一点一练2022版高考数学第八章解析几何专题演练文含两年高考一年模拟

第八章　解析几何考点25　直线与圆两年高考真题演练1．(2022·北京)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝22．(2022·安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或123．(2022·新课标全国Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)A.B.C.D.4．(2022·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．5．(2022·山东)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．6．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．7．(2022·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________．(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．8．(2022·新课标全国Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－43\n3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.9．(2022·新课标全国Ⅰ)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．43\n考点25　直线与圆一年模拟试题精练1．(2022·滨州模拟)当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2022·广东海珠综合测试)“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2022·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)A．7B.C．14D．174．(2022·泉州模拟)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点．把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)A．3x＋y－6＝0B．3x－y＋6＝0C．x＋y－3＝0D．x－3y－2＝05．(2022·合肥模拟)经过点P(1，1)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方程为(　　)A．x－y＝0B．x＋y－2＝0C．x－2y＋1＝0D．x＋2y－3＝06．(2022·宝鸡模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　)A.B．5C.D．157．(2022·漳州模拟)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)A．2B．4C．5D．108．(2022·聊城模拟)当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以43\nC为圆心，半径为的圆的方程为(　　)A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝09．(2022·淄博模拟)过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为(　　)A．x2＋y2＋x－y＋＝0B．x2＋y2＋x－y－＝0C．x2＋y2－x－y＋＝0D．x2＋y2－x－y－＝010．(2022·郑州模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)A．(－2，4)B．[－2，4]C．[－4，4]D．[－4，2]11．(2022·苏州模拟)若直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．12．(2022·三明模拟)若A(1，－2)，B(5，6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．13．(2022·南昌模拟)过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线方程为________．14．(2022·深圳市二调)已知平面内的动点P与点N(0，1)的连线的斜率为k1，线段PN的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2＝－(m＞1)，动点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)恰好存在唯一一个同时满足下列条件的圆：①以曲线C的弦AB为直径；②过点N；③直径|AB|＝|NB|，求m的取值范围．43\n考点26　椭圆两年高考真题演练1．(2022·广东)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　)A．2B．3C．4D．92．(2022·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.3．(2022·浙江)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．4．(2022·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.43\n5．(2022·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.考点26　椭圆一年模拟试题精练1．(2022·宝鸡市质检一)已知抛物线y2＝8x的焦点与椭圆＋y2＝1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.2．(2022·烟台模拟)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝13．(2022·日照模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)43\nA.B.C.D.4．(2022·杭州七校期末联考)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.5．(2022·聊城模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，l：x＝－，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.6．(2022·本溪模拟)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________．7．(2022·成都模拟)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．8．(2022·南京市调研)给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．(1)求实数a，b的值；(2)若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．43\n考点27　双曲线两年高考真题演练1．(2022·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝12．(2022·湖南)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.3．(2022·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝14．(2022·四川)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)A.B．2C．6D．45．(2022·重庆)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)A．±B．±C．±1D．±6．(2022·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　)A．对任意的a，b，e1<e2B．当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e243\nC．对任意的a，b，e1>e2D．当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e27．(2022·北京)已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.8．(2022·新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．9．(2022·湖南)如图，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝||？证明你的结论．考点27　双曲线一年模拟试题精练1．(2022·邯郸市质检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝－x，则它的离心率为(　　)A.B.C.D.2．(2022·天津市六校联考)以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是(　　)A．x2＋y2－10x＋9＝0B．x2＋y2－10x＋16＝0C．x2＋y2＋10x＋16＝0D．x2＋y2＋10x＋9＝03．(2022·厦门市质检)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l43\n，则直线l与双曲线C的交点情况是(　　)A．没有交点B．只有一个交点C．两个交点都在左支上D．两个交点分别在左、右支上4．(2022·晋冀豫三省二调)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x－3)2＋y2＝9相交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的离心率为(　　)A．8B．2C．3D．45．(2022·忻州一中等四校联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x6．(2022·玉溪一中检测)若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝17．(2022·四川省统考)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是(　　)A．3B．2C.D.8．(2022·荆门市调研)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，λ·μ＝，则双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.9．(2022·广州综合测试)已知双曲线E：－＝1(a＞0)的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是直线x＝上任意一点，点Q在双曲线E43\n上，且满足·＝0.(1)求实数a的值；(2)证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；(3)若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足＝，证明：点H恒在一条定直线上．43\n考点28　抛物线两年高考真题演练1．(2022·陕西)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)2．(2022·新课标全国Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)A．3B．6C．9D．123．(2022·四川)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)A．(1，3)B．(1，4)C．(2，3)D．(2，4)4．(2022·浙江)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．5．(2022·安徽)如图，43\n已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．43\n考点28　抛物线一年模拟试题精练1．(2022·唐山市摸底)抛物线y＝2x2的准线方程是(　　)A．x＝－B．x＝C．y＝－D．y＝2．(2022·巴蜀中学一模)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝4x3．(2022·北京西城区检测)设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：x＝－1的距离为d，则有(　　)A．|AB|≥2dB．|AB|＝2dC．|AB|≤2dD．|AB|＜2d4．(2022·忻州一中等四校一联)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p＝(　　)A．2B．4C．6D．85．(2022·延安摸拟)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)A．1B．1或3C．0D．1或06．(2022·昆明一中检测)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆与l交于B，D两点，若∠ABD＝90°，|AF|＝2，则p＝(　　)A．1B.C．2D.7．(2022·云南部分名校第一次联考)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为(　　)A．y2＝6xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y2＝x8．(2022·吉林市摸底)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px43\n的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)A．2B．2C．4D．49．(2022·云南玉溪一中期中)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)A.＋2B.＋1C.－2D.－110．(2022·铜陵模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|＝(　　)A.B．6C.D．811．