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一点一练2022版高考数学第八章解析几何专题演练理含两年高考一年模拟
一点一练2022版高考数学第八章解析几何专题演练理含两年高考一年模拟
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第八章 解析几何考点26 直线与圆两年高考真题演练1.(2022·广东)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x-y+=0或2x-y-=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=02.(2022·新课标全国Ⅱ)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.103.(2022·山东)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-4.(2022·重庆)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4C.6D.25.(2022·福建)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=06.(2022·浙江)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )A.-2B.-4C.-6D.-87.(2022·江西)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( )A.B.C.(6-2)πD.8.(2022·四川)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.9.(2022·山东)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为________.10.(2022·陕西)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.11.(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)241\n=4截得的弦长为________.12.(2022·大纲全国)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.13.(2022·湖北)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.14.(2022·重庆)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.41\n考点26 直线与圆一年模拟试题精练1.(2022·北京海淀模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若l1⊥l2,则实数a的值是( )A.0B.2或-1C.0或-3D.-32.(2022·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行,则tan2α的值为( )A.B.C.D.3.(2022·河南天一大联考)已知圆C:(x+1)2+y2=r2与抛物线D:y2=16x的准线交于A,B两点,且|AB|=8,则圆C的面积为( )A.5πB.9πC.16πD.25π4.(2022·四川遂宁模拟)圆心在原点且与直线y=2-x相切的圆的方程为________.5.(2022·德州模拟)已知直线x-y+2=0及直线x-y-10=0截圆C所得的弦长均为8,则圆C的面积是________.6.(2022·浙江金丽模拟)设直线ax+2y+6=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交于点P,Q两点,O为坐标原点,且OP⊥OQ,则实数a的值为________.7.(2022·山师大附中模拟)已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0相交于A,B两点,则线段AB的长度等于________.8.(2022·山东烟台模拟)已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上至少存在一点P,使得∠APB=90°,则m的取值范围是________.9.(2022·湖北荆门模拟)由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为________.10.(2022·山东济南模拟)已知圆C过点(-1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线方程为________.11.(2022·山东日照模拟)圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________.12.(2022·四川遂宁模拟)已知定点A(-2,0),F(1,0),定直线l:x=4,动点P与点F的距离是它到直线l的距离的.设点P的轨迹为C,过点F的直线交C于D、E两点,直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点.(1)求C的方程;(2)以MN为直径的圆是否恒过一定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.考点27 椭圆41\n两年高考真题演练1.(2022·大纲全国)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交椭圆C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=12.(2022·福建)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5B.+C.7+D.63.(2022·辽宁)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.4.(2022·安徽)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.5.(2022·江西)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.6.(2022·浙江)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).41\n7.(2022·新课标全国Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.41\n考点27 椭圆一年模拟试题精练1.(2022·山东省聊城模拟)过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.2.(2022·江西师大模拟)设椭圆方程为+=1(a>b>0),右焦点F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则P(x1,x2)必在( )A.圆x2+y2=2内B.圆x2+y2=2外C.圆x2+y2=1上D.圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间3.