一点一练2022版高考数学第四章平面向量专题演练理含两年高考一年模拟

第四章　平面向量考点13　平面向量的概念与运算两年高考真题演练1.(2022·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)A．－a2B．－a2C.a2D.a22．(2022·新课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－3．(2022·陕西)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b24．(2022·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D．π5．(2022·新课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)A.B.C.D.6．(2022·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)A.B．2C．3D．47．(2022·浙江)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定19\nC．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定8．(2022·浙江)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则(　　)A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|29．(2022·山东)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)A．2B.C．0D．－10．(2022·广东)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝(　　)A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)11．(2022·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)12．(2022·北京)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)13．(2022·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D．014．(2022·新课标全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)A．1B．2C．3D．515．(2022·新课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．16．(2022·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.19\n17．(2022·江西)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.考点13　平面向量的概念与运算一年模拟试题精练1．(2022·西城区模拟)设命题p：∀平面向量a和b，|a－b|＜|a|＋|b|，则綈p为(　　)A．∀平面向量a和b，|a－b|≥|a|＋|b|B．∃平面向量a和b，|a－b|＜|a|＋|b|C．∃平面向量a和b，|a－b|＞|a|＋|b|D．∃平面向量a和b，|a－b|≥|a|＋|b|2．(2022·北京四中模拟)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c,b∥c，则|a＋b|＝(　　)A.B.C．2D．103．(2022·朝阳区模拟)设a，b是两个非零的平面向量，下列说法正确的是(　　)①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|a－b|；②|a·b|＝|a||b|；③若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|＋|b|；④若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb.A．①③B．①④C．②③D．②④4．(2022·吉林长春模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝(　　)A．1B.C．4＋D．25．(2022·甘肃模拟)已知平面向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝(　　)A．1B.C．3D．26．(2022·广东三门模拟)若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　　)A．|2a|＞|2a＋b|B．|2a|＜|2a＋b|C．|2b|＜|a＋2b|D．|2b|＞|a＋2b|19\n7．(2022·四川雅安模拟)已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是(　　)A．0B.C.D．18．(2022·安徽安庆模拟)已知a、b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则＝(　　)A.B.C.D.9．(2022·江南十校模拟)已知点A(1，－1)，B(4，0)，C(2，2)平面区域D是由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤a，1≤μ≤b)的点P(x，y)组成的区域，若区域D的面积为8，则4a＋b的最小值为(　　)A．5B．4C．9D．5＋410．(2022·湖南常德模拟)已知＝(2，1)，＝(5，5)，则向量在方向上的投影为________．11．(2022·江苏启东模拟)已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：(－)·(2－－)＝0，则△ABC的形状是________．12．(2022·皖江名校模拟)在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B＝AB，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①当P与A，B不重合时，＋与共线；②·＝－；③存在点P，使||＜||；④·＝0；⑤AC＝BC.13．(2022·江苏四市模拟)在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(1，2sinθ)，b＝，θ∈R.(1)若a⊥b，求tanθ的值；19\n(2)若a∥b，且θ∈，求θ的值．考点14　平面向量的应用两年高考真题演练1.(2022·四川)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)A．20B.15C．9D．62．(2022·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥3．(2022·福建)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)19\nA．13B．15C．19D．214．(2022·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC，若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)A.B.C.D.5．(2022·四川)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)A．2B．3C.D.6．(2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acosθ＋bsinθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)A．1<r<R<3B．1<r<3≤RC．r≤1<R<3D．1<r<3<R7．(2022·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则||·||的最小值为________．8．(2022·浙江)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9．