(2022·巴蜀中学一模)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(b＞0)，圆心在抛物线y2＝4x上，经过点A(3，0)，且与抛物线的准线相切，则圆C的方程为____________．12．(2022·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．13．(2022·衡水中学四调)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在，说明理由；(2)若△AOB的面积为，求向量，的夹角．43\n考点29　圆锥曲线的综合问题两年高考真题演练1．(2022·新课标全国Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．2．(2022·山东)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.43\n(ⅰ)求的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．3．(2022·重庆)如图，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．43\n考点29　圆锥曲线的综合问题一年模拟试题精练1．(2022·昆明一中检测)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－，0)，过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|＋|FA′|＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．2．(2022·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．3．(2022·云南省名校统考)如图，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(2，)，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC·kBD＝－.(1)求·的取值范围；(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．43\n4．(2022·锦州市期末)如图，已知点F为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，圆A：(x＋t)2＋y2＝2(t＞0)与椭圆C的一个公共点为B(1，0)，且直线FB与圆A相切于点B.(1)求t的值及椭圆C的标准方程；(2)设动点P(x0，y0)满足＝＋3，其中M，N是椭圆C上的点，O为原点，直线OM与ON的斜率之积为－，求证：x＋2y为定值．参考答案第八章　解析几何考点25　直线与圆【两年高考真题演练】1．D　[圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]2．D　[圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.]3．B　[由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y－＝，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，43\n其到原点的距离为＝.故选B.]4．2　[如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.]5.　[由题意，圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示，∵P(1，)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝.∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝，则OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴·＝||||·cos∠APB＝××cos60°＝.]6．(x－1)2＋y2＝2　[直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]7．(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)－－1　[(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.(2)　法一　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1)．又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1)．令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.法二　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1)．又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，圆心C(1，)到直线kx－y43\n＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.]8．解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.9．解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.43\n又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.【一年模拟试题精练】1．B　[l1和l2的交点坐标为，∵0＜k＜，∴＜0，＞0，故l1和l2交点在第二象限．]2．A　[直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直的充要条件是4a2＋a－3＝0，解得a＝－1或a＝，所以“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.]3．B　[∵l2：x＋3y－＝0，∴l1∥l2，故l1和l2的距离为＝，∵m＞0，∴m＝.]4．A　[M(2，0)，旋转前，k＝2＝tanθ；旋转后k＝tan(θ＋45°)＝＝－3，故旋转后的直线方程为y－0＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.]5．B　[y－1＝k(x－1)，横截距为，纵截距为1－k，由题意得k＜0，＋1－k＝2＋＋(－k)≥2＋2＝4，当且仅当－＝－k，即k＝－1取等号，故该直线的方程为x＋y－2＝0.]6．B　[＝－10，令t＝，故P(t，t－10)，|OP|＝＝≥5.]7．D　[43\n建立如图坐标系，设A(a，0)，B(0，b)，则D，P，|PA|2＝a2＋b2，|PB|2＝a2＋b2，|PC|2＝a2＋b2，故＝10.]8．C　[该直线可整理为a(x＋1)＋(－x－y＋1)＝0，故定点C为(－1，2)，所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.]9．A　[将y＝－4－2x代入(x＋1)2＋(y－2)2＝4整理得：5x2＋26x＋33＝0，x1＋x2＝－，y1＋y2＝－4－2x1－4－2x2＝，弦长＝2＝，满足条件面积最小的圆为以两交点的中点为圆心，弦长为直径的圆，故圆的方程为x2＋y2＋x－y＋＝0.]10.B　[由图可知，当m＝x＋y过(－2，0)时，m取最小值，最小值为－2；当m＝x＋y与该半圆相切时，m取最大值，＝2，m＝4，故m∈[－2，4]．]