【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第四篇 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及应用 理 湘教版

第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性质及应用A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2022·兰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为(　　)．A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝sinD．y＝sin解析　由所给图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，则f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin，故选D.答案　D2．(2022·巫山模拟)将函数y＝sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为(　　)．A.B.C.D.解析　将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值为.答案　C3．(2022·浙江)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是8\n(　　)．解析　把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cosx＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选A.答案　A4．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是(　　)．A．函数y＝f(x)·g(x)的周期为2B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1C．将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象D．将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象解析　∵f(x)＝sin＝cosx，g(x)＝cos＝cos＝sinx，∴y＝f(x)·g(x)＝cosx·sinx＝sin2x.T＝＝π，最大值为，∴选项A，B错误．答案　D二、填空题(每小题5分，共10分)8\n5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ<的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析　因为＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.将代入解析式可得：π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝.答案　2　6．(2022·长沙调研)已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．解析　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范围是.答案　三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·陕西)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．解　(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.(2)f＝2sin＋1＝2，即sin＝，8\n∵0<α<，∴－<α－<，∴α－＝，故α＝.8．(13分)(2022·山东)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(Acosx，cos2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．解　(1)f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝A＝Asin.因为A＞0，由题意知A＝6.(2)由(1)知f(x)＝6sin.将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．因此g(x)＝6sin.因为x∈，所以4x＋∈，故g(x)在上的值域为[－3,6]．B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·潍坊期末)8\n如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)．A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析　由题意可得，函数的初相位是，排除B，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故选C.答案　C2．(2022·东莞二模)若函数f(x)＝sinωx＋acosωx(ω>0)的图象关于点M对称，且在x＝处函数有最小值，则a＋ω的一个可能的取值是(　　)．A．0B．3C．6D．9解析　因为函数f(x)＝sinωx＋acosωx(ω>0)＝·sin(ωx＋φ)的图象关于点M对称，且在x＝处函数有最小值，所以必有k，n∈Z，两式相减得：＝(k－2n)π＋，即ω＝6(k－2n)＋3＝6m＋3，k，n，m∈Z，结合四个选项，ω可能取到的值是3或9.将ω＝6m＋3，k，n，m∈Z代入f(x)＝sinωx＋acosωx(ω>0)，得y＝sin(6m＋3)x＋acos(6m＋3)x.当图象关于点M对称时，有sin＋acos＝0，即a＝0.所以函数解析式应为f(x)＝sinωx(ω>0)．回验a＋ω＝3时的函数性质与题设中在x＝处函数有最小值不符，故只有a＋ω＝9，故选D.答案　D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2022·东北四校一模)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的值为________．8\n解析　令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0时，有－≤x≤－，此时函数单调递增，若是f(x)的一个单调递增区间，则必有解得故φ＝.答案　4．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．其中正确结论的编号为________．解析　∵y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝＝2，又其图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z.由φ∈，得φ＝，∴y＝sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．∴y＝sin关于点对称．故②正确．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．∵(k∈Z)．∴④正确．8\n答案　②④三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f(x)＝2sin＋cos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解　(1)因为f(x)＝sin＋sinx＝cosx＋sinx＝2＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin[＋]＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.6．(13分)(2022·安徽)设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．解　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋8\n＝－sin2x，故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，故①当x∈时，x＋∈.由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x.②当x∈时，x＋π∈.从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x.综合①、②得g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝8