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五年高考2022届高考数学复习第九章第三节椭圆及其性质文全国通用
五年高考2022届高考数学复习第九章第三节椭圆及其性质文全国通用
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考点一 椭圆的定义及其标准方程1.(2022·广东,8)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )A.2B.3C.4D.9解析 由题意知25-m2=16,解得m2=9,又m>0,所以m=3.答案 B2.(2022·福建,11)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.解析 左焦点F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.设M(0,b),则≥,∴1≤b<2.离心率e====∈,故选A.答案 A3.(2022·大纲全国,9)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1解析 由已知e==,又△AF1B的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+(|AF2|+|BF2|)+|BF1|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF2|+|BF1|)=2a+2a=4,解得a=,故c=1,b==,12\n故所求的椭圆方程为+=1,故选A.答案 A4.(2022·广东,9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 由题意,得c=1,e===,所以a=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1.答案 D5.(2022·福建,11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )A.或B.或2C.或2D.或解析 依题意,设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t(t>0).若曲线是椭圆,则2a=|PF1|+|PF2|=6t,此时离心率e==;若曲线是双曲线,则2a=|PF1|-|PF2|=2t,此时离心率e==,故选A.答案 A6.(2022·新课标全国Ⅱ,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解 (1)由题意得=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.12\n(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM==,yM=k·xM+b=.于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.7.(2022·四川,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.解 (1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).12\n所以解得m=±1.此时,四边形OPTQ的面积SOPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|=2=2.8.(2022·安徽,21)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得,|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k).化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.9.(2022·新课标全国Ⅰ,21)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.12\n解 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2,若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.10.(2022·湖南,21)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.解 (1)由x2+y2-4x+2=0得(x-2)2+y2=2,故圆C的圆心为点(2,0).12\n从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c.由题设知c=2,e==.所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得=,即[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k1+y-2=0.同理可得[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k2+y-2=0.从而k1,k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y-2=0的两个实根,于是①且k1k2==.由得5x-8x0-36=0,解得x0=-2或x0=.由x0=-2得y0=±3;由x0=得y0=±,它们均满足①式.故点P的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或或.考点二 椭圆的性质1.(2022·四川,9)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A.B.C.D.解析 由题意可得P(-c,),A(a,0),B(0,b)由AB∥OP,得-=-,化简,得b=12\nc,所以离心率e==.答案 C2.(2022·新课标全国Ⅱ,5)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )A.B.C.D.解析 如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c.设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由tan30°===,得x=c.而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x,∴a=x=c,∴e===.答案 D3.(2022·辽宁,11)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( )A.B.C.D.解析 设椭圆的右焦点为F1,由余弦定理,得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|·cos∠ABF=36,则有|AF|=6,故∠AFB=90°,由椭圆的对称性知四边形FAF1B为矩形,则有|BF|+|BF1|=8+6=14=2a,即a=7,|FF1|=|AB|=10=2c,即c=5,则C的离心率为e==.答案 B4.(2022·江西,8)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.-212\n解析 因为A(-a,0),B(a,0),F1(-c,0),F2(c,0),所以由|F1F2|2=|AF1||F1B|,得4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2,所以a2=5c2,e==.故选B.答案 B5.(2022·浙江,15)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.解析 设Q(x0,y0),则FQ的中点坐标,kFQ=,依题意解得又因为(x0,y0)在椭圆上,所以+=1,令e=,则4e6+e2=1,∴离心率e=.答案 6.(2022·江西,14)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于.解析 由题意知F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,因为过F2且与x轴垂直的直线为x=c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A,B.因为AB平行于y轴,且|F1O|=|OF2|,所以|F1D|=|DB|,即D为线段F1B的中点,所以点D的坐标为,又AD⊥F1B,所以kAD·kF1B=-1,即×=-1,整理得b2=2ac,所以(a2-c2)=2ac,又e=,0<e<1,所以e2+2e-=0,解得e=(e=-舍去).答案 7.(2022·福建,15)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为12\n2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.解析 由于直线y=(x+c)经过焦点F1,且其斜倾角α=60°,则∠MF1F2=60°(∠MF1F2=120°时,结合对应角度关系式,不合题意).又∠MF1F2=2∠MF2F1,即∠MF2F1=30°,即MF1⊥MF2,则|MF1|=c.由椭圆的定义知|MF2|=2a-c,则有c2+(2a-c)2=4c2,整理有c2+2ac-2a2=0,两边都除以a2,整理有e2+2e-2=0,解得e=-1(负值不合条件,舍去).答案 -18.(2022·四川,15)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.解析 当△FAB的周长取最大值时,AB过椭圆的右焦点,于是有4a=12,a=3,从而c2=a2-5=4,c=2,所以e=.答案 9.(2022·安徽,20)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.(1)解 由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.进而a=b,c==2b,故e==.(2)证明 由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=,又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).12\n由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.10.(2022·陕西,20)如图,椭圆E:+=1(a>b>0),经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解 由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)证明 由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.11.(2022·重庆,21)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围.解 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此2c=|F1F2|==12\n=2,即c=,从而b==1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得|QF1|==|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a,于是(1+λ+)|PF1|=4a,解得|PF1|=,故|PF2|=2a-|PF1|=.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而+=4c2,两边除以4a2,得+=e2.若记t=1+λ+,则上式变成e2==8+.由≤λ<,并注意到1+λ+关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而<e2≤,即<e≤.12.(2022·新课标全国Ⅱ,20)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.12\n(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解 (1)根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.12
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