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江苏省2022高考数学总复习优编增分练:高考解答题仿真练1
江苏省2022高考数学总复习优编增分练:高考解答题仿真练1
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高考解答题仿真练11.已知向量m=(cosx,1),n=,f(x)=m·n.(1)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间;(2)在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f(B)=,sinAsinC=sin2B,求a-c的值.解 由题意得,f(x)=cosxsin+1=cosx+1=sin2x-×+1=sin2x-cos2x+=sin+.(1)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间是和.(2)由f(B)=sin+=,得sin=1.又B是△ABC的内角,∴2B-=,B=.又sinAsinC=sin2B,∴由正弦定理可得ac=b2.在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得ac=(a-c)2+2ac-ac,则a-c=0.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABP⊥平面BCP,∠APB=90°,BP=BC,M为PC的中点.求证:8\n(1)AP∥平面BDM;(2)BM⊥平面ACP.证明 (1)设AC∩BD=O,连结OM,因为ABCD是平行四边形,所以O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以AP∥平面BDM.(2)因为∠APB=90°,所以AP⊥BP.又因为平面ABP⊥平面BCP,平面ABP∩平面BCP=BP,AP⊂平面ABP,所以AP⊥平面BCP.又因为BM⊂平面BCP,所以AP⊥BM.因为BP=BC,M为PC的中点,所以BM⊥CP.又因为AP∩CP=P,AP,CP⊂平面ACP,所以BM⊥平面ACP.3.如图,半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,半径OA的长为1百米.为了保护景点,基地管理部门从道路l上选取一点C,修建参观线路C-D-E-F,且CD,DE,EF均与半圆相切,四边形CDEF是等腰梯形.设DE=t百米,记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元,经测算f(t)=(1)用t表示线段EF的长;(2)求修建该参观线路的最低费用.解 设DE与半圆相切于点Q,则由四边形CDEF是等腰梯形知,OQ⊥l,DQ=QE.8\n以O为坐标原点,OF所在直线为x轴,OQ所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(1)由题意,得点E的坐标为.设直线EF的方程为y-1=k(k<0),即kx-y+1-=0.因为直线EF与半圆相切,所以圆心O到直线EF的距离为=1,解得k=.代入y-1=k,可得点F的坐标为.所以EF==+,即EF=+(0<t<2).(2)设修建该参观线路的费用为y万元.①当0<t≤时,y=5=5,由y′=5<0,则y在上单调递减.所以当t=时,y取最小值32.5;②当<t<2时,y==12t+--,所以y′=12-+=,8\n因为<t<2,所以3t2+3t-1>0,所以当t∈时,y′<0,当t∈(1,2)时,y′>0,所以y在上单调递减;在(1,2)上单调递增.所以当t=1时,y取最小值24.5.由①②知,修建该参观线路的最低费用为24.5万元.4.(2022·江苏金陵中学调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点.设F为椭圆的右焦点,A,B为椭圆上关于原点对称的两点,连结AF,BF并延长,分别交椭圆于C,D两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,是否存在实数m,使得k2=mk1?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.解 (1)设椭圆的半焦距为c,则c=,由题意知解得所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)①当AF⊥x轴时,A,B,C,F(,0).则kBF=,直线BD的方程为y=(x-).由消去y,得13x2-2x-45=0,因为x=-是该方程的一个解,所以点D的横坐标xD=,则yD=,即D.8\n所以k2==,又k1=,所以k2=7k1,即m=7.②当AF与x轴不垂直时,设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),k1=,又F(,0),所以直线AF的方程为y=(x-).由消去y,得(7-2x0)x2-8yx-7x+8x0=0.因为x=x0是该方程的一个解,所以点C的横坐标xC=.又点C(xC,yC)在直线y=(x-)上,所以yC=(xC-)=,从而点C的坐标为,同理,点D的坐标为,所以k2===7k1,即m=7.综合①②可知,存在m=7,使得k2=7k1.8\n5.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=λ(x2-1)(λ为常数).(1)若函数y=f(x)与函数y=g(x)在x=1处有相同的切线,求实数λ的值;(2)若λ=,且x≥1,证明:f(x)≤g(x);(3)若对任意x∈[1,+∞),不等式f(x)≤g(x)恒成立,求实数λ的取值范围.(1)解 f′(x)=lnx+1,则f′(1)=1且f(1)=0,所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1,从而g′(1)=2λ=1,即λ=.(2)证明 设函数h(x)=xlnx-(x2-1),x∈[1,+∞),则h′(x)=lnx+1-x.设p(x)=lnx+1-x,从而p′(x)=-1≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,所以p(x)=lnx+1-x≤p(1)=0,即h′(x)≤0,因此函数h(x)=xlnx-(x2-1)在[1,+∞)上单调递减,即h(x)≤h(1)=0,所以当x≥1时,f(x)≤g(x)成立.(3)解 设函数H(x)=xlnx-λ(x2-1),x∈[1,+∞),从而对任意x∈[1,+∞),不等式H(x)≤0=H(1)恒成立.又H′(x)=lnx+1-2λx,当H′(x)=lnx+1-2λx≤0,即≤2λ恒成立时,函数H(x)单调递减.设r(x)=,x∈[1,+∞),则r′(x)=≤0,所以r(x)max=r(1)=1,即2λ≥1,所以λ≥,符合题意;当λ≤0时,H′(x)=lnx+1-2λx≥0恒成立,此时函数H(x)单调递增.于是,不等式H(x)≥H(1)=0对任意x∈[1,+∞)恒成立,不符合题意;当0<λ<时,设q(x)=H′(x)=lnx+1-2λx,x≥1,则由q′(x)=-2λ=0,得x=>1.8\n当x∈时,q′(x)=-2λ>0,此时q(x)=H′(x)=lnx+1-2λx单调递增,所以H′(x)=lnx+1-2λx>H′(1)=1-2λ>0,故当x∈时,函数H(x)单调递增.于是当x∈时,H(x)>0成立,不符合题意.综上所述,实数λ的取值范围为.6.(2022·苏州调研)已知等差数列{an}的前2m-1项中,奇数项的和为56,偶数项的和为48,且a2=3(其中m∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若ak1,ak2,…,akn,…是一个等比数列,其中k1=1,k2=5,求数列{kn}的通项公式;(3)若存在实数a,b,使得a≤≤b对任意n∈N*恒成立,求b-a的最小值.解 (1)由题意,·m=56,·(m-1)=48,因为a2+a2m-2=a1+a2m-1,所以=,解得m=7.所以a1+a13=16,因为a1+a13=a2+a12,且a2=3,所以a12=13.设数列{an}的公差为d,则10d=a12-a2=10,所以d=1.所以a1=2,通项公式an=n+1(n∈N*).(2)由题意,ak1=a1=2,ak2=a5=6,设这个等比数列的公比为q,则q==3.那么akn=2×3n-1,另一方面akn=kn+1,所以kn=2×3n-1-1(n∈N*).(3)记cn==,8\n则cn+1-cn=-=.因为n∈N*,所以当n≥2时,-2n2+2n+3=-2n(n-1)+3<0,即cn+1<cn,又c2-c1=>0,所以当n=2时,cn取最大值c2=,所以b≥.又c1=0,当n>1时,cn>0,所以当n=1时,cn取最小值c1=0,所以a≤0.综上,b-a的最小值为.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:22:04
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