一点一练2022版高考数学第二章函数导数及其应用专题演练理含两年高考一年模拟

第二章　函数导数及其应用考点3　函数的性质及其应用两年高考真题演练1.(2022·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B.奇函数，且在(0，1)上是减函数C.偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数2．(2022·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋13．(2022·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)A．y＝x＋exB．y＝x＋C．y＝2x＋D．y＝4．(2022·浙江)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　)A．f(sin2x)＝sinxB．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|5．(2022·福建)下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝B．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝ex－e－x6．(2022·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)7．(2022·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是(　　)A．f(x)＝xB．f(x)＝x3C．f(x)＝D．f(x)＝3x8．(2022·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)51\n9．(2022·重庆)下列函数为偶函数的是(　　)A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x10．(2022·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数11．(2022·广东)下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝2x－B．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x12．(2022·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x13．(2022·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．14．(2022·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．15．(2022·新课标全国Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．考点3　函数的性质及其应用一年模拟试题精练1．(2022·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为(　　)A．y＝B．y＝lgxC．y＝cosxD．y＝x22．(2022·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是(　　)A．y＝sinxB．y＝ln(－x)C．y＝exD．y＝ln3．(2022·山东日照模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为(　　)51\nA．4B．－4C．6D．－64．(2022·广东揭阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)、f(x－1)都是奇函数，则(　　)A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数C．f(x＋5)是偶函数D．f(x＋7)是奇函数5．(2022·辽宁沈阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x≤－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1<x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝(　　)A．335B．338C．1678D．20126．(2022·山东德州模拟)下列函数中，与函数y＝的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)A．y＝－B．y＝x2＋2C．y＝x3－3D．y＝log|x|7．(2022·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________．8．(2022·山东菏泽模拟)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)．则f，f(2)，f(3)从小到大排列是________．9．(2022·杭州七校模拟)已知函数f(x)＝x2＋(x－1)·|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a<1且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．考点4　函数的图象及其应用两年高考真题演练51\n1.(2022·浙江)函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)2．(2022·安徽)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<03．(2022·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}4．(2022·安徽)51\n函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<05．(2022·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)6．(2022·湖北)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)．例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数．(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)考点4　函数的图象及其应用一年模拟试题精练1.51\n(2022·贵州七校联盟)已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)A．f(x)＝　　B．f(x)＝C．f(x)＝－1D．f(x)＝x－2．(2022·山东日照模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．(2022·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)4．(2022·福建福州模拟)定义运算“*”为：a*b＝若函数f(x)＝(x＋1)*x，则该函数的图象大致是(　　)51\n5．(2022·豫南豫北十校模拟)函数f(x)＝的大致图象是(　　)6．(2022·山东日照模拟)函数f(x)＝x2－2|x|的大致图象为(　　)7．(2022·辽宁沈阳模拟)下列四个图中，函数y＝的图象可能是(　　)8．(2022·安徽马鞍山模拟)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；51\n③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若f(x)为单函数，则函数f(x)在定义域上具有单调性．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．