江苏省2022高考数学总复习优编增分练：高考解答题仿真练3

高考解答题仿真练31．(2022·全国大联考江苏卷)设f(α)＝m·n，其中向量m＝，n＝.(1)若f(α)＝－1，求cos的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB＋bcosA＋2c·cosC＝0，求函数f(A)的取值范围．解　(1)∵f(α)＝m·n＝－1，∴cos·2sin＋·＝－1，∴sin＋·cos＝－，即sin＝－，∴cos＝cos＝sin＝－.(2)由题意，得f(A)＝cos·2sin＋·＝sin＋cos－7\n＝sin－，在△ABC中，由acosB＋bcosA＋2c·cosC＝0及正弦定理知，sinAcosB＋sinBcosA＋2sinC·cosC＝0，∴sin(A＋B)＋2sin(A＋B)·cosC＝0，又∵sin(A＋B)≠0，∴cosC＝－，∵C∈(0，π)，∴C＝，∴0<A<，0<<，<＋<，∴sin∈.∴函数f(A)＝sin－∈.即函数f(A)的取值范围是.2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求证：(1)BD1∥平面EAC；(2)平面EAC⊥平面AB1C.证明　(1)连结BD交AC于O，连结EO.因为O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO∥BD1.又BD1⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC.(2)因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，7\n又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，所以AC⊥BD1，同理可证AB1⊥BD1.又AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C，所以BD1垂直于平面AB1C内的任意一条直线．因为EO∥BD1，所以EO垂直于平面AB1C内的任意一条直线，所以EO⊥平面AB1C.又EO⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面AB1C.3.在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面积为400平方米．设∠BAC＝θ.(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．解　(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝AC.在△ABC中，S△ABC＝AB·AC·sinθ＝400，所以AC2＝.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ＝4AC2－2AC2·cosθ＝(4－2cosθ)·，即BC＝＝40，所以BC＝40，θ∈(0，π)．(2)设表演台的总造价为W万元．7\n因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W＝3BC＝120，θ∈(0，π)．记f(θ)＝，θ∈(0，π)，则f′(θ)＝.由f′(θ)＝0，解得θ＝.当θ∈时，f′(θ)<0；当θ∈时，f′(θ)>0.故f(θ)在上单调递减，在上单调递增，从而当θ＝时，f(θ)取得最小值，最小值为f＝1.所以Wmin＝120(万元)．答　表演台的最低造价为120万元．4．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，且过点P(2,1)和A(5,0)，过点P且垂直于直线OP的直线l与圆C：x2＋y2＝25交于R(x1，y1)，S(x2，y2)两点(其中y1>0，y2<0)，T为圆C上异于R，S的任意一点，射线RT，ST分别交直线OP于M，N两点．(1)求椭圆E的方程；(2)若T点的坐标为(3,4)，求点N的坐标；(3)设M，N的横坐标分别为s，t，试探究s·t是否为定值？若为定值，求出这个值；若不为定值，请说明理由．解　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)易知直线l的方程为y＝－2x＋5，联立解得或即R(0,5)，S(4，－3)，则直线ST的方程为y＝－7x＋25，联立解得即N.(3)①当T(0，－5)时，kTS＝kOP，不符合题意；当T(4,3)时，直线RT的方程为y＝－x＋5，7\n联立得s＝5，直线ST的方程为x＝4，则t＝4，此时，s·t＝20.②设T(x0，y0)(x0≠0，且x0≠4)，则直线RT的方程为y＝x＋5，联立解得s＝，直线ST的方程为y＝(x－4)－3，联立解得t＝，所以s·t＝·＝－5··＝－20·＝－20·＝20.综上，s·t为定值20.5．(2022·启东期末)已知函数f(x)＝ex＋ae－x－1，集合A＝{x|x2－x≤0}．(1)当a＝－3时，解不等式f(x)>1；(2)若B＝{x|log2f(x)≥1}，且A∩B≠∅，求实数a的取值范围；(3)当a>1时，若函数f(x)的定义域为A，求函数f(x)的值域．解　(1)当a＝－3时，由f(x)>1得ex－3e－x－1>1，所以e2x－2ex－3>0，即(ex－3)(ex＋1)>0，所以ex>3，故x>ln3，所以不等式的解集为(ln3，＋∞)．(2)由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}．因为A∩B≠∅，所以log2f(x)≥1在[0,1]上有解，即f(x)≥2在[0,1]上有解，即ex＋ae－x－3≥0在[0,1]上有解，所以a≥3ex－e2x在[0,1]上有解，7\n即a≥(3ex－e2x)min.由0≤x≤1得1≤ex≤e，所以3ex－e2x＝－2＋∈，所以a≥3e－e2.(3)设t＝ex，由(2)知1≤t≤e，记g(t)＝t＋－1(t>1，a>1)，则g′(t)＝1－＝，当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表所示.t(1，)(，＋∞)g′(t)－0＋g(t)↘极小值↗①当≥e，即a≥e2时，g(t)在[1，e]上单调递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即e＋－1≤g(t)≤a.所以f(x)的值域为.②当1<<e，即1<a<e2时，g(t)min＝g()＝2－1，g(t)max＝max{g(1)，g(e)}＝max.1°当a>e＋－1，即e<a<e2时，g(t)max＝g(1)＝a，所以f(x)的值域为[2－1，a]；2°当a≤e＋－1，即1<a≤e时，g(t)max＝g(e)＝e＋－1，所以f(x)的值域为.综上所述，当1<a≤e时，7\nf(x)的值域为；当e<a<e2时，f(x)的值域为[2－1，a]；当a≥e2时，f(x)的值域为.6．(2022·盐城期末)设数列{an}，{bn}满足bn＋1＝a1＋a1bn－a2.(1)若b1＝2，数列{an}的前n项和Sn＝n2，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＝a(a1<0)，且b1＝3a1，①试用a1和n表示bn；②若b2<0，对任意的i，j∈N*，试用a1表示bi－bj的最大值．解　(1)由题意得{an}的前n项和Sn＝n2，令n＝1，得a1＝1，令n＝2，得S2＝a1＋a2＝4，所以a2＝3，所以bn＋1＝bn－2，所以{bn}是首项为2，公差为－2的等差数列，所以bn＝－2n＋4(n∈N*)．(2)①由an＝a(a1<0)得a2＝a，所以bn＋1＝a1＋a1bn－a，即bn＋1－a1＝a1(bn－a1)，又因为b1－a1＝2a1≠0，所以{bn－a1}构成等比数列，从而bn－a1＝2a1·a＝2a，所以bn＝2a＋a1(n∈N*)．②由题意得b2<0，则2a＋a1<0得－<a1<0，从而b2n－1＝－2|a1|2n－1＋a1<a1且{b2n－1}单调递增；b2n＝2|a1|2n＋a1>a1且{b2n}单调递减，从而b1<b3<b5<…<b2n－1<…<a1<…<b2n<…<b6<b4<b2，所以对任意i，j∈N*，bi－bj的最大值为b2－b1＝2a－2a1.7