(2022·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若·＝1，则λ的值为________．10．(2022·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·19\n的值是________．11．(2022·山东)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．12．(2022·陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求||；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．19\n考点14　平面向量的应用一年模拟试题精练1．(2022·沈阳质检)已知平行四边形ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，对角线AC与BD相交于点M，则的坐标为(　　)A.B.C.D.2．(2022·辽宁五校联考)已知直角坐标系内的两个向量a＝(1，3)，b＝(m，2m－3)使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞)D．[－3，3)3．(2022·广东肇庆模拟)已知向量a＝(1，－cosθ)，b＝(1，2cosθ)且a⊥b，则cos2θ等于(　　)A．－1B．0C.D.4．(2022·天津一中模拟)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，且a＋b与c共线，b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)A．aB．bC．cD．05．(2022·上海市浦东新区模拟)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若＝m＋n，则(　　)A．0＜m＋n＜1B．m＋n＞1C．m＋n＜－1D．－1＜m＋n＜06．(2022·天津市滨海新区模拟)在平行四边形ABCD中，＝，＝2，连接CE、19\nDF相交于点M，若＝λ＋μ，则实数λ与μ的乘积为(　　)A.B.C.D.7．(2022·广东肇庆市模拟)定义空间两个向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①a⊗b＝b⊗a，②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b，③(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)，④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊗b＝|x1y2－x2y1|.恒成立的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2022·山东济宁模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．9．(2022·湖北宜昌模拟)△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2，－1)，n＝(sinBsinC，＋2cosBcosC)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)现给出以下三个条件：①B＝45°；②2sinC－(－1)·sinB＝0；③a＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积．19\n第四章　平面向量考点13　平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】1．D　[如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴·＝||||cos30°＝a2×＝a2.]2．A　[∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.]3．B4．A　[由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，所以3×－cosθ－2＝0，cosθ＝，θ＝，选A.]5．A　[＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.]6．D　[依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.]7．B　[|b＋ta|2＝|a|2t2＋2a·b·t＋|b|2＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2，设f(t)＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2，则二次函数f(t)的最小值为1，即＝1，化简得|b|2sin2θ＝1.∵|b|＞0，0≤θ≤π，∴|b|sinθ＝1，若θ确定，则|b|唯一确定，19\n而|b|确定，θ不确定，故选B.]8．D　[由三角形法则知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a＋b|，|a－b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.]9．B　[根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意．]10．B　[由于a＝(1，2)，b＝(3，1)，于是b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.]11．B　[若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.]12．A　[因为a＝(2，4)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)，选A.]13．B　[设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a2＋2b2，记为S1，若S的表达式中有2个a·b，则S＝a2＋b2＋2a·b，记为S2，若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2＞0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2＞0，S2－S3＝(a－b)2＞0，所以S3＜S2＜S1，故Smin＝S3＝4a·b，设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cosθ＝4|a|2，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]14．A　[∵|a＋b|＝10，∴(a＋b)2＝10，即a2＋b2＋2a·b＝10.①∵|a－b|＝，∴(a－b)2＝6，即a2＋b2－2a·b＝6.②由①②可得a·b＝1.故选A.]15．90°　[由＝(＋)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°.]16.　[∵|a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)，∵λa＋b＝0，∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝19\n.]17.　[因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.]【一年模拟试题精练】1．D　[根据全称命题的否定是特称命题，故选D.]2．B　[因为a⊥c，b∥c，所以x＝2，y＝－2，a＋b＝(3，1)，所以|a＋b|＝，故选B.]3．B　[①中利用平行四边形法则，可以得到以a，b为邻边的平行四边形为矩形，故|a＋b|＝|a－b|；②直接利用数量积公式，不正确；③中只有a，b同向时才成立；④|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b反向，故正确，故选B.]4．B　[|a＋2b|＝＝，故选B.]5．D　[|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝12，所以a2＋2|a|－8＝0，所以|a|＝2，故选D.]6．