江苏省2022高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练六函数与导数B

(六)函数与导数(B)1．(2022·江苏省兴化一中模拟)已知函数f(x)＝xex－ax，a∈R.(1)当a＝0时，求f(x)的最小值；(2)若x≥0时，f(x)≥ax2恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)存在极小值，求实数a的取值范围．解　(1)当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取最小值为f(－1)＝－.(2)当x≥0时，f(x)≥ax2⇔xex－ax≥ax2⇔ex－a≥ax⇔a≤，令h(x)＝(x≥0)，则h′(x)＝≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(0)＝1，所以a≤1.(3)设g(x)＝f′(x)＝(x＋1)ex－a，则g′(x)＝(x＋2)ex，令g′(x)＝0，得x＝－2，所以g(x)在(－∞，－2)上单调递减，5\n在(－2，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(－2)＝－－a，当a≤－时，g(x)≥－－a≥0，即f′(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增，无极值；当a>－时，因为g(－2)＝－－a<0，g(a)＝(a＋1)ea－a≥(a＋1)2－a＝2＋>0(易证ea≥a＋1)，所以g(－2)g(a)<0，所以g(x)在(－2，a)上有一个零点，记为x1，则当x∈(－2，x1)时，f′(x)＝g(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(x1，a)时，f′(x)＝g(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(x)在x＝x1处取得极小值．综上，若函数f(x)存在极小值，则实数a的取值范围为.2．设函数f(x)＝2(a＋1)(a∈R)，g(x)＝lnx＋bx(b∈R)，直线y＝x＋1是曲线y＝f(x)的一条切线．(1)求a的值；(2)若函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点x1，x2.①试求b的取值范围；②证明：≤＋.(1)解　设直线y＝x＋1与函数y＝f(x)的图象相切于点(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝2(a＋1)，＝1，解得a＝0.(2)①解　记h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝2－lnx－bx.函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点的必要条件是h′(x)有两个正零点．h′(x)＝－－b＝，令h′(x)＝0，得bx－＋1＝0(x>0)．令＝t，则t>0.5\n问题转化为bt2－t＋1＝0有两个不等的正实根t1，t2，等价于解得0<b<.当0<b<时，设h′(x)＝0的两正根为x1，x2，且x1<x2，则h′(x)＝＝＝.当x∈(0，x1)时，h′(x)<0；当x∈(x1，x2)时，h′(x)>0；当x∈(x2，＋∞)时，h′(x)<0.所以x1，x2是h(x)＝f(x)－g(x)的极值点，所以b的取值范围是.②证明　由①知＝＋＝.可得g(x1)＋g(x2)＝－2lnb＋－2，f(x1)＋f(x2)＝，所以＝－blnb－b.记k(b)＝－blnb－b，则k′(b)＝－lnb－2，令k′(b)＝0，得b＝∈，所以当b∈时，k′(b)>0，k(b)单调递增；当b∈时，k′(b)<0，k(b)单调递减，所以当b＝时，k(b)取最大值＋，所以≤＋.3．设函数f(x)＝2ax＋＋clnx.(1)当b＝0，c＝1时，讨论函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝3x＋3a－6且函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1<x2.①求a的取值范围；5\n②求f(x2)的取值范围．解　f(x)＝2ax＋＋clnx，x>0，f′(x)＝2a－＋＝.(1)当b＝0，c＝1时，f′(x)＝.当a≥0时，由x>0，得f′(x)＝>0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a<0时，令f′(x)＝>0，解得0<x<－；令f′(x)＝<0，解得x>－，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，①当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)①函数f(x)在x＝1处的切线为y＝3x＋3a－6，所以f(1)＝2a＋b＝3a－3，f′(1)＝2a＋c－b＝3，所以b＝a－3，c＝－a，f′(x)＝2a－＋＝，函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1<x2，则方程2ax2－ax＋3－a＝0有两个大于0的解，解得<a<3.所以a的取值范围是.②2ax－ax2＋3－a＝0，x2＝＝，由<a<3，得x2∈，由2ax－ax2＋3－a＝0，得a＝－.5\nf(x2)＝2ax2＋－alnx2＝a－＝－3－.设φ(t)＝－3－，t∈，φ′(t)＝－3＋＝＋＝.当t∈时，2t＋－lnt>0,4t－1>0，φ′(t)>0，所以φ(t)在上单调递增，φ(t)∈，所以f(x2)的取值范围是.5