11.∪[5，＋∞)　[由题意得：l的斜率k≥kPA＝＝5或k≤kPB＝＝－.]12．x＋y－5＝0或2x－3y＝0　[AB的中点为M(3，2)，43\n当l的截距为0时，可设y＝kx，得k＝，当l的截距不为0时，可设l的方程为＋＝1得a＝5.故l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.]13．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0　[AB的中点为(3，－1)，满足条件的直线为过AB的中点或与AB平行．当过AB的中点(3，－1)时，＝，即3x＋2y－7＝0；当该直线与AB平行时，该直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.]14．解　(1)设P(x，y)，记PN的中点为M，则M，由题意k1＝(x≠0)，k2＝(x≠0)，由k1k2＝－可得＝－(x≠0)，化简整理可得：＋y2＝1(x≠0)，即曲线C的方程为＋y2＝1(x≠0)．(2)由题意N(0，1)，若存在以曲线C的弦AB为直径的圆过点N，则有NA⊥NB，所以直线NA、NB的斜率都存在且不为零，设直线NA的斜率为k(不妨设k＞0)，∴直线NA：y＝kx＋1，直线NB：y＝－x＋1，由消去y整理可得(1＋m2k2)x2＋2m2kx＝0，解得xA＝－，所以|NA|＝，以－代替k可得|NB|＝＝，又∵|AB|＝|NB|，即有|NA|＝＝|NB|，∴＝，∴k3＋m2k＝1＋m2k2，即(k－1)[k2＋(1－m2)k＋1]＝0，①当m＝时，(k－1)[k2＋(1－m2)k＋1]＝(k－1)3＝0，解得k＝1；②当1＜m＜时，方程k2＋(1－m2)k＋1＝0，有Δ＝(1－m2)2－4＜0，∴方程(k－1)[k2＋(1－m2)k＋1]＝(k－1)3＝0有唯一解k＝1；43\n③当m＞时，方程k2＋(1－m2)k＋1＝0有Δ＝(1－m2)2－4＞0，且12＋(1－m2)×1＋1≠0，所以方程(k－1)[k2＋(1－m2)k＋1]＝(k－1)3＝0有三个不等的根，综上，当1＜m≤时，恰有一个圆符合题意．考点26　椭圆【两年高考真题演练】1．B　[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.]2．A　[左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e＝＝＝＝∈，故选A.]3.　[设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标，kFQ＝，依题意解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，令e＝，则4e6＋e2＝1，∴离心率e＝.]4．(1)解　由题设知＝，b＝1，43\n结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.5．解　(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.【一年模拟试题精练】43\n1．D　[y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，由题意得：＝2，得a＝，e＝＝＝.]2．A　[由|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2a＝4c，得a＝2c，＋＝1，得a＝2，b＝，因此，椭圆的标准方程为＋＝1.]3．A　[将y＝1－x代入ax2＋by2＝1，整理得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝，因此AB的中点，＝＝.]4．B　[由|PF1|＋|PF2|＝2a和|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2得，|PF1||PF2|＝2a2－2c2≤＝a2，即a2≤2c2，e2≥，得e∈.]5．A　[由题意得|PQ|＝|F1F2|＝2c，得P的横坐标为，－a＜＜a，即－ac＜2c2－a2＜ac，－e＜2e2－1＜e，得e∈.]6.　[|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，因此|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|，2πr＝π，r＝，S△ABF2＝(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)r＝|F1F2||y1－y2|，得|y1－y2|＝.]7．3　[设F2为椭圆右焦点，|AF|＋|AF2|＝2a＝4，|BF|＋|BF2|＝2a＝4，故|AF|＋|BF|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8≥|AF|＋|BF|＋|AB|，故当△FAB的周长最大时，x＝m过椭圆右焦点F2，则|AB|＝3，故S△FAB＝|F2F|·|AB|＝3.]8．解　(1)记椭圆C的半焦距为c.由题意，得b＝1，＝，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5.显然直线l的斜率存在．43\n设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组(*)有且只有一组解．由(*)得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.从而Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝0.化简，得m2＝1＋4k2.①因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝＝.即＝.②由①②，解得k2＝2，m2＝9.因为m＞0，所以m＝3.考点27　双曲线【两年高考真题演练】1．A　[由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.]2．D　[由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.]3．D　[双曲线－＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.]4．D　[右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.选D.]5．C　[43\n双曲线－＝1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，易求B，C，则kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，则有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±＝±1.]6．B　[e1＝，e2＝.不妨令e1<e2，化简得<(m>0)，得bm<am，得b<a.所以当b>a时，有>，即e1>e2；当b<a时，有<，即e1<e2.故选B.]7.　[由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝.]8.－y2＝1　[由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.]9．