(2022·湖北黄冈模拟)在等腰梯形ABCD中,E,F分别是底边AB,CD的中点,把四边形AEFD沿直线EF折起后所在的平面记为α,P∈α,设PB,PC与α所成的角分别为θ1,θ2(θ1,θ2均不为0).若θ1=θ2,则点P的轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线4.(2022·江西重点联盟模拟)已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1,随着a的增大该椭圆的形状( )A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆5.(2022·河北唐山模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )A.B.C.D.6.(2022·安徽江南十校模拟)椭圆+=1(a>b>0)上任意一点P到两焦点的距离之和为6,且椭圆的离心率为,则椭圆方程为________.7.(2022·江苏淮安模拟)已知椭圆+=1(a>b>0),点A,B1,B2,F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点,若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x=上,则椭圆的离心率为________.8.(2022·河南信阳模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其长轴长和短轴长之比为∶1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,T为直线x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为0的任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点),求t的值.41\n考点28 双曲线两年高考真题演练1.(2022·福建)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.11B.9C.5D.32.(2022·安徽)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=13.(2022·四川)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )A.B.2C.6D.44.(2022·广东)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=15.(2022·新课标Ⅰ全国)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是( )A.B.C.D.6.(2022·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=17.(2022·湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.B.C.3D.241\n8.(2022·广东)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等9.(2022·新课标全国Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A.B.3C.mD.3m10.(2022·湖北)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为( )A.0B.1C.2D.311.(2022·山东)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________.12.(2022·北京)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为________;渐近线方程为________.13.(2022·浙江)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.41\n考点28 双曲线一年模拟试题精练1.(2022·山东潍坊模拟)如果双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x-y+=0平行,则双曲线的离心率为( )A.B.C.2D.32.(2022·山东日照模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是( )A.B.C.D.3.(2022·山东青岛模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.(2022·河南开封模拟)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C1,C2的离心率分别为( )A.,3B.,C.,2D.,25.(2022·山东菏泽一模)设双曲线+=1的离心率为2,且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,则此双曲线的方程为( )A.-y2=1B.-=1C.y2-=1D.-=16.(2022·山东济南一模)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )A.B.C.D.7.(2022·甘肃河西五地模拟)已知F2,F1是双曲线-=1(a>0,b>0)的上,下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A.3B.C.2D.8.(2022·江西师大模拟)双曲线C的左,右焦点分别为F1,F2,且F2恰为抛物线y241\n=4x的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为( )A.B.1+C.1+D.2+9.(2022·山东淄博模拟)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P,切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以下结论正确的是( )A.b-a<|MO|-|MT|B.b-a>|MO|-|MT|C.b-a=|MO|-|MT|D.b-a=|MO|+|MT|10.(2022·湖南一模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P,O为坐标原点,若=(+),则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.11.(2022·山东日照模拟)若双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=________.12.(2022·河北唐山模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的离心率为________.13.(2022·山东青岛模拟)如图:正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点,其余四个顶点都在该双曲线上,则该双曲线的离心率为________.41\n考点29 抛物线两年高考真题演练1.(2022·浙江)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C.D.2.