51\n考点5　基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)两年高考真题演练1.(2022·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．(2022·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a3．(2022·陕西)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q4．(2022·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是(　　)A.B．[0，1]C.D．[1,＋∞)5.(2022·山东)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜16．(2022·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax51\n的图象可能是(　　)7．(2022·江西)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝(　　)A．1B．2C．3D．－18．(2022·辽宁)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a9．(2022·天津)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)10．(2022·天津)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a11．(2022·浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________．12．(2022·安徽)lg＋2lg2－＝________．13．(2022·福建)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．14．(2022·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，51\n现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．51\n考点5　基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)一年模拟试题精练1．(2022·福建五校模拟)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)A．b<a<cB．a<b<cC．c<b<aD．b<c<a2．(2022·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝e|lnx|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)3．(2022·安徽淮南模拟)设函数y＝x与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)A.B.C.D.4．(2022·广东湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x2)<x2f(x1)；③>；④<其中正确结论的序号是(　　)A．①②B．①③C．②④D．②③5．(2022·浙江协作体模拟)∀α∈，x＝(sinα)logπcosα，y＝(cosα)logπsinα，则x与y的大小关系为(　　)A．x>yB．x<yC．x＝yD．不确定6．(2022·浙江绍兴模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的最小值是(　　)51\nA.B．1C.D．27．(2022·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝，则不等式f(x－2)＋f(x2－4)<0的解集为(　　)A．(－1，6)B．(－6，1)C．(－2，3)D．(－3，2)8．(2022·安徽淮南模拟)对于函数f(x)，g(x)和区间D，如果存在x0∈D，使得|f(x0)－g(x0)|≤1，则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“相互接近点”．现给出四对函数：①f(x)＝x2，g(x)＝2x－2；②f(x)＝，g(x)＝x＋2；③f(x)＝lnx，g(x)＝x；④f(x)＝e－x＋1，g(x)＝－.则在区间(0，＋∞)上存在唯一“相互接近点”的是(　　)A．①③B．③④C．①④D．②④9．(2022·安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(2015)＝________．10．(2022·黑龙江模拟)如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝3x－sinx；④f(x)＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．11．(2022·浙江湖州模拟)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(－1)＝f(2)，且不等式x≤f(x)≤2|x－1|＋1对x∈[0，2]恒成立，求函数f(x)的解析式；(2)若c<0，且函数f(x)在[－1，1]上有两个零点，求2b＋c的取值范围．51\n考点6　函数与方程及函数的应用两年高考真题演练1.(2022·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)A.B.C.D.2．(2022·陕西)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　)A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上3．(2022·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是(　　)A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时4．(2022·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2022年5月1日12350002022年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　)A．6升B．8升C．10升D．12升5．(2022·湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)A.B.C.D.－16．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，51\n且x0＞0，则a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)7．(2022·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．8．(2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．9．(2022·湖北)a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．10．(2022·北京)设函数f(x)＝①若a＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．11．(2022·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．12．(2022·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．51\n考点6　函数与方程及函数的应用一年模拟试题精练1．