解　(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点P在双曲线x2－＝1上，所以－＝1.故b＝3.由椭圆的定义知2a2＝＋＝2.于是a2＝，b＝a－c＝2，故C1，C2的方程分别为43\nx2－＝1，＋＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.当x＝时，易知A(，)，B(，－)，所以|＋|＝2，||＝2.此时，|＋|≠||.当x＝－时，同理可知，|＋|≠||.②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝，x1x2＝.于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.化简，得2k2＝m2－3，因此·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0，于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||.综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线．【一年模拟试题精练】43\n1．B　[该双曲线的渐近线为y＝±x，故＝，即＝，e＝＝.]2．A　[该双曲线的渐近线为y＝±x，右焦点坐标为(5，0)，(5，0)到渐近线的距离为4，故该圆的标准方程为(x－5)2＋y2＝16，即x2＋y2－10x＋9＝0.]3．D　[该双曲线的渐近线为y＝±x，kl＝tan＝＜，故l与双曲线C的交点分别在左、右两支上．]4．C　[双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，因为圆心为(3，0)，半径为3，由|AB|＝2，可知圆心到直线AB的距离为2，于是＝2，解得b2＝8a2，于是c＝＝3a，所以e＝＝3.]5．C　[∵e＝＝，故可设a＝2k，c＝k，则得b＝k，∴渐近线方程为y＝±x.]6．A　[解方程组得或∵圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A(0，－3)，B(0，3)，∴a＝3，2c＝18，∴b2＝－32＝72，∴双曲线方程为－＝1.]7．B　[因为AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且显然AE＝BE，所以△ABE是等腰三角形，所以∠AEB＝90°，所以∠AEF＝45°，所以AF＝EF，易知点A(不妨设点A在x轴上方)，故＝a＋c，即b2＝a(a＋c)，得c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，解得e＝2，或e＝－1(舍去)．]8．A　[不妨设A在第一象限，故A的坐标为，P的坐标为，因此＝＝(－)．＝＋＝(＋)＋(－)43\n＝＋∵λ·μ＝，∴＝，得e＝＝.]9．(1)解　设双曲线E的半焦距为c，由题意可得解得a＝.(2)证明　由(1)可知，直线x＝＝，点F2(3，0)．设点P，Q(x0，y0)，因为·＝0，所以·(3－x0，－y0)＝0，所以ty0＝(x0－3)．因为点Q(x0，y0)在双曲线E上，所以－＝1，即y＝(x－5)，所以kPQ·kOQ＝·＝＝＝＝，所以PQ与OQ的斜率之积为定值．(3)证明　P，设H(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，令＝＝λ，则|PM|＝λ|PN|，|MH|＝λ|HN|，即43\n整理，得由①×③，②×④得将y＝(x－5)，y＝(x－5)代入⑥，得y＝×－4.　⑦将⑤代入⑦，得y＝x－4，所以点H恒在定直线4x－3y－12＝0上．考点28　抛物线【两年高考真题演练】1．B　[由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标为(1，0)，故选B.]2．B　[因为e＝＝，y2＝8x的焦点为(2，0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.]3．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当l的斜率存在时，x1≠x2，则有·＝2，即y0·k＝2，由CM⊥AB得k·＝－1，y0k＝5－x0，2＝5－x0，∴x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，有－2＜y0＜2，43\n∵点M在圆上，∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y＋4＜12＋4＝16，又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4，故选D.]4．解　(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．由消去y，整理得：x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|＝t·和直线PA的方程tx－y－t2＝0，点B到直线PA的距离是d＝，设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AP|·d＝.5．(1)证明　设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以＝＝2p1，＝＝2p2.43\n故＝，所以A1B1∥A2B2.(2)解　由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此＝.又由(1)中的＝知＝.故＝.【一年模拟试题精练】1．C　[把抛物线y＝2x2的方程化成标准形式为x2＝y，是焦点在y轴正半轴的抛物线，所以其准线方程为y＝－.]2．C　[∵＝＝，∴a＝b，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，因此可设A的坐标为(x0，x0)，则B的坐标为(x0，－x0)，S△AOB＝x0·2x0＝x＝4，则x0＝2或x0＝－2(舍)，将(2，2)代入y2＝2px，p＝1，故抛物线的方程为y2＝2x.]3．A　[设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2；d＝2.当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝4＝2d，当直线AB的斜率存在时，AB的直线方程为y＝k(x－1)，将其代入y2＝4x，整理得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝＝2＋＞2，|AB|＞4＝2d，综上，|AB|≥2d.]4．B　[∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4.]43\n5．D　[由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.]6．A　[设准线与x轴交于E，由题意，|AF|＝|BF|＝|AB|＝2，△ABF为等边三角形．∴∠FBD＝30°，∴|EF|＝1，即p＝1.]7．B　[设M(x1，y1)．∵|MF|＝4|OF|，∴x1＋＝4×，∴x1＝，∴|y1|＝p，∴S△MFO＝××p＝4，∴p＝4，∴抛物线的方程为y2＝8x.]8．