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江苏省2022高考数学总复习优编增分练:高考解答题分项练八数列B

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(八)数列(B)1.(2022·江苏金陵中学期末)设数列{an}的前n项的和为Sn,且满足a1=2,对∀n∈N*,都有an+1=(p-1)Sn+2(其中常数p>1),数列{bn}满足bn=log2(a1a2…an).(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)若p=2,求b2018的值;(3)若∃k∈N*,使得p=2,记cn=,求数列{cn}的前2(k+1)项的和.(1)证明 因为∀n∈N*,都有an+1=(p-1)Sn+2,an+2=(p-1)Sn+1+2,所以两式相减得an+2-an+1=(p-1)an+1,即an+2=pan+1,当n=1时,a2=(p-1)a1+2=pa1,所以an+1=pan(n∈N*),又a1=2,p>1,所以{an}是以2为首项,p为公比的等比数列.(2)解 由(1)得an=2pn-1.bn=log2(a1a2…an)=log2=所以b2018=2.5\n(3)解 由(1)得an=2pn-1.bn=log2(a1a2…an)=log2=log2=1+.因为bn-=,所以当1≤n≤k+1时,cn=-bn,当n≥k+2时,cn=bn-.因此数列{cn}的前2(k+1)项的和T2k+2=-(b1+b2+…+bk+1)+(bk+2+bk+3+…+b2k+2)=-+=-+=.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,设bn=an+an+1,cn=an·an+1(n∈N*).(1)若数列{b2n-1}是公比为3的等比数列,求S2n;(2)若数列{bn}是公差为3的等差数列,求Sn;(3)是否存在这样的数列{an},使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时成立,若存在,求出{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.解 (1)b1=a1+a2=1+2=3,S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=b1+b3+…+b2n-1==.(2)∵bn+1-bn=an+2-an=3,∴{a2k-1},{a2k}均是公差为3的等差数列,a2k-1=a1+(k-1)·3=3k-2,a2k=a2+(k-1)·3=3k-1,当n=2k(k∈N*)时,Sn=S2k=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k)=+5\n=3k2=;当n=2k-1(k∈N*)时,Sn=S2k-1=S2k-a2k=3k2-3k+1=3×2-3·+1=.综上可知,Sn=(3)∵{bn}成等差数列,∴2b2=b1+b3,即2(a2+a3)=(a1+a2)+(a3+a4),a2+a3=a1+a4,①∵{cn}成等比数列,∴c=c1c3.即(a2a3)2=(a1a2)·(a3a4),∵c2=a2a3≠0,∴a2a3=a1a4,②由①②及a1=1,a2=2,得a3=1,a4=2,设{bn}的公差为d,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=d,即an+2-an=d,即数列{an}的奇数项和偶数项都构成公差为d的等差数列,又d=a3-a1=a4-a2=0,∴数列{an}=1,2,1,2,1,2,…,即an=此时cn=2,{cn}是公比为1的等比数列,满足题意.∴存在数列{an},an=使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时成立.3.已知{an},{bn},{cn}都是各项不为零的数列,且满足a1b1+a2b2+…+anbn=cnSn,n∈N*,其中Sn是数列{an}的前n项和,{cn}是公差为d(d≠0)的等差数列.(1)若数列{an}是常数列,d=2,c2=3,求数列{bn}的通项公式;(2)若an=λn(λ是不为零的常数),求证:数列{bn}是等差数列;(3)若a1=c1=d=k(k为常数,k∈N*),bn=cn+k(n≥2,n∈N*),求证:对任意的n≥2,n∈N*,数列单调递减.(1)解 因为d=2,c2=3,所以cn=2n-1.因为数列{an}是各项不为零的常数列,所以a1=a2=…=an,Sn=na1.则由cnSn=a1b1+a2b2+…+anbn及cn=2n-1,得5\nn(2n-1)=b1+b2+…+bn,当n≥2时,(n-1)(2n-3)=b1+b2+…+bn-1,两式相减得bn=4n-3,n≥2.当n=1时,b1=1也满足bn=4n-3.故bn=4n-3(n∈N*).(2)证明 因为a1b1+a2b2+…+anbn=cnSn,当n≥2时,cn-1Sn-1=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1,两式相减得cnSn-cn-1Sn-1=anbn,即(Sn-1+an)cn-Sn-1cn-1=anbn,Sn-1(cn-cn-1)+ancn=anbn,所以Sn-1d+λncn=λnbn.又Sn-1=(n-1)=,所以d+λncn=λnbn,即d+cn=bn,(*)所以当n≥3时,d+cn-1=bn-1,两式相减得bn-bn-1=d(n≥3),所以数列{bn}从第二项起是公差为d的等差数列.又当n=1时,由c1S1=a1b1,得c1=b1.当n=2时,由(*)得b2=d+c2=d+(c1+d)=b1+d,得b2-b1=d.故数列{bn}是公差为d的等差数列.(3)证明 由(2)得当n≥2时,Sn-1(cn-cn-1)+ancn=anbn,即Sn-1d=an(bn-cn).因为bn=cn+k,所以bn=cn+kd,即bn-cn=kd,5\n所以Sn-1d=an·kd,即Sn-1=kan,所以Sn=Sn-1+an=(k+1)an.当n≥3时,Sn-1=(k+1)an-1,两式相减得an=(k+1)an-(k+1)an-1,即an=an-1,故从第二项起数列{an}是等比数列,所以当n≥2时,an=a2n-2,bn=cn+k=cn+kd=c1+(n-1)k+k2=k+(n-1)k+k2=k(n+k),另外由已知条件得(a1+a2)c2=a1b1+a2b2.又c2=2k,b1=k,b2=k(2+k),所以a2=1,因而an=n-2,n≥2.令dn=(n≥2),则==.因为(n+k+1)k-(n+k)(k+1)=-n<0,所以<1,又因为dn>0,所以dn+1<dn,所以对任意的n≥2,n∈N*,数列单调递减.5

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发布时间:2022-08-25 23:22:02 页数:5
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文章作者:U-336598

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