(2022·黑龙江大庆)已知函数f(x)＝－ax，若<a<，则f(x)零点所在区间为(　　)A.B.C.D.2．(2022·青岛市模拟)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)A．(0，1)B．(1，2)C．(2，e)D．(3，4)3．(2022·辽宁沈阳模拟)函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　　)A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4．(2022·湖北荆门模拟)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点5．(2022·泰安模拟)设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是(　　)A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝2x－4C．f(x)＝ln(x＋1)D．f(x)＝8x－26．(2022·湖南衡阳模拟)设方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为p和q，设函数f(x)＝(x＋p)·(x＋q)＋2，则(　　)A．f(2)＝f(0)<f(3)B．f(0)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(2)＝f(0)D．f(0)<f(3)<f(2)7．(2022·北京51\n海淀模拟)某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v(m3/h).那么瞬时融化速度等于v(m3/h)的时刻是图中的(　　)A．t1B．t2C．t3D．t48．(2022·北京昌平区模拟)在2022年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是(　　)A．32人B．35人C．40人D．45人9．(2022·福建福州模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中f(x)＝(1)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．51\n考点7　导数的概念、几何意义及定积分两年高考真题演练1．(2022·陕西)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．2．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．3．(2022·新课标全国Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．4．(2022·湖南)(x－1)dx＝________．5．(2022·山东)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．6．(2022·山东)执行下边的程序框图，输出的T的值为________.7．(2022·广东)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．8．(2022·广东)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．9．(2022·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)251\n③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx10．(2022·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．考点7　导数的概念、几何意义及定积分一年模拟试题精练1．(2022·陕西西安模拟)曲线f(x)＝x3＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0点的坐标为(　　)A．(1，0)B．(2，8)C．(1，0)和(－1，－4)D．(2，8)和(－1，－4)2．(2022·四川雅安模拟)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为(　　)A．x－y－1＝0B．x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．2x＋y＋1＝03．(2022·山东潍坊模拟)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象是(　　)4．(2022·河南洛阳模拟)曲线y＝(x>0)在点P(x0，y0)处的切线为l.若直线l与x51\n，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为(　　)A．4＋2B．2C．2D．5＋25．(2022·黑龙江绥化模拟)已知函数f(x)＝xn＋1(x∈N*)的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为(　　)A．－1B．1－log20132012C．－log20132012D．16．(2022·山东日照模拟)定积分π(16－x2)dx等于(　　)A.B．52πC.D.7．(2022·江西新余模拟)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为(　　)A.B．2－ln3C．4＋ln3D．4－ln38．(2022·广东模拟)设球的半径为时间t的函数r(t)，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________．9．(2022·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________．10．(2022·山东日照模拟)由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围成的图形的面积是________．11．(2022·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设a＝0，求证：当x>0时，f(x)≤2x－1；(3)若函数y＝f(x)恰有两个零点x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围．考点8　导数的应用一(单调性与极值)两年高考真题演练51\n1.(2022·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是(　　)A．f＜B．f＞C．f＜D．f＞2．(2022·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)3．(2022·湖南)若0＜x1＜x2＜1，则(　　)A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex2－ex1＜lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex24．(2022·新课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)5．(2022·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)6．(2022·新课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7．(2022·江西)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)·(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．51\n51\n考点8　导数的应用一(单调性与极值)一年模拟试题精练1．(2022·江西新余模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是(　　)A.B．