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五年高考真题2022届高考数学复习第九章第四节双曲线理全国通用

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第四节双曲线考点一双曲线的定义及标准方程22xy1.(2022·福建,3)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E916上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3解析由双曲线定义||PF2|-|PF1||=2a,∵|PF1|=3,∴P在左支上,∵a=3,∴|PF2|-|PF1|=6,∴|PF2|=9,故选B.答案B2.(2022·安徽,4)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()222yx2A.x-=1B.-y=14422y22xC.-x=1D.y-=144解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D项双曲线焦点均在1y轴上,但D项渐近线为y=±x,只有C符合,故选C.2答案C22xy53.(2022·广东,7)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则22ab4双曲线C的方程为()2222xyxyA.-=1B.-=1431692222xyxyC.-=1D.-=191634c52解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e==,所以c=5,a=4,ba42222xy=c-a=9,所以所求双曲线方程为-=1,故选B.169答案B22xy4.(2022·天津,5)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+22ab10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()2222xyxyA.-=1B.-=15202051\n22223x3y3x3yC.-=1D.-=12510010025bb解析由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y=x与直线y=2x+10平行,所以=2aa2222222xy且左焦点为(-5,0),所以a+b=c=25,解得a=5,b=20,故双曲线方程为-=5201.选A.答案A35.(2022·广东,7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C2的方程是()2222xyxyA.-=1B.-=145452222xyxyC.-=1D.-=12525解析由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.3c3由离心率e=,知=,则a=2,2a2222故b=c-a=9-4=5,22xy所以双曲线C的方程为-=1.45答案B考点二双曲线的几何性质22y1.(2022·四川,5)过双曲线x-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条3渐近线于A,B两点,则|AB|=()43A.B.23C.6D.43322y解析焦点F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为x-=0,将x=232代入渐近线方程得y=12,y=±23,∴|AB|=23-(-23)=43.选D.答案D2.(2022·新课标全国Ⅱ,11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.222xy解析如图,设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),则|AB|22ab=2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作2\nMN⊥x轴于点N(x1,0),∵△ABM为等腰三角形,且∠ABM=120°,∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN=2asin60°=3a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos2222xy22ca+b60°=2a.将点M(x1,y1)的坐标代入-=1,可得a=b,∴e===2,选222abaaD.答案D2x23.(2022·新课标全国Ⅰ,5)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y=1上的一点,F1,F2是C的2→→两个焦点,若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()3333-,-,A.33B.6622222323-,-,C.33D.332x22-y=1,x2222解析由题意知M在双曲线C:-y=1上,又在x+y=3内部,由得y=222x+y=3,333±,所以-<y0<.333答案A2222xyxy4.(2022·广东,4)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的()259-k25-k9A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等解析由0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上,由25+9-k=25-k+9,得两双曲线的焦距相等,选D.答案D225.(2022·新课标全国Ⅰ,4)已知F为双曲线C:x-my=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m22xy解析∵双曲线的方程为-=1,焦点F到一条渐近线的距离为3.3m3答案A22xy6.(2022·重庆,8)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存22ab9在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()43\n459A.B.C.D.33342解析由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)22222-(|PF1|-|PF2|)=9b-4a,即4|PF1|·|PF2|=9b-4a,又4|PF1|·|PF2|=9ab,因此b23b3bb1229b+1-4b4=-舍去9b-4a=9ab,即9a--4=0,则aa=0,解得=a3,则aa3b25双曲线的离心率e=1+a=.3答案B2222xyxy7.(2022·山东,10)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,2222abab3C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()2A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=022222222a-ba+ba-ba+b解析椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以·=aaaa34434441,所以a-b=a,即a=4b,所以a=2b,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±x,242即x±2y=0.答案A8.(2022·大纲全国,9)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()1122A.B.C.D.4343解析由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|=2|AF2|,∴|AF1|=4a,|AF2|=2a.∵ec==2,∴c=2a,∴|F1F2|=4a.a222|AF2|+|F1F2|-|AF1|∴cos∠AF2F1=2|AF2|·|F1F2|222(2a)+(4a)-(4a)1==,故选A.2×2a×4a4答案A222y9.