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五年高考真题2022届高考数学复习第九章第三节椭圆及其性质理全国通用
五年高考真题2022届高考数学复习第九章第三节椭圆及其性质理全国通用
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考点一 椭圆的定义及其方程1.(2022·大纲全国,6)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1解析 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴a=.又e=,∴c=1.∴b2=a2-c2=2,∴椭圆的方程为+=1,故选A.答案 A2.(2022·新课标全国Ⅰ,10)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,∴①-②,得+=0,即=-,∵AB的中点为(1,-1),11\n∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB==,∴=.又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为+=1,故选D.答案 D3.(2022·大纲全国,3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 ∵2c=4,∴c=2.又∵=4,∴a2=8,b2=a2-c2=4.∴椭圆方程为+=1,故选C.答案 C4.(2022·山东,10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x,与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2,2),所以有+=1,又因为e==,a2=b2+c2,联立解方程组得a2=20,b2=5,故选D.答案 D5.(2022·辽宁,15)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.解析 设MN交椭圆于点P,连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点),利用中位线定理可得|AN|+|BN|=2|F1P|+2|F2P|=2×2a=4a=12.11\n答案 126.(2022·安徽,14)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.解析 设点A在点B上方,F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|,可得=3,故即代入椭圆方程可得+b2=1,得b2=,故椭圆方程为x2+=1.答案 x2+=17.(2022·四川,15)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是________.解析 设椭圆的右焦点为F1,则|AF|=2a-|AF1|=4-|AF1|,∴△AFB的周长为2|AF|+2|AH|=2(4-|AF1|+|AH|).∵△AF1H为直角三角形,∴|AF1|>|AH|,仅当F1与H重合时,|AF1|=|AH|,∴当m=1时,△AFB的周长最大,此时S△FAB=×2×|AB|=3.答案 38.(2022·重庆,21)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此2c=|F1F2|===2,即c=,即c=,从而b==1.11\n故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)法一 如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则+=1,x+y=c2,求得x0=±,y0=±.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=+.=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e==-.法二 如图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=====-.9.(2022·福建,18)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G11\n与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.解 法一 (1)由已知得,解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).得(m2+2)y2-2my-3=0.所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+y=+y=(m2+1)y+my0+.====(1+m2)(y-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故点G在以AB为直径的圆外.法二 (1)同法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,11\n=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=++=>0,所以cos〈,〉>0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.考点二 椭圆的几何性质1.(2022·浙江,9)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )A.B.C.D.解析 椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以∠F1AF2=90°.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=2-,|AF2|=2+.所以在双曲线C2中,2c=2,2a=|AF2|-|AF1|=2,11\n故e===,故选D.答案 D2.(2022·新课标全国,4)设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A.B.C.D.解析 设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60°===,解得=,故离心率e=.答案 C3.(2022·江西,15)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.答案 4.(2022·福建,14)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,11\n则该椭圆的离心率等于________.解析 由直线y=(x+c)知其倾斜角为60°,由题意知∠MF1F2=60°,则∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.故|MF1|=c,|MF2|=c.又|MF1|+|MF2|=2a,∴(+1)c=2a,即e==-1.答案 -15.(2022·辽宁,15)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=________.解析 如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5.根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.又|OF|=c=5,故离心率e=.答案 6.(2022·新课标全国,14)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________.解析 设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为AB过F1且A、B在椭圆上,则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,∴a=4.11\n又离心率e==,∴c=2,∴b=2,∴椭圆的方程为+=1.答案 +=17.(2022·陕西,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)法一 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=,易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=,从而x1x2=8-2b2,于是|AB|=|x1-x2|==,由|AB|=,得=,解得b2=3,故椭圆E的方程为+=1.法二 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,②11\n依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x+4y=4b2,x+4y=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率kAB==,因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0,所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2,于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=3,故椭圆E的方程为+=1.8.(2022·北京,19)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解 (1)由题意得解得a2=2,故椭圆C的方程为+y2=1.设M(xM,0).因为m≠0,所以-1<n<1.直线PA的方程为y-1=x.所以xM=,即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).11\n设N(xN,0),则xN=.“存在点Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ”,等价于“存在点Q(0,yQ)使得=”,即yQ满足y=|xM||xN|.因为xM=,xN=,+n2=1.所以y=|xM||xN|==2.所以yQ=或yQ=-.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,点Q的坐标为(0,)或(0,-).11
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高考 - 历年真题
发布时间:2022-08-25 23:59:08
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