(1，2)C.D．(2，3)2．(2022·河北恒台模拟)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2015(x)＝(　　)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx3．(2022·黑龙江绥化模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝(ln2)f(ln2)，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b4．(2022·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜a＜b5．(2022·辽宁沈阳模拟)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，函数f(x)＝x3－3x2＋3x＋1对称中心为________．6．(2022·四川乐山模拟)已知函数f(x)＝xex，记f0(x)＝f′(x)，f1(x)＝51\nf′(x0)，…，fn(x)＝fn－1′(x)且x2＞x1，对于下列命题：①函数f(x)存在平行于x轴的切线；②＞0；③f2012′(x)＝xex＋2014ex；④f(x1)＋x2＜f(x2)＋x1.其中正确的命题序号是________(写出所有满足题目条件的序号．)7．(2022·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，求a的值．(2)讨论函数f(x)的单调区间．考点9　导数的应用二(函数的最值与实际应用)两年高考真题演练1．(2022·北京)已知函数f(x)＝ln.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈(0，1)时，f(x)＞2；(3)设实数k使得f(x)＞k对x∈(0，1)恒成立，求k的最大值．51\n2．(2022·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．3．(2022·安徽)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性．(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x值．51\n考点9　导数的应用二(函数的最值与实际应用)一年模拟试题精练1．(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c有两个极值点x1，x2，且－1<x1<1<x2<2，则直线bx－(a－1)y＋3＝0的斜率的取值范围是(　　)A.B.C.D.∪2．(2105·江西新余模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(　　)A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)3．(2022·山东日照模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为________．4．(2022·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)，其中e为自然对数的底数．(1)若f′(x)＝ex－a对任意x≥0恒成立，求a的取值范围；(2)求证：当n≥2，n∈N时，恒有1n＋4n＋7n＋…＋(3n－2)n<(3n)n.5．(2022·湖北荆州模拟)某公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费，预计每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品售价为多少元时，分公司一年的利润L最大并求出L的最大值Q(a)．51\n第二章　函数导数及其应用考点3　函数的性质及其应用【两年高考真题演练】1．A　[易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.]2．A　[由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点．]3．A　[令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]4．D　[排除法，A中，当x1＝，x2＝－时，f(sin2x1)＝f(sin2x2)＝f(0)，而sinx1≠sinx2，∴A不对；B同上；C中，当x1＝－1，x2＝1时，f(x＋1)＝f(x＋1)＝f(2)，而|x1＋1|≠|x2＋1|，∴C不对，故选D.]5．D　[由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]6．A　[显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．故选A.]7．D　[根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．]8．D　[因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x＞1，所以0＜＜1，所以k≥1.故选D.]9．D　[函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.]10．C　11.A12．A　[由偶函数的定义知，A，B为偶函数．A选项，f′(x)＝－在(－∞，0)51\n恒大于0；B选项，f′(x)＝2x在(－∞，0)恒小于0.故选A.]13.　[由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－<m<0.]14．(－1，3)　[由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1<x<3.]15．3　[因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.]【一年模拟试题精练】1．C　[首先y＝cosx是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y＝cosx满足条件．故选C.]2．D　[y＝sinx与y＝ln(－x)都是奇函数，y＝ex为非奇非偶函数，y＝ln为偶函数，故选D.]3．B　[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4，选B.]4．D5．B　[f(x)为周期为6的周期函数，且f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335＝338，故选B.]6．B　[因为函数y＝为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.]7．1　[∵f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.]8．f(3)<f<f(2)　[由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.②中因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即可得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．根据③可知函数f(x)在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1，2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1<<2，51\n所以f(1)<f()<f(2)，即f(3)<f<f(2)．]9．解　(1)当a＝－1时，有f(x)＝当x≥－1时，2x2－1＝1，解得：x＝1或x＝－1，当x<－1时，f(x)＝1恒成立，∴方程的解集为：{x|x≤－1或x＝1}．(2)f(x)＝若f(x)在R上单调递增，则有解得：a≥.