(2022·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.(2022·四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)4.(2022·新课标全国Ⅰ)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.85.(2022·安徽)抛物线y=x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-26.(2022·新课标全国Ⅱ)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )A.B.6C.12D.77.(2022·辽宁)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.8.(2022·陕西)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=________41\n9.(2022·大纲全国)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.考点29 抛物线一年模拟试题精练1.(2022·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是( )A.y2=2axB.y2=4axC.y2=-2axD.y2=-4ax2.(2022·北京石景山模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为1的点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为( )A.2B.8C.D.43.(2022·山东莱芜模拟)已知双曲线-=1的焦点到其渐近线的距离等于2,抛物线y2=2px的焦点为双曲线的右焦点,双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4,则抛物线方程为( )A.y2=4xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=8x4.(2022·山东青岛模拟)已知抛物线y=ax2的准线方程为y=-,则实数a=________.5.(2022·北京西城模拟)若抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+2y-4=0上,则p=________;C的准线方程为________.6.(2022·山东实验中学模拟)已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0)的左焦点与抛物线y2=mx的焦点重合,则实数m=________.7.(2022·湖北黄冈模拟)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=________.8.(2022·安徽江南十校模拟)已知抛物线C:x2=2y的焦点为F.(1)设抛物线上任一点P(m,n),求证:以P为切点与抛物线相切的切线方程是mx=y+n;(2)若过动点M(x0,0)(x0≠0)的直线l与抛物线C相切,试判断直线MF与直线l的位置关系,并予以证明.41\n9.(2022·江西重点中学模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45°时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕F旋转时,求的最大值.考点30 圆锥曲线的综合问题两年高考真题演练1.(2022·山东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值;41\n(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.2.(2022·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点,(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.3.(2022·新课标全国Ⅰ)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.4.(2022·山东)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.①证明直线AE过定点,并求出定点坐标;②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.41\n考点30 圆锥曲线的综合问题一年模拟试题精练1.(2022·四川宜宾模拟)已知点P,Q的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线PM,QM相交于点M,且它们的斜率之积是-.(1)求点M的轨迹方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与点M的轨迹交于A,B两点.试判断点O到直线AB的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由.2.(2022·河北唐山模拟)已知抛物线y2=4x,直线l:y=-x+b与抛物线交于A,B两点.(1)若x轴与以AB为直径的圆相切,求该圆的方程;(2)若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值.3.(2022·山东烟台一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得·=·?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.41\n4.(2022·湖北七市模拟)已知椭圆C:+=1,F1、F2为椭圆的左、右焦点,A、B为椭圆的左、右顶点,点P为椭圆上异于A、B的动点,且直线PA、PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,试问:在x轴上是否存在两个定点,使得这两个定点到直线l的距离之积为4?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明理由.41\n第八章 解析几何考点26 直线与圆【两年高考真题演练】1.D [设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有=,解得c=±5,所以所求切线的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选D.]2.C [由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),则·=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A、B、C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,选C.]3.D [圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径r=1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,∴反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.