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一点一练2022版高考数学第五章数列专题演练理含两年高考一年模拟
一点一练2022版高考数学第五章数列专题演练理含两年高考一年模拟
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第五章 数列考点15 等差数列两年高考真题演练1.(2022·重庆)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=( )A.-1B.0C.1D.62.(2022·北京)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( )A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>03.(2022·浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>04.(2022·陕西)原命题为“若<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假5.(2022·辽宁)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列,则( )A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>06.(2022·广东)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.7.(2022·江西)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.8.(2022·北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.9.(2022·湖北)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.26\n考点15 等差数列一年模拟试题精练1.(2022·云南省昆明模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a10=S4,则等于( )A.4B.5C.8D.102.(2022·北京西城模拟)已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2a=a+a(n≥2),则a6等于( )A.16B.8C.2D.43.(2022安徽安庆模拟)已知数列{an}是等差数列,a1=tan225°,a5=13a1,设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和,则S2014=( )A.2015B.-2015C.3021D.-30224.(2022·乌鲁木齐模拟)设{an}是公差不为零的等差数列,a2=2,且a1,a3,a9成等比数列,则数列{an}的前n项和Sn=( )A.+B.+C.+D.+5.(2022·江西四县模拟)已知数列{an}是等差数列,且a1∈[0,1],a2∈[1,2],a3∈26\n[2,3],则a4的取值范围为( )A.[3,4]B.C.D.[2,5]6.(2022·四川德阳模拟)在数列{an}中,已知a1=-20,an+1=an+4(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式和前n项和An;(2)若bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项Sn.7.(2022·河北衡水模拟)已知等差数列{an}中,a2+a6=6,Sn为其前n项和,S5=.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<m对一切n∈N*成立,求最小正整数m.26\n考点16 等比数列两年高考真题演练1.(2022·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.842.(2022·福建)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )A.6B.7C.8D.93.(2022·北京)设{an}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2022·重庆)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列5.(2022·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.6.(2022·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.7.(2022·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________.8.(2022·安徽)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=________.9.(2022·广东)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.10.(2022·江西)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.26\n(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.26\n考点16 等比数列一年模拟试题精练1.(2022·山东日照模拟)设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2·a4=1,S3=7,则S5=( )A.B.C.D.2.(2022·湖北八校模拟)已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论中一定成立的是( )A.若a3>0,,则a2013<0B.若a4>0,则a2014<0C.若a3>0,则S2013>0D.若a4>0,则S2014>03.(2022·青岛模拟)已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其公比q≠1且bi>0(i=1,2,…,n),若a1=b1,a11=b11,则( )A.a6>b6B.a6=b6C.a6<b6D.a6<b6或a6>b64.(2022·江西赣州模拟)在公比大于1的等比数列{an}中,a3a7=72,a2+a8=27,则a12=( )A.96B.64C.72D.485.(2022·湖南常德模拟)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( )A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.(1-4-n)D.(1-2-n)6.(2022·甘肃一模)抛物线x2=y在第一象限内图象上一点(ai,2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中i∈N*,若a2=32,则a2+a4+a6=( )A.64B.42C.32D.217.(2022·江苏宿迁模拟)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于________.8.(2022·安徽安庆模拟)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足a=4Sn+4n+1,n∈N*,且a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项.26\n(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,求实数k的取值范围.9.