(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，则g(x)＝即不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立∵a<1，∴当x<a时，g(x)单调递减，其值域为：(a2－2a＋3，＋∞)．∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，∴g(x)≥0恒成立当x≥a时，∵a<1，∴a<，∴g(x)min＝g＝a＋3－≥0，得－3≤a≤5，∵a<1，∴－3≤a<1，综上：a的取值范围是－3≤a<1.考点4　函数的图象及其应用【两年高考真题演练】1．D　[∵f(x)＝cosx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.]2．A　[由已知f(0)＝d>0，可排除D；其导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c且f′(0)＝c>0，可排除B；又f′(x)＝0有两不等实根，且x1x2＝＞0，所以a＞0，故选A.]3．C　[如图，51\n由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．]4．C　[由里面图可知－c>0，∴c<0，又当x<－c时，由图象形状可知，a<0且b>0，故选C.]5．B　[当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.]6．(1)　(2)x　[过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线的方程为y－f(a)＝(x－a)，令y＝0得c＝.(1)令几何平均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝(x>0)；(2)令调和平均数＝⇒＝，可取f(x)＝x(x>0)．]【一年模拟试题精练】1．A　[由图形可知f(x)为奇函数，故排除B，C；而D中的函数在(0，＋∞)和(－∞，0)上均为增函数，故选A.]2．A　[首先由f(x)为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当0<x<π时，f(x)>0知，选A.]3．A　[f(x)的定义域为x>0且x≠1，当x∈(0，1)时，f(x)>0且为增函数，当x∈(1，＋∞)时，f(x)<0且为减函数，故选A.]51\n4．D　[f(x)＝(x＋1)*x＝故选D.]5．C　[由解析式可以得到当x∈(－∞，)时，f(x)<0，x∈(，＋∞)时，f(x)>0，故选C.]6．C　[由函数f(x)＝x2－2|x|为偶函数，排除答案B与D；又由f(0)＝－1<0，知选C.]7．C　[y＝由函数y＝向左平移一个单位，而y＝为奇函数，所以y＝关于(－1，0)对称，故排除A，D，当x>0时，y＝>0恒成立，故选C.]8．②③④　[根据题意可以得到函数为单调函数，或为常数函数，所以②③④正确．]考点5　基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数)【两年高考真题演练】1．B　[若3a＞3b＞3，则a＞b＞1，从而有loga3＜logb3成立；若loga3＜logb3，不一定有a＞b＞1，比如a＝，b＝3，选B.]2．C　[因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.]3．C　[∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]4．C　[当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f＝3×－1＝1，f(f(a51\n))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.]5．D　[由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.]6．D　[当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1，0)，排除A，因此选D.]7．A　[因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.]8．C　[a＝2－∈(0，1)，b＝log2∈(－∞，0)，c＝log＝log23∈(1，＋∞)，所以c>a>b.]9．D　[函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.]10．C　[利用中间量比较大小．因为a＝log2π∈(1，2)，b＝logπ＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.]11.　[2a＋2－a＝2log43＋2－log43＝2log2＋2log2＝＋＝.]12．－1　[lg＋2lg2－＝lg＋lg22－2＝lg－2＝1－2＝－1.]13．1　[∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.]14．①④　[设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确；对于②直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，∴2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当51\na很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2xln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.故①④正确．]【一年模拟试题精练】1．D　[b＝log32∈(0，1)，而a>c>1，故选D.]2．D　[f(x)＝e|lnx|＝而函数y＝f(x＋1)的图象由函数f(x)＝e|lnx|向左平移了一个单位，故选D.]3．B　[构造函数f(x)＝x－，从而转化为函数的零点的问题，因为f·f<0，所以在存在零点，故选B.]4．D　5.C　6.C7．D　[因为函数f(x)＝为奇函数且增函数，所以不等式f(x－2)＋f(x2－4)<0可化为f(x2－4)<f(2－x)，所以x2－4<2－x，则－3<x<2，故选D.]8．A9．2　[由题意知当x>0时，f(x)为周期函数且周期为4，故f(2015)＝f(－1)＝＝2.]10．②③　[∵对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，∴不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数．①函数y＝ex＋x在定义域上为增函数，满足条件．②函数y＝x2在定义域上不单调，不满足条件．51\n③y＝3x－sinx，y′＝3－cosx>0，函数单调递增，满足条件．④f(x)＝当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③.]11．解　(1)因为f(－1)＝f(2)，所以b＝－1，因为当x∈[0，2]，都有x≤f(x)≤2|x－1|＋1，所以有f(1)＝1，即c＝1，所以f(x)＝x2－x＋1；(2)法一　因为f(x)在[－1，1]上有两个零点，且c<0，所以有⇒通过线性规划可得－2<2b＋c<2.法二　设f(x)的两个零点分别为x1，x2，所以f(x)＝(x－x1)(x－x2)，不妨设x1∈[－1，0)，x2∈(0，1]．因为f(2)＝(2－x1)(2－x2)，且2－x1∈(2，3]，2－x2∈[1，2)，所以f(2)∈(2，6)，所以－2<2b＋c<2.考点6　函数与方程及函数的应用【两年高考真题演练】1．D　[记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由解得b′＝－，－－(－4)＝，51\n所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点．选D.]2．A　[A正确等价于a－b＋c＝0，①B正确等价于b＝－2a，②C正确等价于＝3，③D正确等价于4a＋2b＋c＝8.