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五年高考2022届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文全国通用
五年高考2022届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文全国通用
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考点一 抛物线的定义及其标准方程1.(2022·陕西,3)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)解析 由于抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由题意得-=-1,p=2,焦点坐标为,故选B.答案 B2.(2022·新课标全国Ⅰ,10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.8解析 由题意知抛物线的准线为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1,故选A.答案 A3.(2022·四川,5)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是( )A.2B.2C.D.1解析 抛物线y2=8x的焦点(2,0)到直线x-y=0的距离是1.答案 D4.(2022·新课标全国Ⅰ,8)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2B.2C.2D.4解析 利用|PF|=xP+=4,可得xP=3.∴yP=±2.∴S△POF=|OF|·|yP|=2.故选C.答案 C5.(2022·上海,4)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为________.12\n解析 ∵c2=9-5=4,∴c=2.∴椭圆+=1的右焦点为(2,0),∴=2,即抛物线的准线方程为x=-2.答案 x=-26.(2022·湖南,14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是________.解析 设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线上,该抛物线的标准方程为y2=4x.过点P(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1).由得ky2-4y+4k=0.当k=0时,显然不符合题意;当k≠0时,依题意得Δ=(-4)2-4k·4k<0,化简得k2-1>0,解得k>1或k<-1,因此k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)7.(2022·北京,9)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=________;准线方程为____________.解析 根据抛物线定义=1,∴p=2,又准线方程为x=-=-1,故填2,x=-1.答案 2 x=-18.(2022·陕西,14)右图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.解析 建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±,所以水面宽2米.12\n答案 29.(2022·安徽,14)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=________.解析 设直线AB的倾斜角为θ,则由|AF|=3,p=2,得cosθ=,∴|BF|=.答案 10.(2022·浙江,19)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t,因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知,|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0,12\n点B到直线PA的距离是d=,设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.11.(2022·福建,21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解 法一 (1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等.所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=x,由y′=x,得切线l的斜率k=y′|x=x0=x0,所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.由得A.12\n由得M.又N(0,3),所以圆心C.半径r=|MN|=|x0+|,|AB|===.所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.法二 (1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|-=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以=y+1,化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.(2)同法一.12.(2022·广东,20)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解 (1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy(c>0),则d==,解得c=1(负根舍去).∴抛物线C的方程为x2=4y.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由x2=4y,即y=x2,得y′=x.12\n∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x+y1-x.∵y1=x,∴y=x-y1.∵点P(x0,y0)在切线PA上,∴y0=x0-y1.①同理,y0=x0-y2.②综合①②,得点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程y0=x0-y.∵经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的,∴直线AB的方程为y0=x0-y,即x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线的定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1+y2+y1y2+1.联立消去x,得y2+(2y0-x)y+y=0,∴y1+y2=x-2y0,y1y2=y.∵x0-y0-2=0,∴|AF|·|BF|=y-2y0+x+1=y-2y0+(y0+2)2+1=2y+2y0+5=2+.∴当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值为.考点二 抛物线的性质1.(2022·新课标全国Ⅰ,5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.12解析 因为e==,y2=8x的焦点为(2,0),所以c=2,a=4,故椭圆方程为+=1,将x=-2代入椭圆方程,解得y=±3,所以|AB|=6.12\n答案 B2.(2022·新课标全国Ⅱ,10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )A.B.6C.12D.7解析 抛物线C:y2=3x的焦点为F,所以AB所在的直线方程为y=,将y=代入y2=3x,消去y整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+=12,故选C.答案 C3.(2022·安徽,3)抛物线y=x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2解析 由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.答案 A4.(2022·四川,10)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.解析 如图,可设A(m2,m),B(n2,n),其中m>0,n<0,则=(m2,m),=(n2,n),·=m2n2+mn=2,解得mn=1(舍)或mn=-2.∴lAB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2),即(m+n)(y-n)=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C(2,0).S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×m+×2×(-n)=m-n,S△AOF=××m=m,则SAOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3,当且仅当m=,即m=时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.12\n答案 B5.(2022·辽宁,8)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )A.-B.-1C.-D.-解析 由点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,得焦点F(2,0),∴kAF==-,故选C.答案 C6.(2022·四川,9)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )A.2B.2C.4D.2解析 由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y0)在此抛物线上,所以y=8,于是|OM|==2.故选B.答案 B7.(2022·新课标全国,9)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.48解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0),则点F(,0),令x=,则y=±6,即36=p2,得p=6,∴y2=12x,∴点P到直线AB的距离为p=6,∴S△ABP=|AB|·p=×12×6=36.答案 C8.(2022·山东,9)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析 根据抛物线的定义可知|FM|=y0+2,又由圆与准线相交可得y0+2>4,即y0>2,故选C.12\n答案 C9.(2022·福建,19)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以kGA==,kGB==-.所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二 (1)同法一.(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).12\n由得2x2-5x+2=0.解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0.从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0.所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.10.(2022·浙江,22)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若||=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.解 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0.于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以12\n由x=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又因为|AB|=4,点F(0,1)到直线AB的距离为d=.所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f′(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f.所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.11.(2022·福建,20)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.解 (1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=,所以|MN|=2=2=2.12\n(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+y,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=±,此时Δ>0.所以圆心C的坐标为或.从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.12
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高考 - 二轮专题
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