(2022·山东济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1+2p(n∈N*).(1)求p的值及数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足=(3+p)anbn,求数列{bn}的前n项和Tn.考点17 数列求和两年高考真题演练1.(2022·天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.26\n2.(2022·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.3.(2022·大纲全国)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.4.(2022·四川)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).26\n(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.考点17 数列求和一年模拟试题精练1.(2022·山东菏泽一模)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,且对任意的n∈N*,都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n·2n+3.(1)若{bn}的首项为4,公比为2,求数列{an+bn}的前n项和Sn;(2)若an=4n+4,试探究:数列{bn}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它r(r∈N,r≥2)项的和?若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.2.(2022·山东潍坊一模)已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.(1)求an,bn;(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.3.(2022·山东烟台一模)已知数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列.26\n(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求证:+++…+<.4.(2022·广东江门模拟)设数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.26\n考点18 数列的综合应用两年高考真题演练1.(2022·湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.2.(2022·湖南)已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.(1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(2)若p=,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.3.(2022·浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;26\n(2)设cn=-(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn;②求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.考点18 数列的综合应用一年模拟试题精练1.(2022·江西重点中学联盟模拟)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,其中n∈N*.(1)若数列{an}是等比数列,求实数t的值;(2)设各项均不为0的数列{cn}中,所有满足ci·ci+1<0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”,令cn=(n∈N*),在(1)的条件下,求数列{cn}的“积异号数”.26\n2.(2022·广东广州一模)已知等差数列{an}的首项为10,公差为2,等比数列{bn}的首项为1,公比为2,n∈N*.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设第n个正方形的边长为cn=min{an,bn},求前n个正方形的面积之和Sn.(注:min{a,b}表示a与b的最小值.)26\n第五章 数列考点15 等差数列【两年高考真题演练】1.B [由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,故选B.]2.C [A,B选项易举反例,C中若0<a1<a2,∴a3>a2>a1>0,∵a1+a3>2,又2a2=a1+a3,∴2a2>2,即a2>成立.]3.B [∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),整理得a1=-d,∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-,∴dS4=-<0,故选B.]4.A [从原命题的真假入手,由于<an⇔an+1<an⇔{an}为递减数列,即原命题和逆命题均为真命题,又原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题,选A.]5.C [{2a1an}为递减数列,可知{a1an}也为递减数列,又a1an=a+a1(n-1)d=a1dn+a-a1d,故a1d<0,故选C.]6.10 [因为{an}是等差数列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.]7. [由题意知当d<0时,Sn存在最大值,∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大.又∵当且仅当n=8时,Sn取最大值,∴∴解得-1≤d<-.]8.8 [∵数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0.∴当n=8时,其前n项和最大.]9.解 (1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.26\n当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.【一年模拟试题精练】1.A [由a10=S4得a1+9d=4a1+d=4a1+6d,即a1=d≠0.所以S8=8a1+d=8a1+28d=36d,所以===4,选A.]2.D [由2a=a+a(n≥2)可知数列{a}是等差数列,且以a=1为首项,公差d=a-a=4-1=3,所以数列的通项公式为a=1+3(n-1)=3n-2,所以a=3×6-2=16,即a6=4.选D.]3.C [a1=tan225°=tan45°=1,设等差数列{an}的公差为d,则由a5=13a1,得a5=13,d===3,∴S2014=-a1+a2-a3+a4+…+(-1)2014a2014=-(a1+a3+…+a2013)+(a2+a4+…+a2014)=1007d=1007×3=3021.故选C.]4.D [设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由a2=2,且a1,a3,a9成等比数列,得(2+d)2=(2-d)(2+7d),解得d=1.∴a1=a2-d=2-1=1,∴Sn=na1+=n+=+,故选D.]5.C6.解 (1)∵数列{an}满足an+1=an+4(n∈N*),∴数列{an}是以公差为4,以a1=-20为首项的等差数列.