④下面分情况验证，若A错，由②、③、④组成的方程组的解为符合题意；若B错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错，由①、②、④组成方程组，经验证a无整数解；若D错，由①、②、③组成的方程组a的解为－也不是整数．综上，故选A.]3．C　[由题意知∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24.]4．B　[由表知：汽车行驶路程为35600－3500＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升．]5．D　[设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.]6．C7．(0，2)　[令y＝|2x－2|，作出其图象如图：由图形知，当0＜b＜2时，f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．]51\n8．－　[∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－.]9．2－2　[①当a≤0时，f(x)＝|x2－ax|在[0，1]上是增函数，所以g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)min＝1；②当0<a<2时，作出函数f(x)＝|x2－ax|的大致图象如图：由图易知，f(x)＝|x2－ax|在上是增函数，在上是减函数，在[a，1]上是增函数，此时，只需比较f与f(1)的大小即可．由f＝f(1)，得＝|1－a|，得＝|1－a|，解得a＝2－2或a＝－2－2(舍)或a＝2(舍去)．(ⅰ)当0<a≤2－2时，f≤f(1)，所以g(a)＝f(1)＝1－a，此时g(a)min＝3－2；(ⅱ)当2－2<a<2时，f>f(1)，所以g(a)＝f＝，此时3－2<g(a)<1；③当a≥2时，f(x)＝|x2－ax|在[0，1]上是增函数，所以g(a)＝f(1)＝a－1，此时g(a)min＝1.综上，当a＝2－2时，g(a)min＝3－2.]10．①－1　②∪[2，＋∞)　[①当a＝1时，f(x)＝当x<1时，2x－1>－1.当x≥1时，且当x＝时，f(x)min＝f＝－1，∴f(x)最小值为－1.②1°当a≤0时，2x－a>0，51\n由4(x－a)(x－2a)＝0得x＝a或x＝2a.a∉[1，＋∞)，2a∉[1，＋∞)，∴此时f(x)无零点．2°当0<a<1时，若有2个零点，只须∴≤a<1.3°当1≤a<2时，x＜1，2x＝a，x＝log2a∈[0，1)，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a∈[1，＋∞)．2a∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意．4°当a≥2时，x<1，则2x－a<0，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a，2a∈[1，＋∞)，此时恰有2个零点，综上≤a＜1或a≥2.]11．(－∞，0)∪(1，＋∞)　[若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．]12．160【一年模拟试题精练】1．C　[根据零点存在性定理，f·f<0，故选C.]2．B　[利用零点存在性定理得到f(1)·f(2)＝(ln2－2)·(ln3－1)<0，故选B.]3．C　[利用零点存在性定理得到f(3)·f(2)<0，故选C.]4．C　[利用排除法，f(a)·f(b)<0是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件，故选C.]5．D　[因为g(x)＝4x＋2x－2，而g＝＋－2<0，g＝1>0，故x2∈，而函数f(x)＝8x－2的零点为，故选D.]6．A　[∵方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为函数y＝2x，y＝log2x与直线y＝－x－2的交点横坐标，而函数y＝2x，y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，又直线y＝－x－2与直线y＝x垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，∴p＋q＝－2，则f(x)＝x2＋(p＋q)x＋pq＋2＝x2－2x＋pq＋2，∵该二次函数的对称轴为x＝1，∴f(2)＝f(0)<f(3)．故选A.]51\n7．C　[平均融化速度为v＝，反映的是V(t)图象与坐标交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选C.]8．B　[设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，当1≤x≤30且x∈N时，m＝800，ymax＝800×30－12000＝12000，当30<x≤45且x∈N时，m＝800－20(x－30)＝1400－20x，则y＝(1400－20x)x－12000＝－20x2＋1400x－12000，对应的抛物线开口向下，因为x∈N，所以当x＝－＝35，函数取得最大值．所以当旅行团人数为35人时，旅行社可获得最大利润．故选B.]9．解　法一　(1)因为m＝3，所以y＝当0≤x<6时，由≥2，解得x≤11，此时0≤x<6；当6≤x≤8时，由12－≥2，解得x≤，此时6≤x≤.综上所述，0≤x≤.故若用一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达小时．(2)当6≤x≤8时，y＝2×(4－x)＋m[]＝8－x＋，因为8－x＋≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥对6≤x≤8恒成立，等价于m≥，(6≤x≤8)．51\n令g(x)＝，则函数g(x)＝在[6，8]上是单调递增函数，当x＝8时，函数g(x)＝取得最大值为.所以m≥，所以所求的m的最小值为.法二　(1)同法一；(2)当6≤x≤8时，y＝2×＋m[]＝8－x＋，注意到y1＝8－x及y2＝(1≤m≤4且m∈R)均关于x在[6，8]上单调递减，则y＝8－x＋关于x在[6，8]上单调递减，故y≥8－8＋＝，由≥2，得m≥，所以所求的m的最小值为.考点7　导数的概念、几何意义及定积分【两年高考真题演练】1．(1，1)　[∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有′＝－＝－1，又∵x0＞0，∴x0＝1，故P的坐标为(1，1)．]2．1　[f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.]3．8　[由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.]4．0　[(x－1)dx＝0＝×22－2＝0.]5.　[51\n曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图，由得A(1，1)，面积S＝xdx－x2dx＝x20＝－＝.]6.　[当n＝1时，T＝1＋x1dx＝1＋0＝1＋＝；当n＝2时，T＝＋x2dx＝＋0＝＋＝；当n＝3时，结束循环，输出T＝.]7．5x＋y＋2＝08．5x＋y－3＝09．①③④10．(1)解　f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－＝－2，所以a＝1.(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k＞0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)上单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．【一年模拟试题精练】1．C　[设p0(x0，y0)，则3x＋1＝4，所以x＝1，所以p0点的坐标为(1，0)和(－1，－4)．故选C.]2．