B　[根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，即点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，则p＝4，则抛物线的焦点为(2，0)；则双曲线的左顶点为(－2，0)，即a＝2；点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1，则c＝，则焦距为2c＝2.]9．D　[因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1.因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1，又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，焦点到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，选D.]10．A　[过B，C两点作准线x＝－的垂线，垂足分别为B1，C1，由抛物线定义得|CF|＝|CC1|，|BF|＝|BB1|，设|CF|＝x，则＝，得x＝，故|BC|＝3＋＝.]43\n11．(x－2)2＋(y－2)2＝9　[由抛物线定义可得，圆过抛物线焦点(1，0)，又过A(3，0)，故圆心的横坐标为2，又∵b＞0，∴b＝＝2，r＝＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝9.]12.－1　[由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.]13．解　(1)由题意知：抛物线方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my－1，代入y2＝4x得y2－4my＋4＝0，Δ＝16m2－16＞0，得m2＞1，假设存在T(a，0)满足题意，则kAT＋kBT＝＋＝＝＝0.∴8m－4m(1＋a)＝0，∴a＝1，∴存在T(1，0)．(2)S△AOB＝|OP||y1－y2|＝|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝，∴|y1－y2|＝5，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB＝θ.kOA＝＝＝＝tanα，kOB＝＝tanβ，设θ＝|α－β|，∴tanθ＝|tan(α－β)|＝＝＝＝1，∴θ＝.考点29　圆锥曲线的综合问题【两年高考真题演练】1．(1)解　由题意得＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.43\n所以C的方程为＋＝1.(2)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．2．解　(1)由题意知＋＝1.又＝，解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，43\n所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，故S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6.3．解　(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.由＝2.得|DF1|＝＝c.从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝.所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.43\n由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y＝0，由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0.解得x1＝－或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得·＝－1.而求得y1＝|x1＋1|＝，故y0＝.圆C的半径|CP1|＝＝.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2＋＝.【一年模拟试题精练】1．解　(1)设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|＋|FA′|＝|FA|＋|F′A|＝2a＝4.解得a＝2，∵左焦点为F(－，0)，c＝，∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，△AFA′面积S＝·2x1·y1＝x1y1.∵1＝＋≥2××＝S，∴S≤.当△AFA′面积取得最大时，＝＝，解得x1＝，y1＝1.由F(－，0)，A(，1)，可得直线AB的方程为：y＝(x＋)，化为x－2y＋＝0，设B(x2，y2)，联立43\n解得可得B.∴|AB|＝＝.2．解　(1)设椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)，由焦点的坐标得：c＝1，由|PQ|＝3，可得＝3，解得a＝2，b＝，故椭圆的方程是＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R，因此S△F1MN最大，R就最大，S△F1MN＝|F1F2|(y1－y2)＝y1－y2，由题知，直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋1，由得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，解得y1＝，y2＝，则S△AMN＝|AB|(y1－y2)＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，则S△AMN＝，令f(t)＝3t＋，f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)≥0，f′(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△AMN≤＝3，即当t＝1，m＝0时，S△AMN≤＝3，S△AMN＝4R，所以Rmax＝，此时所求内切圆面积的最大值是，43\n故直线l：x＝1，△AMN内切圆的面积最大值是.3．(1)解　⇒∴＋＝1.当直线AB的斜率存在时，设lAB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2＋km＋m2＝.∵kOA·kOB＝－⇒·＝－，∴＝－·⇒m2＝4k2＋2.·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝2－，∴－2≤·≤2，当k＝0时，(·)min＝－2，当k不存在即AB⊥x轴时，(·)max＝2，所以·的范围是[－2，2]．(2)证明　S四边形ABCD＝4S△AOB，∵S△AOB＝···＝2＝2，∴S四边形ABCD＝8.4．(1)解　由题意可知b＝1，又t2＋1＝2，∴t＝±1，又t＞0，∴t＝1.在Rt△AFB中，|AB|2＋|FB|2＝|AF|2，∴2＋(1＋c2)＝(1＋c)2，∴c＝1，a＝，故椭圆的标准方程为：＋y2＝1.(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵＝＋3，∴x0＝x1＋3x2，y0＝y1＋3y2，∵M、N在椭圆上，∴x＋2y＝2，x＋2y＝2，43\n因为直线OM与ON的斜率之积为－，∴x1x2＋2y1y2＝0，于是x＋2y＝(x＋6x1x2＋9x)＋2(y＋6y1y2＋9y)＝(x＋2y)＋6(x1x2＋2y1y2)＋9(x＋2y)＝20，故x＋2y为定值．43