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一点一练2022版高考数学第四章平面向量专题演练文含两年高考一年模拟

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第四章 平面向量考点14 平面向量的概念与运算两年高考真题演练1.(2022·新课标全国Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(  )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.(2022·四川)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=(  )A.2B.3C.4D.63.(2022·新课标全国Ⅱ)已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(  )A.-1B.0C.1D.24.(2022·重庆)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(  )A.B.C.D.5.(2022·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=(  )A.5B.4C.3D.26.(2022·北京)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(2022·陕西)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(  )A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b28.(2022·江苏)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.9.(2022·湖北)已知向量⊥,||=3,则·=________.10.(2022·天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.15\n11.(2022·浙江)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.12.(2022·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.13.(2022·陕西)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.考点14 平面向量的概念与运算一年模拟试题精练1.(2022·惠州市二调)已知向量=(3,7),=(-2,3),则-=(  )A.B.C.D.2.(2022·山西省三诊)若菱形ABCD的边长为2,则|-+|等于(  )A.2B.1C.2D.3.(2022·山西四校联考)如图,正六边形ABCDEF中,++等于(  )A.0B.C.D.                   15\n4.(2022·衡水二调)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于(  )A.2B.2C.4D.5.(2022·乐山市调研)在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,若=(2,4),=(1,3),则=(  )A.(2,4)B.(3,5)C.(-2,-4)D.(-3,-5)6.(2022·烟台市检测)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(  )A.B.C.5D.257.(2022·山东省实验中学三诊)已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为(  )A.B.C.D.8.(2022·洛阳市高三统考)设等边三角形ABC边长为6,若=3,=,则·等于(  )A.-6B.6C.-18D.189.(2022·西安八校联考)若向量a、b满足:a·b=,|a|=|b|=1,则|2a+b|=________.10.(2022·成都市一诊)若非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a,b的夹角的大小为________.11.(2022·大同市调研)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=________.12.(2022·天津六校联考)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB上的一个三等分点,则·+·=________.13.(2022·重庆市一诊)已知向量m=,n=,设函数f(x)=m·n+1.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足a2+b2=6abcosC,sin2C=2sinAsinB,求f(C)的值.15\n考点15 平面向量的应用两年高考真题演练1.(2022·福建)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(  )A.-B.-C.D.2.(2022·湖南)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为(  )A.6B.7C.8D.93.(2022·重庆,理)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=(  )A.-B.0C.3D.4.(2022·天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=(  )A.B.C.D.5.(2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足=(a+b).曲线C={P|=acosθ+bcosθ,0≤θ<2π},区域Ω={P|0<r≤||≤R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则(  )A.1<r<R<3B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3D.1<r<3<R6.(2022·江苏)设向量ak=(k=0,1,2,…,12),则15\n(ak·ak+1)的值为________.7.(2022·陕西)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a·b=0,则tanθ=________.8.(2022·陕西)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.9.(2022·辽宁)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.考点15 平面向量的应用一年模拟试题精练1.