∵反射光线与已知圆相切,∴=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.]4.C [圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径为r=2,因此2+a×1-1=0,a=-1,即A(-4,-1),|AB|===6,选C.]5.D [直线过圆心(0,3),与直线x+y+1=0垂直,故其斜率k=1.所以直线的方程为y-3=1×(x-0),即x-y+3=0.故选D.]6.B [圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=.圆心到直线x+y+2=0的距离d==,又弦长为4,因此由勾股定理可得()2+=()2,解得a=-4.故选B.]7.A8.5 [由题意可知点A为(0,0),点B为(1,3).又∵直线x+my=0的斜率k1=-41\n,直线mx-y-m+3=0的斜率k2=m,∴k1k2=-1.∴两条动直线互相垂直.又由圆的性质可知,动点P(x,y)的轨迹是圆,∴圆的直径为|AB|==.∴|PA|·|PB|≤==5.当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立.∴|PA|·|PB|的最大值是5.]9.(x-2)2+(y-1)2=4 [∵圆心在直线x-2y=0上,∴可设圆心为(2a,a).∵圆C与y轴正半轴相切,∴a>0,半径r=2a.又∵圆C截x轴的弦长为2,∴a2+()2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).∴圆C的圆心为(2,1),半径r=2.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.]10.x2+(y-1)2=1 [因为(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆C是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x2+(y-1)2=1.]11. [圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,-1),半径r=2,圆心C到直线x+2y-3=0的距离为d==,所求弦长l=2=2=.]12. [如图所示,设l1与圆O:x2+y2=2相切于点B,l2与圆O:x2+y2=2相切于点C,则OB=,OA=,AB=2.∴tanα===.∴tan∠BAC=tan2α===.]13.2 [由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的,即=,=cos45°=,所以a2=b2=1,故a2+b2=2.]14.4± [由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为,即(1,a)到直线ax41\n+y-2=0的距离d==,即a2-8a+1=0,可求得a=4±.]【一年模拟试题精练】1.C [因为l1⊥l2,所以a+a(a+2)=0,则a=0或a=-3,故选C.]2.B [直线的斜率为,即直线l的斜率为k=tanα=,所以tan2α====,选B.]3.D [抛物线的准线方程为x=-4,而圆心坐标为(-1,0),所以圆心到直线的距离为3,所以圆的半径为5,故圆面积为25π.]4.x2+y2=2 [由题意知利用点到直线的距离公式得到圆的半径r=,所以所求圆的方程为x2+y2=2.]5.25π [∵直线x-y+2=0与直线x-y-10=0平行,且截圆C所得的弦长均为8,∴圆心到两直线的距离相等,两平行直线的距离d===6,即圆心到直线x-y+2=0的距离为d=3,则圆的半径R==5,故圆C的面积是25π.]6.-2 [因为圆x2+y2-2x+4y=0,所以圆经过原点,圆的圆心坐标为即(1,-2),因为直线ax+2y+6=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交于点P,Q,O为坐标原点,且OP⊥OQ,所以圆的圆心在直线ax+2y+6=0上,所以a-4+6=0,所以a=-2.]7. [圆心C的坐标为(0,1),半径为,所以圆心到直线l:3x+y-6=0的距离d=,利用勾股定理得到|AB|=.]8.[4,6] [根据题意可以得到以AB为直径的圆与圆C至少有一个公共点,即|m-1|≤|OC|≤m+1,而|OC|=5,所有4≤m≤6.]9. [根据题意画出图形,当AC垂直与直线y=x+1时,|AC|最短,此时|BC|=最小,由圆的方程得:圆心A(3,-2),半径|AB|=1,圆心A到直线y=x41\n+1的距离|AC|==3,则切线长的最小值|BC|==.]10.x+y+1=0 [设圆心坐标为(a,0),则由直线l:x-y-1=0被圆C所截得的弦长为2,得+2=(a-1)2,解得a=3或-1,∵圆心在x轴的负半轴上,∴a=-1,故圆心坐标为(-1,0),∵直线l的斜率为1,∴过圆心且与直线l垂直的直线的方程为y-0=-(x+1),即x+y+1=0,故答案为:x+y+1=0.]11. [每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动12次,回到起点,在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.]12.解 (1)F(1,0),设P(x,y)为C上任意一点,依题意有=,∴+=1.(2)易知直线DE斜率不为0,设直线DE方程为x=ty+1,由,得(3t2+4)y2+6ty-9=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,由A(-2,0),知AD方程为y-0=(x+2),点M坐标为,同理,点N坐标为,由对称性,若定点存在,则定点在x轴上,设G(n,0)在以MN为直径的圆上,则·=·=(4-n)2+=0,∴(4-n)2+=(4-n)2+=0,41\n即(4-n)2+=0,(4-n)2-9=0,n=1或n=7,∴以MN为直径的圆恒过x轴上两定点(1,0)和(7,0).考点27 椭圆【两年高考真题演练】1.A [∵+=1(a>b>0)的离心率为,∴=.又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,△AF1B的周长为4,∴4a=4,∴a=,∴b=,∴椭圆方程为+=1,选A.]2.D [设Q(x,y),则该点到圆心的距离d====,y∈[-1,1],∴当y=-=-时,dmax===5.∴圆上点P和椭圆上点Q的距离的最大值为dmax+r=5+=6.故选D.]3.12 [如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得|BN|=2|PF2|.∴|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).41\n根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.]4.x2+y2=15. [由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得①-②,并整理得=.(*)∵M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-,∴x1+x2=2,y1+y2=2,k==-,∴(*)式可化为=,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即=.