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江苏省2022高考数学总复习优编增分练:高考解答题分项练七数列A

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(七)数列(A)1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=4,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知cn=2n+3(n∈N*),记dn=cn+logCan(C>0且C≠1),是否存在这样的常数C,使得数列{dn}是常数列,若存在,求出C的值;若不存在,请说明理由;(3)若对于数列{bn}及任意的正整数n,均有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1=n-成立,求证:数列{bn}是等差数列.(1)解 a1=4-a1,所以a1=2,由Sn+an=4,得当n≥2时,Sn-1+an-1=4,两式相减,得2an=an-1,所以=,数列{an}是以2为首项,为公比的等比数列,所以an=22-n(n∈N*).(2)解 由于数列{dn}是常数列,dn=cn+logCan=2n+3+(2-n)logC2=2n+3+2logC2-nlogC2=(2-logC2)n+3+2logC2为常数,则2-logC2=0,由C>0且C≠1,解得C=,此时dn=7.4\n(3)证明 b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1=n-,①当n=1时,b1a1=-=-1,其中a1=2,所以b1=-.当n≥2时,b1an-1+b2an-2+b3an-3+…+bn-1a1=n-1-,②②式两边同时乘以,得b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2=n-,③由①-③,得bna1=,所以bn=--(n∈N*,n≥2),且bn+1-bn=-,又b1=-=--,所以数列{bn}是以-为首项,-为公差的等差数列.2.在数列{an}中,已知a1=,an+1=an-,n∈N*,设Sn为{an}的前n项和.(1)求证:数列{3nan}是等差数列;(2)求Sn;(3)是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使Sp,Sq,Sr成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.(1)证明 因为an+1=an-,所以3n+1an+1-3nan=-2.又因为a1=,所以31·a1=1,所以{3nan}是首项为1,公差为-2的等差数列.(2)解 由(1)知3nan=1+(n-1)·(-2)=3-2n,所以an=(3-2n)n,4\n所以Sn=1·1+(-1)·2+(-3)·3+…+(3-2n)·n,所以Sn=1·2+(-1)·3+…+(5-2n)·n+(3-2n)·n+1,两式相减,得Sn=-2-(3-2n)·n+1=-2+(2n-3)·n+1=2n·n+1,所以Sn=.(3)解 假设存在正整数p,q,r(p<q<r),使Sp,Sq,Sr成等差数列,则2Sq=Sp+Sr,即=+.当n≥2时,an=(3-2n)n<0,所以数列{Sn}单调递减.又p<q,所以p≤q-1且q至少为2,所以≥,-=.①当q≥3时,≥≥,又>0,所以+>,等式不成立.②当q=2时,p=1,所以=+,所以=,所以r=3({Sn}单调递减,解唯一确定).综上可知,存在正整数p=1,q=2,r=3,使得Sp,Sq,Sr成等差数列.3.设Sn为数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”.(1)若数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,试判断数列{bn}是否为“和等比数列”,并给出证明;(2)若数列{cn}是首项为c1,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,试探究d与c1之间的等量关系.4\n解 (1)数列{bn}为“和等比数列”,证明如下:因为数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,所以2bn=2·4n-1=22n-1,因此bn=2n-1.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,因此数列{bn}为“和等比数列”.(2)设数列{cn}的前n项和为Rn,且=k(k≠0).因为数列{cn}是等差数列,所以Rn=nc1+d,R2n=2nc1+d,所以==k对于n∈N*都成立,化简,得(k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,则因为d≠0,所以k=4,d=2c1,因此d与c1之间的等量关系为d=2c1.4

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发布时间:2022-08-25 23:22:03 页数:4
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文章作者:U-336598

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