(2022·江西省质检三)在△ABC中,=c,=b,若点D满足=4,则等于(  )A.b+cB.c-bC.b-cD.b+c2.(2022·云南师大附中检测)设x∈R,向量a=(1,x),b=(2,-4),且a∥b,则a·b=(  )A.-6B.C.D.103.(2022·济南一中高三期中)已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若a⊥b,则|b|=(  )A.B.2C.5D.2015\n4.(2022·昆明三中,玉溪一中高三统考)已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角是(  )A.B.C.D.5.(2022·晋冀豫三省二调)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a·b的值为(  )A.1B.2C.3D.46.(2022·北京东城区高三期末)已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(  )A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)D.[-3,3)7.(2022·济南一中高三期中)在△ABC中,若2=·+·+·,则△ABC是(  )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形8.(2022·杭州七校联考)已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC的中点,则||=(  )A.2B.4C.6D.89.(2022·惠州市三调)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),且a⊥b,则实数x=________.10.(2022·衡水中学二调)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则y=________.11.(2022·南昌市调研)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|+|≥||,那么实数m的取值范围是________.12.(2022·四川省统考)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A,B,C.(1)设·=·,求证△ABC是等腰三角形;(2)设向量s=(2sinC,-),t=,且s∥t,若sinA=,求sin的值.15\n参考答案第四章平面向量考点14 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】1.A [=(3,1),=(-4,-3),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).]2.B [a=(2,4),b=(x,6),∵a∥b,∴4x-2×6=0,∴x=3.]3.C [因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),得(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,选C.]4.C [因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0,又|b|=4|a|,则上式可化为2|a|2+|a|×4|a|·cos〈a,b〉=0即2+4cos〈a,b〉=0,所以cos〈a,b〉=-,即a,b夹角为π.]5.A [∵四边形ABCD为平行四边形,∴=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1).∴·=2×3+(-1)×1=5.]6.A [由数量积定义a·b=|a|·|b|·cosθ=|a|·|b|,(θ为a,b夹角),∴cosθ=1,θ∈[0°,180°],∴θ=0°,∴a∥b;反之,当a∥b时,a,b的夹角θ=0°或180°,a·b=±|a|·|b|.]7.B [对于A,由|a·b|=||a||b|cosa,b|≤|a||b|恒成立;对于B,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于C、D容易判断恒成立.故选B.]8.-3 [∵a=(2,1),b=(1,-2),∴ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),即解得故m-n=2-5=-3.]9.9 [因为⊥,所以·=0.所以·=·(+)=2+·=||2+0=32=9.]10. [在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,∴CD=1,=+=+,=+=+,∴·=·=·+·+·+·15\n=2×1×cos60°+2×+×1×cos60°+××cos120°=.]11. [因为|e1|=|e2|=1且e1·e2=.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1=b·e2=1,所以b·e1-b·e2=0,即b·(e1-e2)=0,所以b⊥(e1-e2).所以b与e1的夹角为30°,所以b·e1=|b|·|e1|cos30°=1.∴|b|=.]12.①④⑤ [∵△ABC为边长是2的等边三角形,∴||=|2a|=2|a|=2,从而|a|=1,故①正确;又=-=2a+b-2a=b,∴b∥,故④正确;又(+)·(-)=2-2=0,∴(+)⊥,即(4a+b)⊥,故⑤正确.]13.解 (1)法一 ∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得即=(2,2),故||=2.法二 ∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)解 ∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.15\n【一年模拟试题精练】1.C [-=-(+)=-[(3,7)+(-2,3)]=.]2.A [|-+|=|++|=||=2.]3.D [因为ABCDEF是正六边形,故++=++=+=.]4.B [由已知得|a|=2,∴|a+2b|2=a+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12,∴|a+2b|=2,故选B.]5.D [由题可知=+=(-)+=+2=(1,3)+2(-2,-4)=(-3,-5),故选D.]6.C [(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+2×10+|b|2=50,|b|=5.]7.B [a·(b-a)=a·b-a2=|a||b|cosθ-|a|2=2,故cosθ=,θ=.]8.C [令=c,=b,则=+=-c+b,=+=b+c,·=·=-b2=-18.]9. [∵a·b=,|a|=|b|=1,∴|2a+b|==.]10.90° [∵|a+b|=|a-b|,∴(a+b)2=(a-b)2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,a·b=0,故a⊥b.]11.