∴e==.]6.解 (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①将AB中点M代入直线方程y=mx+解得b=-②由①②得m<-或m>.(2)令t=∈∪,则|AB|=·.且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),41\n所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.7.解 (1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|,设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.【一年模拟试题精练】1.B [由题意知点P的坐标为,或,因为∠F1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为,选B.]2.D [∵x1+x2=-,x1x2=-,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2==-(e-1)2+2∈(1,2),选D.]41\n3.B [如图,过B作BM⊥AE于M,过C作CN⊥DF于N,易知BM⊥平面AEFD,CN⊥平面AEFD,则∠BPM=θ1,∠CPN=θ2,由θ1=θ2,可得tanθ1=tanθ2,故=⇒==定值,且此定值不为1,故P点的轨迹为圆.]4.A [由题意得到a>1,所以椭圆的离心率e2==1+(a>1)递减,则随着a的增大,离心率e越小,所以椭圆越接近于圆,故选A.]5.B [∵+=1表示焦点在x轴上且离心率小于,∴a>b>0,a<2b,它对应的平面区域如图中阴影部分所示:则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1-=,故选B.]6.+=1 [由题意得2a=6,故a=3,又离心率e==,所以c=1,b2=a2-c2=8,故椭圆方程为+=1.]7. [根据题意可得直线AB2:+=1,直线B1F:y=(x-c),联立解得x=,又因为直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上,所以有=,整理得a2-ac-2c2=0,即2e2+e-1=0,解得e=-1或,而椭圆的离心率0<e<1,故e=,故答案为.]41\n8.解 (1)由已知可得解得a2=6,b2=2.∴椭圆C的标准方程是+=1.(2)由(1)可得,F点的坐标是(2,0).设直线PQ的方程为x=my+2,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.于是x1+x2=m(y1+y2)+4=.设M为PQ的中点,则M点的坐标为.∵TF⊥PQ,所以直线FT的斜率为-m,其方程为y=-m(x-2).当x=t时,y=-m(t-2),所以点T的坐标为(t,-m(t-2)),此时直线OT的斜率为,其方程为y=x,将M点的坐标代入上式,得=·.解得t=3.考点28 双曲线【两年高考真题演练】1.B [由双曲线定义||PF2|-|PF1||=2a,∵|PF1|=3,∴P在左支上,∵a=3,∴|PF2|-|PF1|=6,∴|PF2|=9,故选B.]2.C [由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D项双曲线焦点均在y轴上,但D项渐近线为y=±x,只有C符合,故选C.]3.D [焦点F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为x2-=0,将x=2代入渐近线方程得y2=12,y=±2,∴|AB|=2-(-2)=4.选D.]4.B [因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1,故选B.]5.A [由题意知M在双曲线C:-y2=1上,又在x2+y2=3内部,由得41\ny=±,所以-<y0<.]6.A [由于双曲线焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l平行,因此=2,可解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为-=1,故选A.]7.A [设椭圆长半轴为a1,双曲线实半轴长为a2,|F1F2|=2c,由余弦定理4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos,而|PF1|+|PF2|=2a1,||PF1-|PF2||=2a2可得a+3a=4c2.令a1=2cosθ,a2=sinθ,即+=2cosθ+sinθ=2==sin.故最大值为,故选A.]8.A9.A [由题意,可得双曲线C为-=1,则双曲线的半焦距c=.不妨取右焦点(,0),其渐近线方程为y=±x,即x±y=0.所以由点到直线的距离公式得d==.故选A.]10.A [可解方程t2cosθ+tsinθ=0,得两根0,-.由题意可知不管a=0还是b=0,所得两个点的坐标是一样的.不妨设a=0,b=-,则A(0,0),B,可求得直线方程y=-x,因为双曲线渐近线方程为y=±x,故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.]11. [由题意,不妨设直线OA的方程为y=x,直线OB的方程为y=-x.由得x2=2p·x,∴x=,y=,∴A.41\n设抛物线C2的焦点为F,则F,∴kAF=.∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,∴·=-1,∴=.设C1的离心率为e,则e2===1+=.∴e=.]12.-=1 y=±2x [双曲线-x2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线-x2=1有共同渐近线的方程为-x2=λ,又(2,2)在双曲线上,故-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为-x2=-3,即-=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.]13. [由双曲线方程可知,它的渐近线方程为y=x与y=-x,它们分别与x-3y+m=0联立方程组,解得A,B.由|PA|=|PB|知,可设AB的中点为Q,则Q,由PQ⊥AB,得kPQ·kAB=-1,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即=.故=.]【一年模拟试题精练】1.C [因为双曲线的渐近线与直线x-y+=0平行,所以=,所以离心率e=2,故选C.]2.A [由抛物线定义可得M点到准线的距离为5,因此p=8,故抛物线方程为y241\n=16x,所以M(1,4),点A(-,0),由AM的斜率等于渐近线的斜率得=,解得a=,故答案为A.]3.A [由题意知:=,c=5,所以a2=20,b2=5,则双曲线的方程为-=1,故选A.]4.B [由题意知,·=,所以a2=2b2,则C1,C2的离心率分别为e1=,e2=,故选B.]5.C [由题意知双曲线的一个焦点为(0,2),所以焦点在y轴上,故选C.]6.C [因为点A到抛物线C1的准线距离为p,所以A,则双曲线的渐近线的方程为y=±2x,所以=2,则离心率e=,故选C.]7.C [由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近方程为y=x,则F2到渐近线的距离为=b.