D　[因为f′(x)＝，所以f′(0)＝－2，故在x＝0处的切线方程为2x＋y＋1＝0，故选D.]3．A　[因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx为奇函数，51\n且f′<0，故选A.]4．A5．A　[f′(x)＝(n＋1)xn，f(1)＝1，∴P(1，1)，k＝f′(1)＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)与x轴相交，∴xn＝，∴log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012＝log2013(x1x2…x2012)＝log2013＝log2013＝－1.]6．A　[π(16－x2)dx＝π＝64π－＝，故选A.]7．D8．1　[设球的体积以均匀速度c增长，由题意可知球的体积为V(t)＝πR3(t)，则c＝4πR2(t)R′(t)，则＝4πR(t)，则球的表面积的增长速度为V表＝S′(t)＝(4πR2(t))′＝8πR(t)R′(t)＝即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为V表·R(t)＝2c＝1.]9．1　[由题意知f(x)＝＝所以f(1)＝0，f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，所以a＝1.]10．2ln2　[由定积分的几何意义，得围成的面积∫2dx＝lnx＝ln2－ln＝ln4＝2ln2.]11．(1)解　当a＝1时，f(x)＝x2＋x＋lnx，f′(x)＝2x＋1＋，∴f(1)＝2，f′(1)＝4，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝4(x－1)即4x－y－2＝0.(2)证明　当a＝0时，设g(x)＝f(x)－(2x－1)＝lnx－x＋1(x>0)，则g′(x)＝－1＝51\n，当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.因此，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上是单调递减得g(x)≤gmax(x)＝g(1)＝0，即f(x)≤2x－1.(3)解　由f(x)＝ax2＋x＋lnx(x>0)得f′(x)＝2ax＋1＋＝.当a≥0时f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是单调递增，因此函数f(x)至多只有一个零点，不符合题意．当a<0时，由2ax2＋x＋1＝0得x3＝>0，因此，f(x)在(0，x3)上是单调递增，在(x3，＋∞)上是单调递减，所以fmax(x)＝f(x3)．一方面，当x从右边趋近于0时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)＝ax2＋x＋lnx≤ax2＋x＋x－1＝ax2＋2x－1(a<0)，因此，f(x)→－∞，另一方面，由f′(x3)＝0得2ax＋x3＋1＝0，即ax＝－，因此，f(x3)＝ax＋x3＋lnx3＝－＋x3＋lnx3＝，很明显f(x3)在(0，＋∞)上是单调递增且f(1)＝0，根据题意得f(x3)>0＝f(1)，∴x3>1即方程2ax2＋x＋1＝0有且只有一个大于1的正实数根．设h(x)＝2ax2＋x＋1，由a<0且h(0)＝1>0，得h(1)>0解得a>－1，所以，实数a的取值范围是(－1，0)．8．导数的应用一(单调性与极值)【两年高考真题演练】1．C　[∵导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，＞0，可构造函数g(x)＝f(x)－kx，可得g′(x)＞0，故g(x)在R上为增函数，∵f(0)＝－1，∴g(0)＝－1，∴g＞g(0)，∴f－＞－1，∴f＞，∴选项C错误，故选C.]2．A　[因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，51\n令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，选A.]3．C　4.D5．C　[由题意知f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，当a＝0时，不满足题意．当a≠0时，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，当a＞0时，f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝1，此时f(x)在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a＜0时，f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，要使f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则需f＞0，即a×－3×＋1＞0，解得a＜－2，故选C.]6．C　[设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.]7．解　(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取极小值f(－2)＝0，在x＝0处取极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，因为当x∈时，<0，依题意，当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0.所以b的取值范围为.【一年模拟试题精练】51\n1．C　[函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象得0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，而g(x)＝lnx＋f′(x)在定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a＜0，g(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，∴函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是；故选C.]2．D　[f0(x)＝sinxf1(x)＝f0′(x)＝cosxf2(x)＝f1′(x)＝－sinxf3(x)＝f2′(x)＝－cosxf4(x)＝f3′(x)＝sinx…由上面可以看出，以4为周期进行循环．所以f2015(x)＝f3(x)＝－cosx，故选D.]3．B　[∵函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，∴函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，是偶函数．令g(x)＝xf(x)，g(x)为奇函数则当x∈(－∞，0)时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，∴函数g(x)在x∈(－∞，0)上为减函数．因此函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵log＝2＞20.2＞1＞ln2＞0.∴c＜a＜b.故选B.]4．A　[设h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，∵y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＞0，∴此时函数h(x)单调递增．∵a＝f＝h，b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，c＝f＝h＝h(－ln2)＝h(ln2)，又2＞ln2＞，∴b＞c＞a.故选A.]5．(1，2)　[∵函数f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，∴f′(x)＝3x2－6x＋3，∴f″(x)＝6x－6.