故数列{an}的通项公式为an=-20+4(n-1)=4n-24(n∈N*),数列{an}的前n项和An=2n2-22n(n∈N*).(2)∵bn===-(n∈N*),∴数列{bn}的前n项Sn为Sn=b1+b2+…+bn=++…+=1-=.]7.解 (1)由a2+a6=6,得a4=3,又由S5==5a3=,得a3=,26\n设等差数列{an}的公差为d,则解得∴an=n+.(2)当n≥2时,bn===当n=1时,上式同样成立,∴Sn=b1+b2+…+bn==又随n递增,且<·1≤m,∴m≥5,mmin=5.考点16 等比数列【两年高考真题演练】1.B [设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.]2.D [由题意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有:a,-2,b;b,-2,a.∴或解之得:或∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.]3.D [当数列{an}的首项a1<0时,若q>1,则数列{an}是递减数列;当数列{an}的首项a1<0时,要使数列{an}为递增数列,则0<q<1,所以“q>1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.]4.D [由等比数列的性质得,a3·a9=a≠0,因此a3,a6,a9一定成等比数列,选D.]5.2n-1 [由等比数列性质知a2a3=a1a4,又a2a3=8,a1+a4=9,所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列,∴a1=1,a4=8,从而a1q3=8,∴q=2.∴数列{an}的前n项和为Sn==2n-1.]26\n6.3n-1 [由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,∴公比q=3,故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.]7.4 [设等比数列{an}的公比为q,q>0.则a8=a6+2a4即为a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(负值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.]8. [由题意知数列{an}是以首项a1=2,公比q=的等比数列,∴a7=a1·q6=2×=.]9.50 [由等比数列的性质可知,a10a11+a9a12=2e5,所以a10·a11=e5,于是lna1+lna2+…+lna20=10ln(a10·a11)=10lne5=50.]10.解 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以-=2,即cn+1-cn=2.所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列{an}的前n项和Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)·3n,相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.【一年模拟试题精练】1.B2.C [设an=a1qn-1,因为q2010>0所以A,B不成立,对于C,当a3>0时,a1>0,因为1-q与1-q2013同号,所以S2013>0,所以C正确,对于D,取-1,1,-1,1,…不满足条件,D错,故选C.]3.A [∵a6=,b6==,∴>,∴a6>b6.]4.A [∵a3a7=a2a8=72,a2+a8=27,∴或又∵公比大于1,∴∴q6=8即q2=2,∴a12=a2q10=3×25=96.]5.C [因为{an}是等比数列,所以{anan+1}成以8为首项,为公比的等比数列,所以a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n),故选C.]26\n6.B [∵y=2x2(x>0),∴y′=4x,∴x2=y在第一象限内图象上一点(ai,2a)处的切线方程是:y-2a=4ai(x-ai),整理,得4aix-y-2a=0,∵切线与x轴交点的横坐标为ai+1,∴ai+1=ai,∴{a2k}是首项为a2=32,公比q=的等比数列,∴a2+a4+a6=32+8+2=42.故选B.]7.3+2 [a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,即q2-2q-1=0,∴q=1+,所以=q2=3+2.]8.解 (1)当n≥2时,4Sn-1=a-4(n-1)-1,4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4a=a+4an+4=(an+2)2,∵an>0,∴an+1=an+2,∴当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列,∵a2,a5,a14构成等比数列,∴a=a2·a14,(a2+8)2=a2·(a2+24),解得a2=3,由条件可知,4a1=a-5=4,∴a1=1,∵a2-a1=3-1=2,∴{an}是首项a1=1,公差为d=2的等差数列.数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=3n.(2)Tn===,∴k≥3n-6对n∈N*恒成立,∴k≥对n∈N*恒成立,令cn=,cn-cn-1=-=,当n≤3时,cn>cn-1,当n≥4时,cn<cn-1,∴(cn)max=c3=,k≥.9.解 (1)由an=Sn-Sn+1=2n+1+2p-2n-2p=2n,n≥2,a1=S1=4+2p=2,由a1,a2,a3成等比得p=-1.(2)由=(3+p)anbn,可得bn=,Tn=++…+,Tn=++…+,Tn=+++…+-,26\nTn=-,Tn=2--.考点17 数列求和【两年高考真题演练】1.解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1),又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=2;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=2.所以,{an}的通项公式为an=(2)由(1)得bn==.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×.上述两式相减得:Sn=1+++…+-=-=2--,整理得,Sn=4-,n∈N*.所以,数列{bn}的前n项和为4-,n∈N*.2.解 (1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.26\n故数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.3.解 (1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,于是10+3d≥0,10+4d≤0.解得-≤d≤-.因此d=-3.数列{an}的通项公式为an=13-3n.(2)bn==(-).于是Tn=b1+b2+…+bn===.4.解 (1)由已知得,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2.解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意得,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.26\n因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以,Tn=.【一年模拟试题精练】1.