三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质理全国通用

A组　专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·安庆二模)在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合的是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.－＝1D.－＝1解析　抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，右焦点与其重合的为D项．答案　D2．(2022·杭州模拟)若点A的坐标是(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是(　　)A．(1，2)B．(2，1)C．(2，2)D．(0，1)解析　易知点A(3，2)在抛物线y2＝2x的内部，由抛物线定义可知|PF|与P到准线x＝－的距离相等，则|PA|＋|PF|最小时，P点应为过A作准线的垂线与抛物线的交点，故P的纵坐标为2，横坐标为2，故选C.答案　C3．(2022·滨州模拟)若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有(　　)A．0个B．1个C．2个D．4个解析　由题意得F(2，0)，l：x＝－2，线段MF的垂直平分线方程为y－＝－，则x＋3y－7＝0，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，由题意得|a－(－2)|＝，即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0.又b>0，故此方程只有一个根，5\n于是满足题意的圆只有一个．答案　B二、填空题4．(2022·郑州模拟)与抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是________．解析　y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线为x2＝y，∴2p＝，p＝，∴焦点为.答案　5．(2022·黄冈模拟)过点M(2，4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有________条．解析　容易发现点M(2，4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，l与抛物线有一个公共点，或者l在M点上与抛物线相切．答案　2一年创新演练6．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．解析　由题意得F(1，0)，直线AB的方程y＝x－1.由得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴|AB|＝·＝8.设P，则点P到直线AB的距离为，∴△PAB的面积S＝·d·|AB|＝×8×＝≥2，(y0≥0)即△PAB的面积的最小值是2.答案　25\n7．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0)的左焦点与抛物线y2＝mx的焦点重合，则实数m＝________．解析　由题意可得＝＝，∴a＝，∴c＝3，所以双曲线的左焦点为(－3，0)，再根据抛物线的概念可知＝－3，∴m＝－12.答案　－12B组　专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·南京模拟)已知M是y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　)A．2B．4C．8D．10解析　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，圆心到y＝－1的距离d＝5，(|MA|＋|MF|)min＝5－r＝5－1＝4.答案　B9．(2022·河南联考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(　　)A．(0，±2)B．(0，2)C．(0，±4)D．(0，4)解析　在△AOF中，点B为边AF的中点，故点B的横坐标为，因此＝＋，解得p＝，故抛物线方程为y2＝2x，可得点B坐标为(，±1)，故点A的坐标为(0，±2)．答案　A二、填空题10．(2022·郑州二模)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF5\n|＝________.解析　抛物线的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以tan120°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案　411．(2022·海南海口3月)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．解析　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2，0)．由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)．又点A(8，8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.∴直线l的方程为y＝(x－2)．①将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则xA＋xB＝，∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.答案　12．(2022·盐城模拟)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B为该抛物线上两点，若＋2＝0，则||＋2||＝________.解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦点弦性质，y1y2＝－p2(*)，由题意知＋2＝0，得(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0，0)，∴y1＋2y2＝0，代入(*)式得－＝－p2，∴y＝2p2，∴x1＝＝2，∴||＝x1＋＝3，又||＝2||，∴2||＝3，∴||＋2||＝6.5\n答案　6一年创新演练13．已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以B(a＋4，0)为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点．(1)求a的取值范围；(2)求|AM|＋|AN|的值．解　(1)由题意知抛物线的焦点坐标为A(a，0)，则|AB|＝4，圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax(a>0)代入上式，得x2＋2(a－4)x＋8a＋a2＝0，∴Δ＝4(a－4)2－4(8a＋a2)>0，解得0<a<1，即a∈(0，1)．(2)∵A为焦点，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据(1)中的x2＋2(a－4)x＋8a＋a2＝0，得x1＋x2＝8－2a，∴|AM|＋|AN|＝(x1＋a)＋(x2＋a)＝x1＋x2＋2a＝8－2a＋2a＝8.5