令f″(x)＝6x－6＝0，解得x＝1，且f(1)＝2，故函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为(1，2)，故答案为(1，2)．]6．①③51\n7．解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f′(x)＝令g(x)＝x2－4x－4a，由于Δ＝16＋16a＝16(a＋1)，当a＝－1时，Δ＝0，g(x)≥0，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜－1时，Δ＜0，g(x)＞0，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞－1时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝2－2，x2＝2＋2.若－1＜a＜0时，x1＝2－2＞0，x2＞0.所以，x∈(0，x1)时，g(x)＞0，f(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．若a≥0时，x1＝2－2≤0，x2＞0.所以，x∈(0，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f(x)＞0，函数f(x)单调递增．综上可得，当a≤－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－1＜a＜0时，函数f(x)在(0，2－2)上单调递增，在(2－2，2＋2)上单调递减，在(2＋2，＋∞)上单调递增；当a≥0时，函数f(x)在(0，2＋2)上单调递减，在(2＋2，＋∞)上单调递增．51\n考点9　导数的应用二(函数的最值与实际应用)【两年高考真题演练】1．(1)解　因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以f′(x)＝＋，f′(0)＝2.又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.(2)证明　令g(x)＝f(x)－2，则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝.因为g′(x)>0(0<x<1)，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增．所以g(x)>g(0)＝0，x∈(0，1)，即当x∈(0，1)时，f(x)>2.(3)解　由(2)知，当k≤2时，f(x)>k对x∈(0，1)恒成立．当k>2时，令h(x)＝f(x)－k，则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝.所以当0<x<时，h′(x)<0，因此h(x)在区间上单调递减．当0<x<时，h(x)<h(0)＝0，即f(x)<k.所以当k>2时，f(x)>k并非对x∈(0，1)恒成立．综上可知，k的最大值为2.2．解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．51\n将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A，B.故f(t)＝＝，t∈[5，20]．②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．3．解　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1＜x2.所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，2)内单调递增．(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增．51\n所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减．所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．【一年模拟试题精练】1．A　[求导数可得：f′(x)＝x2＋2ax＋2b，∵f(x)有两个极值点x1，x2，∴f′(x)有两个零点，∵－1<x1<1<x2<2，∴－1<－a<2，∴－2<a<1①又f′(－1)＝－2a＋2b＋1>0，即2a－2b－1<0，②f′(1)＝2a＋2b＋1<0，③f′(2)＝4a＋2b＋4>0，即2a＋b＋2>0.④在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示直线bx－(a－1)y＋3＝0的斜率k＝，表示可行域中动点M(a，b)与定点D(1，0)连线的斜率，由可得此时与定点D(1，0)连线的斜率为＝－.由可得，此时与定点D(1，0)连线的斜率为＝.∴直线bx－(a－1)y＋3＝0的斜率的取值范围是故选A.]2．B　[函数y＝ex和函数y＝ln(2x)互为反函数图象关于y＝x对称．则只有直线PQ51\n与直线y＝x垂直时|PQ|才能取得最小值．设P，则点P到直线y＝x的距离为d＝，令g(x)＝ex－x，(x>0)，则g′(x)＝ex－1，令g′(x)＝ex－1>0得x>ln2；令g′(x)＝ex－1<0得0<x<ln2，则g(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．则x＝ln2时，g(x)min＝eln2－ln2＝1－ln2>0，所以dmin＝.则|PQ|＝2dmin＝(1－ln2)．故B正确．]3．2－2　[由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)得：ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，等价于a>0且Δ≤0，可解得b2≤4ac－4a2＝4a(c－a)，则：≤＝，令t＝－1，(t>0)，y＝＝≤＝2－2故最大值为2－2.]4．(1)解　f′(x)＝ex－a.①当a≤1时，f′(x)＝ex－a≥0对∀x≥0恒成立，即f(x)在(0，＋∞)为单调递增函数；又f(0)＝0，即f(x)≥f(0)＝0对∀x≥0恒成立.②当a>1时，令f′(x)＝0，得x＝lna>0.当x∈(0，lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若f(x)≥0对任意x≥0恒成立，则只需f(x)min＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1≥0.又g(a)＝a－alna－1(a>1)，g′(a)＝1－lna－1＝－lna<0，即g(a)在区间(1，＋∞)上单调递减；又注意到g(1)＝0.故g(a)<0在区间(1，＋∞)上恒成立．即a>1时，满足a－alna－1≥0的a不存在．综上：a≤1.(2)证明　当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，易得f(x)min＝f(0)＝0，51\n即ex≥x＋1对任意x∈R恒成立．取x＝－(i＝1，2，…，n)，有1－≤e－，即≤(e－)n＝e－.相加即得：＋＋…＋≤e－＋e－＋…＋e－.即＋＋…＋＝＋＋…＋≤e－＋e－＋…＋e－.故(3n－2)n＋(3n－5)n＋…＋1n≤e－＋e－＋…＋e－(3n)n＝e－(3n)n<(3n)n，即n≥2，n∈N时，恒有1n＋4n＋7n＋…＋(3n－2)n<(3n)n.5．解　(1)L(x)＝(x－3－a)(12－x)2(9≤x≤11)(2)L(x)＝(x－3－a)(x－12)2L′(x)＝(x－12)2＋2(x－3－a)(x－12)＝(x－12)[x－12＋2x－6－2a]＝(x－12)(3x－18－2a)令L′(x)＝0，又9≤x≤11，∴x＝＝6＋a，而3≤a≤5.当3≤a≤时，6＋a≤9.L′(x)<0，∴L(x)在[9，11]上是减函数，∴L(x)max＝L(9)＝54－9a，当<a≤5时，9<6＋a<11，x∈时，L′(x)≥0，L(x)在上是增函数．51\nx∈时，L′(x)≤0，L(x)在上是减函数．∴L(x)max＝L＝4，综上：Q(a)＝L(x)max＝51