π [∵非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,∴(a+b)2=c2,即a2+b2+2a·b=c2,∴|a|2+2|a|2cosa,b=0,∴cosa,b=-,∴a,b=π.故答案为:π.]12.4 [设=a,=b,=+=a-b,=+=+=a+b,·+·15\n=·(+)=a2+a·b+b2=4.]13.解 (1)f(x)=sincos-cos2+1=sinx-cosx+=sin+.令2kπ-≤x-≤2kπ+,∴2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).所以所求增区间为(k∈Z).(2)由a2+b2=6abcosC,sin2C=2sinAsinB,得c2=2ab,因为cosC===3cosC-1得cosC=,又∵0<C<π,C=,∴f(C)=f=1.考点15 平面向量的应用【两年高考真题演练】1.A [c=a+kb=(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k),∵b⊥c,∴b·c=0,b·c=(1,1)·(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+2k=0,∴k=-,故选A.]2.B [由A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,∴线段AC为圆的直径,故+=2=(-4,0),设B(x,y),则x2+y2=1且x∈[-1,1],=(x-2,y),所以++=(x-6,y),∴|++|=,∴当x=-1时,此式有最大值=7,故选B.]3.C [因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3,故选C.]4.C [∵=+λ,=+μ,15\n∴·=(+λ)·(+μ)=·+μ·+λ·+λμ·=2×2×+4μ+4λ+2×2×λμ=-2+4(λ+μ)-2λμ=1.∴2(λ+μ)-λμ=.①∵·=(1-λ)·(1-μ)=(λμ-λ-μ+1)·=2×2×(λμ-λ-μ+1)=-2[λμ-(λ+μ)+1]=-,∴λμ-(λ+μ)+1=,即λμ-(λ+μ)=-.②由①②解得λ+μ=.]5.A [由已知可设=a=(1,0),=b=(0,1),P(x,y),则=(,),曲线C={P|=(cosθ,sinθ),0≤θ<2π},即C:x2+y2=1,区域Ω={P|0<r≤||≤R,r<R}表示圆P1:(x-)2+(y-)2=r2与圆P2:(x-)2+(y-)2=R2所形成的圆环,如图所示,要使C∩Ω为两段分离的曲线,只有1<r<R<3.]6.9 [∵ak=,∴ak·ak+1=·15\n=cos·cosπ+·=cos+cosπ+sinπ.故=cos+cosπ+sinπ.由cosπ=0,sinπ=0,得ak·ak+1=cos·12=9.]7. [因为a·b=0,所以sin2θ-cos2θ=0,2sinθcosθ=cos2θ,因为0<θ<,所以cosθ>0,得2sinθ=cosθ,tanθ=.]8.解 (1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=,由于0<A<π,所以A=.(2)法一 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3,故△ABC的面积为S=bcsinA=.法二 由正弦定理,得=,15\n从而sinB=,又由a>b,知A>B,所以cosB=,故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin=.所以△ABC的面积为S=absinC=.9.解 (1)由·=2得c·acosB=2,又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得或因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB===,由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.【一年模拟试题精练】1.D [∵=4,∴-==4=4(-),∴5=4+,∴=+=b+c.]2.D [∵a=(1,x),b=(2,-4),且a∥b,∴-4-2x=0,x=-2,∴a=(1,-2),a·b=10.]3.B [∵a⊥b,∴a·b=x-4=0,即x=4,故|b|==2.]15\n4.B [因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即a2=a·b=|a|2=2,所以cosa,b===,所以向量a与b的夹角为.]5.D [∵a=(1,k),b=(2,2),∴a+b=(3,k+2),又∵a+b与a共线,∴3×2-(k+2)·2=0,即k=1,故a·b=(1,1)·(2,2)=2+2=4.]6.C [由题意可得,{a,b}是平面的一组基底,所以a与b不共线,所以2m-3≠3m,所以m≠-3.]7.D [∵2=·+·+·,∴2-·=·=·(-)=2,∴·(-)=0,即·=0,故△ABC是直角三角形.]8.A [=(+)=(2m+2n+2m-6n)=2m-2n,故||=2|m-n|=2=2=2=2.]9.0 [∵a=(x-1,2),b=(2,1),且a⊥b,∴a·b=2(x+1)+2=0,解之可得x=0.]10.-4 [∵a=(1,2),b=(-2,y),a∥b,∴1·y=2×(-2),∴y=-4.]11.(-2,-]∪[,2) [圆心O到直线x+y+m=0的距离d=.由|+|≥|AB|得,|+|≥|-|,所以||2+||2+2·≥||2+||2-2·,所以·≥0,所以0<∠AOB≤,≤cos∠AOB<1,又=cos∠AOB,所以2×≤|m|<2,解得-2<m≤-或≤m<2.]12.(1)证明 因为·=·,所以·(-)=0,15\n又++=0,所以=-(+),所以-(+)·(-)=0,所以2-2=0,所以||2=||2,即||=||,故△ABC为等腰三角形.(2)解 ∵s∥t,∴2sinC=-cos2C,∴sin2C=-cos2C,即tan2C=-,∵C为锐角,∴2C∈(0,π),∴2C=,∴C=,∴A=-B,∴sin=sin=sin,又sinA=,且A为锐角,∴cosA=,∴sin=sin=sinAcos-cosAsin=15

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发布时间:2022-08-26 00:03:11 页数:15
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文章作者:U-336598

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