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三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第三节椭圆及其性质理全国通用
三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第三节椭圆及其性质理全国通用
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A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·武汉模拟)已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是( )A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1解析 ∵a=4,e=,∴c=3.∴b2=a2-c2=16-9=7.∴椭圆的标准方程是+=1或+=1.答案 B2.(2022·青岛模拟)已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A.3B.2C.2D.解析 根据题意设椭圆方程为+=1(b>0),则将x=-y-4代入椭圆方程,得4(b2+1)y2+8b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,∴Δ=(8b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)·(b2-3)=0,∴b2=3.长轴长为2=2.答案 C3.(2022·嘉兴二模)已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则实数m的取值范围是( )A.B.C.∪D.∪6\n解析 椭圆的标准方程为x2+=1,当椭圆的焦点在x轴上时,可得m>;当椭圆的焦点在y轴上时,可得0<m<.答案 C4.(2022·临沂一模)设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1,F2,P为这两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为( )A.3B.2C.3D.2解析 由题意椭圆焦点在y轴上,可得m=6,由圆锥曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2=2,||PF1|-|PF2||=2,两式平方作差得|PF1|·|PF2|=3.答案 A二、填空题5.(2022·青岛模拟)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为__________________.解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),∴m2-n2=4①,e==,∴m=4,代入①得,n2=12,∴椭圆方程为+=1.答案 +=1一年创新演练6.已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1,随着a的增大该椭圆的形状( )A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆解析 由题意得到a>1,所以椭圆的离心率e2==1+(a>1)递减,则随着a的增大,离心率e越小,所以椭圆越接近于圆,故选A.答案 A6\nB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·黄冈质检)F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P,且∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析 不妨设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F1F2|=2c=,由椭圆的定义得2a=3,因此e===.答案 A二、填空题8.(2022·枣庄模拟)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为________.解析 由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.答案 9.(2022·韶关调研)已知F1(-1,0),F2(1,0)为椭圆+=1的两个焦点,若椭圆上一点P满足||+||=4,则椭圆的离心率e=________.解析 由题意2a=4,∴a=2,又c=1,∴e=.答案 三、解答题10.(2022·徐州模拟)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点,且2+=0.(1)求椭圆C的离心率;(2)若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线x-y-3=0相切,求椭圆C的方程;6\n(3)在(2)的条件下,过右焦点F2的直线交椭圆于M,N两点,点P(4,0),求△PMN面积的最大值.解 (1)设Q(x0,0).∵F2(c,0),A(0,b),则=(-c,b),=(x0,-b),又⊥,∴-cx0-b2=0,故x0=-,又2+=0,∴F1为F2Q的中点,故-2c=-+c,即b2=3c2=a2-c2,∴e==.(2)∵e==,∴a=2c,b=c,则F2=(c,0),Q(-3c,0),A(0,c).∴△AQF2的外接圆圆心为(-c,0),半径r=|F2Q|=2c=a.∴=2c,解得c=1,∴a=2,b=,椭圆方程为+=1.(3)设直线MN的方程为:x=my+1,代入+=1得(3m2+4)y2+6my-9=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),∴y1+y2=-,y1y2=-,|y1-y2|==.∴S△PMN=|PF2|·|y2-y1|=,令=λ≥,∴S△PMN==≤=,6\n∴△PMN面积的最大值为,此时m=0.11.(2022·惠州调研)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A,B两点.①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值;②已知点M,求证:·为定值.解 (1)+=1(a>b>0)满足a2=b2+c2,又=,×b×2c=,解得a2=5,b2=,则椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).①将y=k(x+1)代入+=1,得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,∴Δ=48k2+20>0,x1+x2=-,∵AB中点的横坐标为-,∴-=-1,解得k=±.②证明 由(1)知x1+x2=-,x1x2=,∴·=·=+y1y2=+k2=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++k2=(1+k2)+++k2=++k2=(定值).6\n一年创新演练12.如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=,求|BC|与|AD|的比值;(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.解 (1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设C1:+=1,C2:+=1,(a>b>0),设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立,求得A,B,当e=时,b=a,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标,可知|BC|∶|AD|===.(2)t=0时,l不符合题意,t≠0时,BO∥AN,当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即=,解得t=-=-·a,因为|t|<a,又0<e<1,所以<1,解得<e<1,所以当0<e≤时,不存在直线l,使得BO∥AN;当<e<1时,存在直线l,使得BO∥AN.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:01:45
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文章作者:U-336598
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