(2022·四川,6)抛物线y=4x的焦点到双曲线x-=1的渐近线的距离是()313A.B.C.1D.3224\n解析由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±3x,即±3x-y=0,|±3-0|3由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.22答案B222πxyy10.(2022·湖北,5)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-2224cosθsinθsinθ2x=1的()22sinθtanθA.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等22xy22222解析对于双曲线C1:-=1,a1=cosθ,b1=sinθ,c1=1;22cosθsinθ22yx22222对于双曲线C2:-=1,a2=sinθ,b2=sinθtanθ,222sinθsinθtanθ222222222sinθsinθc2=sinθ+sinθtanθ=sinθ(1+tanθ)=sinθ(1+)=22cosθcosθ2=tanθ.π∵只有当θ=kπ+(k∈Z)时,4222222a1=a2或b1=b2或c1=c2,π而0<θ<,∴排除A,B,C.42212tanθ1设双曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2,则e1=2,e2=2=2.cosθsinθcosθ故e1=e2,即两双曲线的离心率相等.答案D2x211.(2022·浙江,9)双曲线-y=1的焦距是______,渐近线方程是______.22222解析由双曲线方程得a=2,b=1,∴c=3,∴焦距为23,渐近线方程为y=±x.22答案23y=±x22x212.(2022·北京,10)已知双曲线-y=1(a>0)的一条渐近线为3x+y=0,则a=2a________.b解析双曲线渐近线方程为y=±x,a5\nb3∴=3,又b=1,∴a=.a33答案322xy13.(2022·湖南,13)设F是双曲线C:-=1的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF22ab的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为________.222xyc解析不妨设F(c,0),则由条件知P(-c,±2b),代入-=1得=5,∴e=5.222aba答案52214.(2022·江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x-y=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________.22解析双曲线x-y=1的渐近线为x±y=0,直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行,|1-0|2故两平行线的距离d==.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,得221+1222c≤,故c的最大值为.222答案222xy15.(2022·浙江,16)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近22ab线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.ambmb,解析联立直线方程与双曲线渐近线方程y=±x可解得交点为3b-a3b-a,a-ambm,13b+a3b+a,而kAB=,由|PA|=|PB|,可得AB的中点与点P连线的斜率为-3,即3bmbm+3b-a3b+a-02=-3,am-am+3b-a3b+a-m2225化简得4b=a,所以e=.25答案222xy16.(2022·江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为5,则2mm+4m的值为________.6\n22xy解析由双曲线标准方程-=1知2mm+4222a=m>0,b=m+4,2222∴c=a+b=m+m+4,2c由e=5,得=5,2a2m+m+4∴m>0且=5,m∴m=2.答案22x217.(2022·江西,20)如图,已知双曲线C:-y=1(a>0)的右焦点2a为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;x0x(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x2a3=相交于点N.2|MF|证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.|NF|2(1)解设F(c,0),因为b=1,所以c=a+1,1直线OB的方程为y=-x,a1直线BF的方程为y=(x-c),acc,-解得B22a.1又直线OA的方程为y=x,则acc-c-2ac,a3Aa,kAB==.cac-21-232x2又因为AB⊥OB,所以·a=-1,解得a=3,故双曲线C的方程为-y=1.a3x0xx0x-3(2)证明由(1)知a=3,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.33y07\n2x0-32,因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M3y0;33x0-3,232直线l与直线x=的交点为N3y0.22(2x0-3)22(3y0)|MF|则=32|NF|x0-3212+24(3y0)2(2x0-3)=29y092+(x0-2)4424(2x0-3)=·,2233y0+3(x0-2)2x02因为P(x0,y0)是C上一点,则-y0=1,代入上式得322|MF|4(2x0-3)=·222|NF|3x0-3+3(x0-2)24(2x0-3)4=·=,234x0-12x0+93|MF|223所求定值为==.|NF|3322xy18.(2022·大纲全国,21)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,22ab离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为6.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22ca+b(1)解由题设知=3,即=9,2aa22故b=8a.222所以C的方程为8x-y=8a.将y=2代入上式,21求得x=±a+.2212由题设知,2a+=6,解得a=1.2所以a=1,b=22.8\n22(2)证明由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x-y=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|<22,2222代入①并化简得(k-8)x-6kx+9k+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则26kx1≤-1,x2≥1,x1+x2=,2k-829k+8x1·x2=.2k-822于是|AF1|=(x1+3)+y122=(x1+3)+8x1-8=-(3x1+1),22|BF1|=(x2+3)+y222=(x2+3)+8x2-8=3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,2即x1+x2=-.326k2故=-,2k-8324解得k=,519从而x1·x2=-.922由于|AF2|=(x1-3)+y122=(x1-3)+8x1-8=1-3x1,22|BF2|=(x2-3)+y222=(x2-3)+8x2-8=3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.2因而|AF2|·|BF2|=|AB|,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.9

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发布时间:2022-08-25 23:59:07 页数:9
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文章作者:U-336598

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