江苏省2022高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练四解析几何

(四)解析几何1．(2022·苏州市高新区一中考试)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.(1)若点P的坐标为(，1)，求椭圆C的方程；(2)延长AF交椭圆C于点Q，已知椭圆的离心率为，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的m倍，求实数m的值．解　(1)因为点P(，1)，所以kOP＝，又因为AF⊥OP，－×＝－1，所以c＝b，所以3a2＝4b2，又点P(，1)在椭圆C上，所以＋＝1，解得a2＝，b2＝.7\n故椭圆方程为＋＝1.(2)因为e＝＝，即＝，所以＝.又因为kAQkBQ＝·＝＝－，所以m＝＝－＝＝2.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝－x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝2，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，BD相交于点P，直线AD，BC相交于点Q.(1)求椭圆E的标准方程；(2)求证：直线PQ的斜率为定值．(1)解　因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a＝2b.所以椭圆方程为＋＝1.由题意不妨设点A在第二象限，点B在第四象限，由得A.又AB＝2，所以OA＝，则2b2＋b2＝b2＝10，7\n得b＝2，a＝4.所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)证明　由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，A(－2，)，B(2，－)．①当直线CA，CB，DA，DB的斜率都存在，且不为零时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1≠k2.从而k1·kCB＝·＝＝＝＝－，所以kCB＝－.同理kDB＝－.所以直线AD的方程为y－＝k2(x＋2)，直线BC的方程为y＋＝－(x－2)，由解得从而点Q的坐标为.用k2代替k1，k1代替k2得点P的坐标为.所以kPQ＝＝＝.即直线PQ的斜率为定值.②当直线CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(－2，－)．设DA的斜率为k，由①知，kDB＝－.因为直线CA：x＝－2，直线DB：y＋＝－(x－2)，7\n得P.又直线BC：y＝－，直线AD：y－＝k(x＋2)，得Q，所以kPQ＝.由①②可知，直线PQ的斜率为定值.3.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，右准线的方程为x＝.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，过x轴上的一个定点M作直线l与椭圆C交于A，B两点，若三条直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点M的坐标．解　(1)因为椭圆的离心率为，右准线的方程为x＝，所以e＝＝，＝，则a＝2，c＝，b＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设M(m,0)，当直线l为y＝0时，A(－2,0)，B(2,0)，PA，PM，PB的斜率分别为kPA＝，kPM＝，kPB＝－，因为直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，所以＝－，m＝8.证明如下：当M(8,0)时，直线PA，PM，PB的斜率构成等差数列，7\n设AB：y＝k(x－8)，代入椭圆方程x2＋4y2－4＝0，得x2＋4k2(x－8)2－4＝0，即(1＋4k2)x2－64k2x＋256k2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1,2＝，所以x1＋x2＝，x1x2＝，又kPM＝＝－，所以kPA＋kPB＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋＝2k＋＝2k＋＝－＝2kPM，即证．4．(2022·江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－2,0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.(1)求椭圆E的标准方程；7\n(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1C⊥AB，求k的值．解　(1)由题意得解得∴椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)∵△CF1F2为等腰三角形，且k>0，∴点C在x轴下方，①若F1C＝F2C，则C(0，－)；②若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－)；③若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－)，∴C(0，－)．∴直线BC的方程为y＝(x－1)，由得或∴B.(3)设直线AB的方程lAB：y＝k(x＋2)，由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，∴xAxB＝－2xB＝，∴xB＝，∴yB＝k(xB＋2)＝，∴B，若k＝，则B，∴C，∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－，∴F1C与AB不垂直，∴k≠.∵F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－，∴直线BF2的方程lBF2：y＝(x－1)，直线CF1的方程lCF1：y＝－(x＋1)．由解得∴C(8k2－1，－8k)．7\n又点C在椭圆上，得＋＝1，即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝，∵k>0，∴k＝.7