解 (1)因为a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n·2n+3,所以当n≥2时,a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-1)·2n+2,两式相减,得anbn=n·2n+3-(n-1)·2n+2=(n+1)·2n+2(n≥2),而当n=1时,a1b1=16适合上式,从而anbn=(n+1)·2n+2(n∈N*),又因为{bn}是首项为4,公比为2的等比数列,即bn=2n+1,所以an=2n+2,从而数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+2+n2+3n-4.(2)因为an=4n+4,anbn=(n+1)·2n+2(n∈N*),所以bn=2n,假设数列{bn}中第k项可以表示为该数列中其它r(r∈N,r≥2)项bt1,bt2,bt3,…,btn(t1<t2<t3…<tn)的和,即bk=bt1,bt2,bt3,…,btn,从而2k=2t1+2t2+2t3+…+2tn,易知k≥tn+1,(*)又2k=2t1+2t2+2t3+…+2tn≤21+22+23+…+2n==2n+1-2<2n+1,所以k<tn+1此与(*)矛盾,从而这样的项不存在.2.解 (1)n≥2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1,∴an=2n+1,∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,∴bn+1=,当n≥2时,bn=,又b1=3适合上式,∴bn=.(2)由(1)知bn=,∴Tn=+++…++①Tn=+++…++②①-②,得Tn=3++++…+-=3+4·-=5-,∴Tn=-,26\nTn-Tn+1=-=-<0,所以,Tn<Tn+1即{Tn}为递增数列,又T3=<7,T4=>7,当Tn<7时,n的最大值为3.3.(1)解 ∵,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+,当n=1时,2a1=S1+,∴a1=,当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,两式相减得:an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴=2,所以数列{an}是首项为,公比为2的等比数列.an=×2n-1=2n-2.(2)证明 bn=log2a2n+1×log2a2n+3=log222n+1-2×log222n+3-2=(2n-1)(2n+1)=×=+++…+==<.4.(1)解 a1=S1==1.(2)解 n>1时,an=Sn-Sn-1=-=n(2n-1),n=1时,n(2n-1)=1=a1,所以∀n∈N*,an=n(2n-1).(3)证明 由(2)知,n>1时,==<=++…+<1+26\n=1+=1+<1+=,∵++…+单调递增,∴∀n∈N*,++…+<.考点18 数列的综合应用【两年高考真题演练】1.解 (1)由题意有,即解得或故或(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+++++…+,①Tn=+++++…+.②①-②可得Tn=2+++…+-=3-,故Tn=6-.2.解 (1)因为{an}是递增数列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=,p=0.当p=0时,an+1=an,这与{an}是递增数列矛盾.故p=.(2)由于{a2n-1}是递增数列,因而a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①26\n但<,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②由①,②知,a2n-a2n-1>0,因此a2n-a2n-1==.③因为{a2n}是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n<0,故a2n+1-a2n=-=.④由③,④即知,an+1-an=.于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+-+…+=1+·=+·.故数列{an}的通项公式为an=+·.3.解 (1)由题意a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6,知a3=()b3-b2=8,又由a1=2,得公比q=2(q=-2,舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N*).所以,a1a2a3…an=2=()n(n+1)故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).(2)①由(1)知cn=-=-(n∈N*),所以Sn=-(n∈N*).②因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当n≥5时,cn=,而-=>0,得≤<1.所以,当n≥5时,cn<0.26\n综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.【一年模拟试题精练】1.解 (1)由题意,当n≥2时,有两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),所以,当n≥2时{an}是等比数列,要使n≥1时{an}是等比数列,则只需==3,从而得出t=1(2)由(1)得,等比数列{an}的首项为a1=1,公比q=3,∴an=3n-1,∴cn===1-,∵c1=1-=-3,c2=1-=,∴c1c2=-1<0,∵cn+1-cn=-=>0,∴数列{cn}递增.由c2=>0,得当n≥2时,cn>0.∴数列{cn}的“积异号数”为1.2.解 (1)因为等差数列{an}的首项为10,公差为2,所以an=10+(n-1)×2,即an=2n+8.因为等比数列{bn}的首项为1,公比为2,所以bn=1×2n-1,即bn=2n-1.(2)因为a1=10,a2=12,a3=14,a4=16,a5=18,a6=20,b1=1,b2=2,b3=4,b4=8,b5=16,b6=32.易知当n≤5时,an>bn.下面证明当n≥6时,不等式bn>an成立.法一 ①当n=6时,b6=26-1=32>20=2×6+8=a6,不等式显然成立.②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即2k-1>2k+8.则有2k=2×2k-1>2(2k+8)=2(k+1)+8+(2k+6)>2(k+1)+8.这说明当n=k+1时,不等式也成立.综合①②可知,不等式对n≥6的所有整数都成立.所以当n≥6时,bn>an.法二 因为当n≥6时,bn-an=2n-1-(2n+8)=(1+1)n-1-(2n+8)=(C+C+C+…+C)-(2n+8)26\n≥(C+C+C+C+C+C)-(2n+8)=2(C+C+C)-(2n+8)=n2-3n-6=n(n-4)+(n-6)>0,所以当n≥6时,bn>an.所以cn=min{an,bn}=则c=当n≤5时,Sn=c+c+c+…+c=b+b+b+…+b=20+22+24+…+22n-2==(4n-1).当n>5时,Sn=c+c+c+…+c=(b+b+…+b)+(a+a+…+a)=(45-1)+4[(6+4)2+(7+4)2+…+(n+4)2]=341+4[62+72+…+n2)+8(6+7+…+n)+16(n-5)]=341+4[(12+22+…+n2)-(12+22+…+52)]+32(6+7+…+n)+64(n-5)=341+4+32×+64(n-5)=n3+18n2+n-679.综上可知,Sn=26
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