1．D　[由an＋1＝an(n≥1)知数列{an}是以为公比的等比数列，因为a2a4＝2a5，所以a1q·a1q3＝2a1q4⇒a1＝2，所以a3＝4.]2．B　[依题意得a＝a5·a9＝81，又注意到＝q2＞0(其中q为公比)，因此a5，a7的符号相同，故a7＝9.]3．C　[∵an＞0，∴a2a10＝a＝16，即a6＝4.故a9＝a6·q3＝4×8＝32.]21\n4．C　[由公比不为1的等比数列前n项和的公式得：＝7a1，解得q＝2或q＝－3.]5．B　[因为a2，a3，a1成等差数列，所以a1＋a2＝2×a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，所以q2－q－1＝0，解得q＝或q＝＜0(舍去)．]6．B　[由3(S3－S2)＝3a3＝(a4－2)－(a3－2)＝a4－a3得a4＝4a3，即q＝＝4.]7．D　[a5·a6＝a4·a7＝－8，故a4，a7是方程x2－2x－8＝0的两根，得或当a4＝－2，a7＝4时，q3＝＝－2，a1＋a10＝＋a7·q3＝－7；当a4＝4，a7＝－2时，q3＝＝－，a7＋a10＝＋a7·q3＝－7.]8．B　[设公比为q，则＝＝＝1＋q3＝3，所以q3＝2，所以＝＝＝.故选B.]9．C　[对于A：1，－1，1，－1，…，满足a3＞0，但a2013＝1＞0，排除A；对于B：－1，1，－1，1，…，满足a4＞0，但a2014＝－100，排除B；对于D：－1，1，－1，1，…，满足a4＞0，但S2014＝0，排除D，故选C.]10．C　[∵a2＝2，a5＝，∴q3＝＝，即q＝，得an＝a2qn－2＝，则bn＝anan＋1＝，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－4－n)．]11．11　[∵＝－8＝q3，∴q＝－2，S5＝＝11.]12．3　[设{an}的公比为q，∵＝q2＝9，则q＝±3，∵anan＋1＝9n＞0，∴q＝3.]13．4　[设等比数列的首项为a1，21\n则an＝a1()n－1，Sn＝，所以Tn＝＝＝，因为()n＋≥8，当且仅当()n＝，即n＝4时取等号，故当n0＝4，Tn0最大．]14．(1)解　当n＝1时，a1＝5S1＋1，∵a1＝－，又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1∴an＋1－an＝5an＋1，即＝－，∴数列{an}是首项为a1＝－，公比为q＝－的等比数列，∴an＝.(2)bn＝log4|(－4)n|＝n，所以＝＝－，Tn＝＝.考点18　数列求和与数列的综合应用【两年高考真题演练】1．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋5521\n＝211＋53＝2101.2．解　(1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.又a1＋a4＝9.可解得或(舍去)．由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.3．(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝….当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝＝>＝＝.所以Tn>×××…×＝.综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.4．证明　(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.21\n(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.【一年模拟试题精练】1．B　[∵a2a3＝2a1，∴a1q3＝a4＝2.又∵a4＋2a7＝×2，∴a7＝，故q＝，a1＝16，因此S5＝＝31.]2．C　[∵Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.∴Sm＝－1＝10，得m＝120.]3．B　[∵an＝＝＝，∴bn＝＝＝4.故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝4＝.]4．D　[∵an＝2n＋λ，∴a1＝2＋λ，∴Sn＝＝＝n2＋(λ＋1)n，又因为n∈N*，由二次函数的性质和n∈N*，可知－＜7.5，即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞－16.故选D.]5．C　[由题意可知，△OA1B1∽△OA2B2，21\n∴＝＝，∴＝，同理△OA1B1∽△OA9B9，∴＝＝⇒OA9＝5，即a9＝5.]6.　[an＝＝，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝.]7．11　[an＋1＝＝1－，∵a1＝，∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，故{an}为周期为3的数列，即a1＝a3n＋1，a2＝a3n＋2，a3＝a3n＋3，故a1＋a2＋a3＋…＋a22＝(a1＋a2＋a3)·7＋a22＝11.]8．2　[记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{an}(n＝1，2，3，4)，则由题意得a2＝a1＋1，a3＝a2＋1，a4＝a3＋1，而a4＋1＝2，解得a4＝2，因此得a3＝2，…，a1＝2.]9．3　[1，1，2，3，5，8，13，…，除以4得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{bn}是周期为6的周期数列，b2014＝b235×6＋3＝b3＝3，所以第2014项的值是3.]10．解　(1)由an＋1＝2Sn＋1①得an＝2Sn－1＋1②，①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3，a1＝1也满足上式，∴an＝3n－1；b5－b3＝2d＝6，∴d＝3.∴bn＝3＋(n－3)·3＝3n－6.(2)Sn＝＝＝，∴k≥3n－6，对n∈N*恒成立，∴k≥对n∈N*恒成立，令cn＝，cn－cn－1＝－＝，当n≤3时，cn＞cn－1，当n≥4时，21\ncn＜cn－1，(cn)max＝c3＝，所以实数k的取值范围是.21