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江苏省2022高考数学总复习优编增分练:高考解答题分项练二立体几何

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(二)立体几何1.(2022·苏州调研)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是正三角形,D,E分别为AB,AC的中点,∠ABC=90°.求证:(1)DE∥平面PBC;(2)AB⊥PE.证明 (1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC,又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DE∥平面PBC.(2)连结PD,因为DE∥BC,又∠ABC=90°,所以DE⊥AB.又PA=PB,D为AB的中点,所以PD⊥AB,又PD∩DE=D,PD,DE⊂平面PDE,所以AB⊥平面PDE.4\n因为PE⊂平面PDE,所以AB⊥PE.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,PC⊥底面ABCD,E为PB上一点,G为PO的中点.(1)若PD∥平面ACE,求证:E为PB的中点;(2)若AB=PC,求证:CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE,由四边形ABCD是正方形知,O为BD的中点,因为PD∥平面ACE,PD⊂平面PBD,平面PBD∩平面ACE=OE,所以PD∥OE.因为O为BD的中点,所以E为PB的中点.(2)在四棱锥P-ABCD中,AB=PC,因为四边形ABCD是正方形,所以OC=AB,所以PC=OC.因为G为PO的中点,所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,因为AC,PC⊂平面PAC,AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC,因为CG⊂平面PAC,所以BD⊥CG.因为PO,BD⊂平面PBD,PO∩BD=O,所以CG⊥平面PBD.3.如图,在三棱锥P-ABC中,点E,F分别是棱PC,AC的中点.4\n(1)求证:PA∥平面BEF;(2)若平面PAB⊥平面ABC,PB⊥BC,求证:BC⊥PA.证明 (1)在△PAC中,E,F分别是棱PC,AC的中点,所以PA∥EF.又PA⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以PA∥平面BEF.(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB,垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以PD⊥BC,又PB⊥BC,PD∩PB=P,PD⊂平面PAB,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA.4.(2022·扬州调研)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,AC的中点.(1)证明:B1C1∥平面A1DE;(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1,证明:AB⊥DE.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形B1BCC1是平行四边形,所以B1C1∥BC,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,故BC∥DE,所以B1C1∥DE,又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.(2)在平面ABB1A1内,4\n过A作AF⊥A1D于点F,因为平面A1DE⊥平面A1ABB1,平面A1DE∩平面A1ABB1=A1D,AF⊂平面A1ABB1,所以AF⊥平面A1DE,又DE⊂平面A1DE,所以AF⊥DE,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,所以A1A⊥DE,因为AF∩A1A=A,AF⊂平面A1ABB1,A1A⊂平面A1ABB1,所以DE⊥平面A1ABB1,因为AB⊂平面A1ABB1,所以DE⊥AB.4

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发布时间:2022-08-25 23:22:03 页数:4
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文章作者:U-336598

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