设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点,又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角,∴△MF1F2为直角三角形,∴由勾股定理得4c2=c2+4b2,∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2,∴c=2a,∴e=2.故选C.]8.B [∵c=1,|AF2|=|F1F2|=2=+xA=1+xA,∴xA=1,∴A(1,2).由|AF1|==2,即2a=2-2⇒a=-1,∴e=+1,选B.]9.C [连OT,则OT⊥F1T,在直角三角形OTF1中,|F1T|===b,41\n连接PF2,M为线段F1P的中点,O为坐标原点,∴OM=PF2,∴|MO|-|MT|=PF2-=(PF2-PF1)+b=×(-2a)+b=b-a.故选C.]10.A [∵|OF|=c,|OE|=a,OE⊥EF,∴|EF|==b,∵=(+),∴E为PF的中点,|OP|=|OF|=c,|PF|=2b,设F′(c,0)为双曲线的右焦点,也为抛物线的焦点,则EO为三角形PFF′的中位线,则|PF′|=2|OE|=2a,可令P的坐标为(m,n),则有n2=4cm,由抛物线的定义可得|PF′|=m+c=2a,m=2a-c,n2=4c(2a-c),又|OP|=c,即有c2=(2a-c)2+4c(2a-c),化简可得,c2-ac-a2=0,由于e=,则有e2-e-1=0,由于e>1,解得,e=.故选A.]11. [由题意知e==2,(a>0),由此可以求出a的值.]12. [双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(c,0),(-c,0),渐近线方程为y=±x,则(c,0)到y=x的距离d===b,又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,∴b=×2c,两边平方,得4b2=c2,即4(c2-a2)=c2,∴3c2=4a2,=,即e2=,e=.]13.1+ [设正六边形ABCDEF的边长为1,中心为O,以AD所在直线为x轴,以O为原点,建立直角坐标系,则c=1,在△AEF中,由余弦定理得AE2=AF2+EF2-2AF·EFcos120°=1+1-2×1×1×41\n=3,∴AE=,2a=AE-DE=-1,∴a=,∴e===+1.]考点29 抛物线【两年高考真题演练】1.A [由图象知==,由抛物线的性质知|BF|=xB+1,|AF|=xA+1,∴xB=|BF|-1,xA=|AF|-1,∴=.故选A.]2.D [双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,又渐近线过点(2,),所以=,即2b=a,①抛物线y2=4x的准线方程为x=-,由已知,得=,即a2+b2=7②,联立①②解得a2=4,b2=3,所求双曲线的方程为-=1,选D.]3.D [设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),当l的斜率不存在时,符合条件的直线l必有两条;当直线l的斜率k存在时,如图x1≠x2,则有·=2,即y0·k=2,由CM⊥AB得,k·=-1,y0·k=5-x0,2=5-x0,x0=3,即M必在直线x=3上,将x=3代入y2=4x,得y2=12,41\n∴-2<y0<2,因为点M在圆上,∴(x0-5)2+y=r2,r2=y+4<12+4=16,又y+4>4,∴4<r2<16,∴2<r<4.故选D.]4.A [由抛物线方程y2=x知,2p=1,=,即其准线方程为x=-.因为点A在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+=x0+,于是x0=x0+,解得x0=1,故选A.]5.A [抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.]6.C [由已知得焦点F为,则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y=.联立方程消去y得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.又直线AB过焦点F,∴|AB|=x1+x2+=+=12.故选C.]7.D [由题意可知准线方程x=-=-2,∴p=4,∴抛物线方程y2=8x.由已知易得过点A与抛物线y2=8x相切的直线斜率存在,设为k,且k>0,则可得切线方程为y-3=k(x+2).联立方程消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*)由相切得Δ=64-4k(24+16k)=0,解得k=或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切点B的坐标为(8,8),又焦点F为(2,0),故直线BF的斜率为.]8.2 [由于双曲线x2-y2=1的焦点为(±,0),故应有=,p=2.]9.解 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.41\n由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【一年模拟试题精练】1.B [因为抛物线的焦点F(a,0)(a<0),开口向左,所以抛物线的标准方程为y2=4ax,故选B.]2.D [由题意知1+=3,∴p=4,所以焦点到准线的距离为4,故选D.]41\n3.C [根据题意得:解得:c=2,则2p=8,所以抛物线方程为y2=8x,故选C.]4. [抛物线的标准方程为x2=y,则准线方程为y=-=-,∴a=.]5.8 x=-4 [抛物线C:y2=2px的焦点为在直线x+2y-4=0上,则p=8,C的准线方程为x=-4.]6.-12 [由题意可得==,∴a=,∴c=3,所以双曲线的左焦点为(-3,0),再根据抛物线的概念可知=-3,∴m=-12.]7.1 [设B(x1,y1),因为y=x2,所以y′=x,y′|x=x1=x1=1,可得B,因为F,所以直线l的方程为y=,故|AF|=|BF|=-=1.]8.证明 (1)由抛物线C:x2=2y得,y=x2,则y′=x,∴在点P(m,n)处切线的斜率k=m,∴切线方程是y-n=m(x-m),即y-n=mx-m2.又点P(m,n)是抛物线上一点∴m2=2n,∴切线方程是mx-2n=y-n,即mx=y+n(也可联立方程证得)(2)直线MF与直线l位置关系是垂直.由(1)得,设切点为P(m,n),则切线l的方程为mx=y+n,∴切线l的斜率k=m,点M,又点F,此时,kMF==-=-=-,41\n∴k·kMF=m×=-1,∴直线MF⊥直线l.9.解 (1)F,当l的倾斜角为45°时,l的方程为y=x+,设A(x1,y1),B(x2,y2),得x2-2px-p2=0,x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p得AB中点为D,AB中垂线为y-p=-(x-p),x=0代入得y=p=5,∴p=2.(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB中点为D(2k,2k2+1),令∠MDN=2α,S=2α·|AB|=α·|AB|,∴=α,D到x轴的距离|DE|=2k2+1,cosα===1-.当k2=0时cosα取最小值,此时α取最大值.