D　[因为|a＋b|＝|b|，则|a＋b|2＝|b|2，即a2＋2a·b＝0，所以a·b＜0，因为|a＋2b|2－|2b|2＝a2＋4a·b＜0，故选D.]7．C　[|ta－b|2＝t2a2－t|a|＋1＝＋，所以|ta－b|的最小值是，故选C.]8．D　[利用向量加法的几何意义，可以得到|a|，|b|为邻边的三角形的内角分别为和由正弦定理得到＝.]9．C　[如图，延长AB至点N，延长AC至点M，使得|AN|＝a|AB|，|AM|＝b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意知，点P(x，y)组成的区域D为图中的阴影部分，即四边形EHGF.∵＝(3，1)，＝(1，3)，＝(－2，2)，∴||＝，||＝，||＝2.19\n则cos∠CAB＝＝，sin∠CAB＝.∴四边形EHGF的面积为(a－1)×(b－1)×＝8.∴(a－1)(b－1)＝1，即＋＝1，故4a＋b＝(4a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝，即a＝，b＝3时，等号成立，故4a＋b取得最小值为9.]10.　[向量在方向上的投影为＝＝.]11．等腰三角形12．①②⑤　[因为D为BC边的中点，所以＋＝2，所以①正确；·＝(＋)·(＋)＝2－2，所以②正确；同理可得·＝2－2，由已知·≥·恒成立，得2≥2，即||≥||恒成立，所以故③错误；注意到P0，D是定点，所以P0D是点D与直线上各点距离的最小值，所以P0D⊥AB，故·＝0，设AB中点为O，则CO∥P0D，所以④错误；再由D为BC的中点，易得CO为底边AB的中线，故△ABC是等腰三角形，有AC＝BC，所以⑤正确．综上可知，①②⑤正确．]13．解　(1)因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2sinθ＋sin＝0，即sinθ＋cosθ＝0.因为cosθ≠0，所以tanθ＝－.(2)由a∥b，得2sinθsin＝1，即2sin2θcos＋2sinθcosθsin＝1，即(1－cos2θ)＋sin2θ＝1，整理得，sin＝，又θ∈，所以2θ－∈，19\n所以2θ－＝，即θ＝.考点14　平面向量的应用【两年高考真题演练】1．C　[＝＋，＝－＝－＋∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.]2．D　[由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(＋)·(－)＝0，即(＋)·＝0，∴(4a＋b)⊥，即(4a＋b)⊥，故选D.]3.A　[建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.]4．C5．B6．A　[由于|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以||＝(a＋b)＝·＝2，因此点Q在以原点为圆心，半径等于2的圆上，19\n又||＝|acosθ＋bsinθ|＝＝＝1，因此曲线C是以原点为圆心，半径等于1的圆．又区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}，所以区域Ω是以点Q为圆心，半径分别为r和R的两个圆之间的圆环，由图形可知，要使曲线C与该圆环的公共部分是两段分离的曲线，应有1＜r＜R＜3.]7.　[在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos60°＋2×＋λ×1×cos60°＋λ·×cos120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.]8．1　2　2　[∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．由题意知解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝＋(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，＋(y－2)2＋t2取到最小值．此时t2＝1，故|b|＝＝2.]9．2　[∵四边形ABCD为菱形，且边长为2，∠BAD＝120°，∴＝，＝.19\n由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋.∴·＝·＝×4＋·＋·＋×4＝＋×2×2×＋＝1.∴－2－＋＝1.∴＝3－，∴λ＝2.]10．22　[由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝·＝2－·－2，即2＝25－·－×64，解得·＝22.]11.　[由·＝tanA，可得||·||cosA＝tanA，因为A＝，所以||·||·＝，即||·||＝.所以S△ABC＝||·||·sinA＝××＝.]12．解　(1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(1，2)，∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，∴||＝＝2.(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，19\n∴两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.【一年模拟试题精练】1．B　[由题意可知，＝(＋)＝，故选B.]2．B　[由题意可知，向量a与b为基底，所以不共线，≠，得m≠－3，故选B.]3．B　[a⊥b⇔－1＋2cos2θ＝0⇔cos2θ＝0.]4．D　[因为a＋b与c共线，所以有a＋b＝mc，又b＋c与a共线，所以有b＋c＝na，即b＝mc－a且b＝－c＋na，因为a，b，c中任意两个都不共线，则有所以b＝mc－a＝－c－a，即a＋b＋c＝0，选D.]5．B　[如果记得结论，“A，B，D三点共线，O是直线AB外一点，＝x＋y，A，B，D三点共线⇔x＋y＝1，”则本题可很快得出结论，设D是OC与AB的交点，且＝x＋y，则x＋y＝1，而＝λ＝λx＋λy，显然λ＞1,又m＝λx，n＝λy，故m＋n＝λ(x＋y)＝λ＞1，如果记不得这个结论，则直线从等式＝m＋n入手，2＝(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn·，而·＜||||＝1，因此1＝2＜m2＋n2＋2mn，所以m＋n＞1.]6．B　[因为E，M，C三点共线，所以设＝x＋(1－x)，则＝＋(1－x)(＋)＝＋(1－x).同理D，M，F三点共线，所以设＝y＋(1－y)，则＝y＋，所以有19\n解得y＝，即＝＋，所以λ＝，μ＝，即λμ＝×＝，选B.]7．B　[①恒成立；②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立；③当a，b，c不共面时，(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)不成立，例如取a，b，c为两两垂直的单位向量，易得(a＋b)⊗c＝，(a⊗c)＋(b⊗c)＝2；④由a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，可知(a⊗b)2＋(a·b)2＝|a|2·|b|2(a⊗b)2＝|a|2·|b|2－(a·b)2＝(x＋y)(x＋y)＝(x1x2＋y1y2)2＝(x1y2－x2y1)2，故a⊗b＝|x1y2－x2y1|恒成立．]8.　[将矩形放入平面直角坐标系，如图，因为AB＝，BC＝2，E为BC的中点，所以B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)，设F(x，2)则＝(x，2)，＝(，0)，所以·＝(x，2)·(，0)＝x＝，所以x＝1.所以＝(，1)，＝(x－，2)＝(1－，2)，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.]9．解　(1)∵m⊥n，∴2sinBsinC－2cosBcosC－＝0，∴cos(B＋C)＝－，∴cosA＝，又0＜A＜π，∴A＝30°，(2)选择①，③∵A＝30°，B＝45°，C＝105°，a＝2且sin105°＝sin(45°＋60°)＝，c＝＝＋，19\n∴S△ABC＝acsinB＝＋1，选②③∵A＝30°，a＝2，∴2sinC＝(＋1)sinB⇒2c＝(＋1)b，由余弦定理：a2＝4＝b2＋－2b×b×⇒b2＝8b＝2，c＝b＝＋，∴S△ABC＝＋1(选①，②不能)．19