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三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文全国通用
三年模拟一年创新2022届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文全国通用
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【大高考】(三年模拟一年创新)2022届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文(全国通用)A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·巴蜀中学一模)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,抛物线y2=2px(p>0)与双曲线C的渐近线交于A,B两点,△OAB(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=4x解析 ∵==,∴a=b,故双曲线的渐近线为y=±x,因此可设A的坐标为(x0,x0),则B的坐标为(x0,-x0),S△AOB=x0·2x0=x=4,则x0=2或x0=-2(舍),将(2,2)代入y2=2px,p=1,故抛物线的方程为y2=2x.答案 C2.(2022·吉林市摸底)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )A.2B.2C.4D.4解析 根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),即点(-2,-1)在抛物线的准线上,又由抛物线y2=2px的准线方程为x=-,则p=4,则抛物线的焦点为(2,0);则双曲线的左顶点为(-2,0),即a=2;点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为y=±x,由双曲线的性质,可得b=1;则c=,则焦距为2c=2.答案 B3.(2022·陕西高三质检一)已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是( )5\nA.B.3C.D.2解析 抛物线的准线方程为x=-,由图知,当MQ∥x轴时,|MQ|-|QF|取得最小值,此时|QM|-|QF|=|2+3|-|2+|=,选C.答案 C二、填空题4.(2022·河南十所名校第三次联考)圆x2+y2-2x+my-2=0关于抛物线x2=4y的准线对称,则m=________.解析 易知圆心坐标为,抛物线的准线方程为y=-1,依题意有-=-1,所以m=2.答案 2一年创新演练5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P、Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )A.2±B.2+C.±1D.-1解析 F,设P,Q(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以y=y,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=+=2,解得p=2±.答案 A6.给出下列四个命题:①若直线l过抛物线y=2x2的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则|AB|的最小值为1;②双曲线C:-=-1的离心率为;③若⊙C1:x2+y2+2x=0,⊙C2:x2+y2+2y-1=0,则这两个圆恰有2条公切线;5\n④若直线l1:a2x-y+6=0与直线l2:4x-(a-3)y+9=0互相垂直,则a=-1.其中正确命题的序号是________.解析 ①不正确,直线l过抛物线y=2x2(x2=y)的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则|AB|的最小值为2p=;②正确,a=3,c=5,e==;③正确,由于⊙C1:x2+y2+2x=0,⊙C2:x2+y2+2y-1=0相交,所以公切线有两条;④不正确,若直线l1:a2x-y+6=0与直线l2:4x-(a-3)y+9=0互相垂直,则4a2+a-3=0,解得a=-1或.答案 ②③B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·忻州四校一联)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,M为抛物线C上一点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且外接圆的面积为9π,则p=( )A.2B.4C.6D.8解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,∵圆的面积为9π,∴圆的半径为3,又∵圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,∴+=3,∴p=4.答案 B8.(2022·北京西城区检测)设抛物线W:y2=4x的焦点为F,过F的直线与W相交于A,B两点,记点F到直线l:x=-1的距离为d,则有( )A.|AB|≥2dB.|AB|=2dC.|AB|≤2dD.|AB|<2d解析 设A,B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2;d=2.当直线AB的斜率不存在时,|AB|=4=2d,当直线AB的斜率存在时,AB的直线方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x,整理得:k2x25\n-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2==2+>2,|AB|>4=2d,综上,|AB|≥2d.答案 A二、解答题9.(2022·山西忻州一中期中)如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(1,0),过F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线m:x=-2相交于M,N两点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:△ABO与△MNO的面积之比为定值.(1)解 由焦点坐标为(1,0)可知=1,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明 当直线AB垂直于x轴时,△ABO与△MNO相似,所以==;当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),设M(-2,yM),N(-2,yN),A(x1,y1),B(x2,y2),由消y并整理得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1·x2=1.所以==·=·=,综上,=,即△ABO与△MNO的面积之比为定值.一年创新演练10.已知A,B为抛物线C:y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若=-4,则直线AB的斜率为( )A.±B.±C.±D.±5\n解析 ∵=-4,∴||=4||,设|BF|=t,则|AF|=4t,如图所示,点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1,过A作BB1的垂线,交线段B1B的延长线于点M,则|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t,又|AB|=|AF|+|BF|=5t,∴|AM|==4t,∴tan∠ABM=.由对称性可知,这样的直线AB有两条,其斜率为±.答案 D11.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则正实数a的值为________.解析 由抛物线的定义知1+=5,∴p=8,故m=4,又左顶点A为(-a,0),M(1,4),因此直线AM的斜率为k==,解得a=.答案 5
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:01:44
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文章作者:U-336598
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