故的最大值为.考点30 圆锥曲线的综合问题【两年高考真题演练】1.解 (1)由题意知2a=4,则a=2,又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(ⅰ)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为+y=1,41\n又+=1,即=1,所以λ=2,即=2.(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2,①则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|===2.设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②由①②可知0<t≤1,因此S=2=2,故S≤2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,所在△ABQ面积的最大值为6.2.解 (1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y′=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.41\n(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+==.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点p(0,-a)符合题意.3.解 (1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.41\n4.解 (1)由题意知F,设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)①由(1)知F(1,0).设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1.由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ=+=0,得b=-.设E(xE,yE),则yE=-,xE=.当y≠4时,kAE==-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由y=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当y=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).②由①知直线AE过焦点F(1,0),41\n所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=.设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4·≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.【一年模拟试题精练】1.解 (1)设M(x,y),由题可得·=-,+y2=1,所以点M的轨迹方程为+y2=1(x≠±2).(2)点O到直线AB的距离为定值,设A(x1,y1),B(x2,y2),①当直线AB的斜率不存在时,则△AOB为等腰直角三角形,不妨设直线OA:y=x,将y=x代入+y2=1,解得x=±,所以点O到直线AB的距离为d=;41\n②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m与+y2=1(x≠±2),联立消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,x1+x2=-,x1x2=,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,所以(1+k2)-+m2=0,整理得5m2=4(1+k2),所以点O到直线AB的距离d==,综上可知点O到直线AB的距离为定值.2.解 (1)联立,消x并化简整理得y2+8y-8b=0.依题意应有Δ=64+32b>0,解得b>-2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-8,y1y2=-8b,设圆心Q(x0,y0),则应有x0=,y0==-4.因为以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆半径为r=|y0|=4,又|AB|====.所以|AB|=2r==8,解得b=-.所以x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16=,所以圆心为.故所求圆的方程为+(y+4)2=16.(2)因为直线l与y轴负半轴相交,所以b<0,又l与抛物线交于两点,由(1)知b>-2,所以-2<b<0,直线l:y=-x+b整理得x+2y-2b=0,点O到直线l的距离d==,所以S△AOB=|AB|d=-4b=4.41\n令g(b)=b3+2b2,-2<b<0,g′(b)=3b2+4b=3b,b-g′(b)+0-g(b)极大由上表可得g(b)的最大值为g=.所以当b=-时,△AOB的面积取得最大值.3.解 (1)由题意知c=1,又=tan60°=,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为:+=1.(2)设直线PQ的方程为:y=k(x-1)(k≠0),代入+=1,得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0==,y0=k(x0-1)=-,由·=·得:·(+)=·(2)=0,所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,直线TR的方程为:y+=-(x-),令y=0得:T点的横坐标t==,因为k2∈(0,+∞),所以+4∈(4,+∞),所以t∈.所以线段OF上存在点T(t,0),使得·=·,其中t∈.4.解 (1)A(-a,0),B(a,0),设P(x0,y0),则+=1,依题意·=-,得a2=8,41\n∴椭圆标准方程为+=1.(2)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+p,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2-8=0因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-8)=8(4+8k2-p2)=0,即4+8k2=p2.设x轴上存在两个定点(s,0),(t,0),使得这两个定点到直线l的距离之积为4,则·==4.即(st+4)k+p(s+t)=0(*),或(st+12)k2+(s+t)kp+8=0(**)由(*)恒成立,得,解得或(**)不恒成立.②当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=±2时,定点(-2,0)、F2(2,0)到直线l的距离之积(2-2)(2+2)=4.综上,存在两个定点(2,0)、(-2,0),使得这两个定点到直线l的距离之积为定值4.41
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高考 - 二轮专题
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