五年高考真题2022届高考数学复习第四章第三节y＝Asinωx＋φ的图象和性质及其综合应用理全国通用

考点一　求三角函数的解析式1．(2022·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5B．6C．8D．10解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.答案　C2．(2022·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析　由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D正确．答案　D3．(2022·湖南，17)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解　f(x)＝sin＋cos＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝得sinα＝.7\n又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．4．(2022·四川，18)函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．解　(1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋sinωx＝2sin.又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4.所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x0)＝，由(1)有f(x0)＝2sin＝，即sin＝.由x0∈，知＋∈，7\n所以cos＝＝.故f(x0＋1)＝2sin＝2sin＝2＝2＝.5．(2022·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：ωx＋φ0π2πxπAsin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin.(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.7\n令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.6．(2022·福建，16)已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．解　(1)由q＝3，S3＝，得＝，解得a1＝.所以an＝×3n－1＝3n－2.(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3.因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin＝1.又0＜φ＜π，故φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.考点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用1．(2022·安徽，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)A．f(2)<f(－2)<f(0)B．f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2)D．f(2)<f(0)<f(－2)解析　由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－，∴φ＝2kπ－，又φ>0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin.于是f(0)＝A，f(2)＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin，又∵－<－4<<4－<，7\n其中f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin.又f(x)在单调递增，∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.答案　A2．(2022·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________．解析　因为圆心由(0，1)平移到了(2，1)，所以在此过程中P点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P点作x轴的垂线，垂足为A，圆心为C，与x轴相切于点B，过C作PA的垂线，垂足为D，则∠PCD＝2－，|PD|＝sin＝－cos2，|CD|＝cos＝sin2，所以P点坐标为(2－sin2，1－cos2)，即的坐标为(2－sin2，1－cos2)．答案　(2－sin2，1－cos2)3．(2022·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？7\n解　(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin>11，即sin<－.又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温．4．(2022·天津，15)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解　(1)由已知，有f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.7\n所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.5．(2022·安徽，16)设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．解　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋＝－sin2x，故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，故①当x∈时，x＋∈.由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x.②当x∈时，x＋π∈.从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x.综合①，②得g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝7