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三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第四节双曲线理全国通用
三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第四节双曲线理全国通用
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A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·山东青岛模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析 由题意知:=,c=5,所以a2=20,b2=5,则双曲线的方程为-=1,故选A.答案 A2.(2022·河南开封模拟)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C1、C2的离心率分别为( )A.,3B.,C.,2D.,2解析 由题意知,·=,所以a2=2b2,则C1、C2的离心率分别为e1=,e2=,故选B.答案 B3.(2022·洛阳模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.解析 令c=,则c为双曲线的半焦距长.据题意,F1F2是圆的直径,∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2.∴(2c)2=(3|PF2|)2+|PF2|2,即2c=|PF2|.根据双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=2a,6\n∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|-|PF2|=2|PF2|=2a.∴e==,∴双曲线的离心率为.答案 D二、填空题4.(2022·青岛一模)已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(,0),则其离心率为________.解析 由已知,得a=1,c=,∴e==.答案 5.(2022·广州一模)已知双曲线-=1的右焦点为(,0),则该双曲线的渐近线方程为______________.解析 由题意得c=,所以9+a=c2=13,所以a=4.即双曲线方程为-=1,所以双曲线的渐近线为2x±3y=0.答案 2x±3y=0一年创新演练6.双曲线-=1(a>0,b>0)一条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则的最小值为________.解析 由题意可得,k==tan=,∴b=a,则a2=,∴e==2.∴==+≥2=.当且仅当=,即b=时取等号.答案 7.已知双曲线C的中心在原点,且左、右焦点分别为F1、F2,以F1F2为底边作正三角形,若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点,则双曲线C6\n的离心率为________.解析 设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M,连接MF1,则在Rt△MF1F2中,有|F1F2|=2c,|MF1|=c,|MF2|=c,由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a,即c-c=2a,所以双曲线C的离心率e===+1.答案 +1B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8.(2022·青岛一中月考)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则( )A.a2=B.a2=13C.b2=D.b2=2解析 由题意知,a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆的弦长d=×2=a,解得a2=,b2=.答案 C二、填空题9.(2022·武汉诊断)已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n=________.解析 因为双曲线的焦点(0,2),所以焦点在y轴,所以双曲线的方程为-=1,即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1,所以椭圆方程为+x2=1,且n>0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5或-3(舍去).答案 510.(2022·南京调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为2,6\n则双曲线C的焦点坐标是________.解析 ∵2a=2,∴a=1.又=2,∴c=2,∴双曲线C的焦点坐标是(±2,0).答案 (±2,0)11.(2022·平顶山模拟)已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标是(-3,0),且焦距与实轴长之比为5∶3,则双曲线的标准方程是________.解析 可求得a=3,c=5.焦点的位置在x轴上,所得的方程为-=1.答案 -=112.(2022·衡水模拟)设点F1、F2是双曲线x2-=1的两个焦点,点P是双曲线上一点,若3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积为________.解析 据题意,|PF1|=|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6.又|F1F2|=4,在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2==.所以sin∠F1PF2==,所以S△PF1F2=×6×8×=3.答案 3一年创新演练13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,右焦点F到其渐近线的距离为,抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点F重合.过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,正三角形ABC的顶点C在直线x=-1上,则△ABC的边长是( )A.8B.10C.12D.146\n解析 依题知双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为F(1,0),所以抛物线的方程为y2=4x,设AB的中点为M,过A、B、M分别作AA1、BB1、MN垂直于直线x=-1于A1、B1、N,设∠AFx=θ,由抛物线定义知:|MN|=(|AA1|+|BB1|)=|AB|,∵|MC|=|AB|,∴|MN|=|MC|,∵∠CMN=90-θ,∴cos∠CMN=cos(90°-θ)==,即sinθ=,又由抛物线定义知|AF|=,|BF|=,∴|AB|==12.答案 C14.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证:·=0;(3)求△F1MF2的面积.(1)解 ∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明 由(1)可知,在双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴kMF1=,kMF2=,6\n又∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.∴kMF1·kMF2=×=-=-1.∴MF1⊥MF2.∴·=0.(3)解 由(2)知MF1⊥MF2,∴△MF1F2为直角三角形.又F1(-2,0),F2(2,0),m=±,M(3,)或(3,-),由两点间距离公式得|MF1|==,|MF2|==,S△F1MF2=|MF1||MF2|=×·=×12=6.即△F1MF2的面积为6.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:01:42
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