江苏省2022高考数学总复习优编增分练：高考解答题仿真练2

高考解答题仿真练21．已知函数f(x)＝(1＋tanx)cos2x.(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．解　(1)函数f(x)的定义域为，因为f(x)＝(1＋tanx)cos2x＝cos2x＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由x∈，得<2x＋<，所以－<sin≤1，所以当x∈时，f(x)∈，即函数f(x)在区间上的值域为.8\n2．(2022·泰州期末)如图，在三棱锥A－BCD中，E是底面正△BCD边CD的中点，M，N分别为AB，AE的中点．(1)求证：MN∥平面BCD；(2)若AE⊥平面BCD，求证：BE⊥平面ACD.证明　(1)在△ABE中，M，N分别为AB，AE的中点，所以MN∥BE，又BE⊂平面BCD，MN⊄平面BCD，所以MN∥平面BCD.(2)因为AE⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，所以AE⊥BE.又E是底面正△BCD的边CD的中点，所以BE⊥CD.又AE∩CD＝E，AE，CD⊂平面ACD，所以BE⊥平面ACD.3.一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得其用最短时间在领海内拦截成功；(2)问：无论走私船沿任何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解　(1)设缉私艇在C处与走私船相遇，如图所示，依题意，AC＝3BC.8\n在△ABC中，由正弦定理，得sin∠BAC＝·sin∠ABC＝＝.因为sin17°≈，所以∠BAC＝17°.从而缉私艇应向北偏东47°方向追击．在△ABC中，由余弦定理，得cos120°＝，解得BC＝≈1.68615.又B到边界线l的距离为3.8－4sin30°＝1.8.因为1.68615<1.8，所以能在领海上成功拦截走私船.(2)如图所示，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xAy，则B(2,2)．设缉私艇在P(x，y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇，则＝3，即＝3.整理，得2＋2＝，所以点P(x，y)的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.因为圆心到领海边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，所以无论走私船沿任何方向逃跑，缉私艇总能在领海内截住走私船．4.如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A，B，坐标原点到直线AB的距离为，且a＝b.8\n(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M，N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形，求直线l的方程．解　(1)直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，坐标原点到直线AB的距离为＝，所以＝，又a＝b，解得a＝4，b＝2，故椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1(－2，0)，易知直线l的斜率不为0，故可设直线l：x＝my－2，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形MONP为平行四边形，所以＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，所以P(x1＋x2，y1＋y2)，联立得(m2＋2)y2－4my－8＝0，因为Δ＝64(m2＋1)>0，且y1,2＝，所以y1＋y2＝，所以x1＋x2＝－，因为点P(x1＋x2，y1＋y2)在椭圆上，所以(x1＋x2)2＋2(y1＋y2)2＝16，即2＋22＝16，解得m＝±，所以直线l的方程为x±y＋2＝0.5．已知函数f(x)＝ax－xlna＋x2－5(a>0，且a≠1)的导函数为f′(x)．8\n(1)当a＝(e为自然对数的底数)时，求与曲线f(x)相切且与x轴平行的直线l的方程；(2)当a＝e时，若不等式f(x)<0的解集为(m，n)(m<n)，证明：2<n－m<4；(3)若存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－成立，求实数a的取值范围．(1)解　当a＝时，f(x)＝＋x＋x2－5，f′(x)＝－＋1＋3x＝1＋3x－，令F(x)＝1＋3x－，F′(x)＝3＋>0，则F(x)单调递增，且F(0)＝0，故由f′(x)＝0，得x＝0.又f(0)＝－4，则直线l的方程为y＋4＝0.(2)证明　当a＝e时，f(x)＝ex－x＋x2－5，f′(x)＝ex－1＋3x，令G(x)＝ex－1＋3x，则G′(x)＝ex＋3>0，则G(x)单调递增，且G(0)＝0，故由f′(x)＝0得x＝0，且当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．且f(1)＝e－<0，f(2)＝e2－1>0，f(－2)＝e－2＋3>0，f(－1)＝e－1－<0，则－2<m<－1,1<n<2，∴2<n－m<4.(3)解　∵存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－成立，∴f(x)max－f(x)min≥e－，x∈[－1,1]．∵f′(x)＝axlna－lna＋3x＝3x＋(ax－1)lna，①若a>1，当x<0时，3x<0，ax－1<0，lna>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，3x>0，ax－1>0，lna>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f′(x)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝－4，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}．8\nf(1)－f(－1)＝a－lna＋－5－＝a－－2lna.令g(a)＝a－－2lna，则g′(a)＝1＋－＝>0，g(a)单调递增，∴g(a)>g(1)＝0，即f(1)>f(－1)，∴f(x)max＝f(1)＝a－lna－，∴a－lna－＋4＝a－lna＋≥e－，a－lna≥e－1，令h(a)＝a－lna，a>1，则h′(a)＝1－>0，则h(a)在(1，＋∞)上单调递增，∵h(a)≥h(e)，∴a≥e.②若0<a<1，当x<0时，3x<0，ax－1>0，lna<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，3x>0，ax－1<0，lna<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝－4，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，由①知g(a)单调递增，又0<a<1，∴g(a)<g(1)＝0，即f(1)<f(－1)，f(x)max＝f(－1)＝＋lna－，∴＋lna－＋4＝＋lna＋≥e－，＋lna≥e－1.令m(a)＝＋lna,0<a<1，则m′(a)＝－＋＝<0，则m(a)在(0,1)上单调递减，∵m(a)≥m，∴0<a≤.综上，实数a的取值范围是∪[e，＋∞)．6．已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；8\n(2)数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝.①求数列{bn}的通项公式；②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．解　(1)设数列{an}的公差为d，则d>0.由a2a3＝15，S4＝16，得解得或(舍去)，所以an＝2n－1.(2)①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝，所以b1＝a1＝1，bn＋1－bn＝＝＝，所以b1＝a1＝1，b2－b1＝，b3－b2＝，…，bn－bn－1＝(n≥2)，累加得bn－b1＝＝，所以bn＝，n≥2.b1＝1也符合上式．故bn＝，n∈N*.②假设存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2＋bn＝2bm.又b2＝，bn＝＝－，bm＝－，所以＋＝2，8\n化简得2m＝＝7－.当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2(舍去)；当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．8