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浙江专用2022高考数学二轮复习专题规范练5数列问题理

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规范练五 数列问题1.已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1),又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=2;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=2.所以,{an}的通项公式为an=(2)由(1)得bn==.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×.上述两式相减得:Sn=1+++…+-=-=2--,整理得,Sn=4-,n∈N*.所以,数列{bn}的前n项和为4-,n∈N*.2.已知{an}为等差数列,且a2=-1,a5=8.(1)求数列{|an|}的前n项和;(2)求数列{2n·an}的前n项和.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,因为a2=-1,a5=8,所以解得a1=-4,d=3,所以an=-4+3(n-1)=3n-7,因此|an|=|3n-7|=记数列{|an|}的前n项和为Sn,3\n当n=1时,S1=|a1|=4,当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5,当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+=n2-n+10.又当n=2时满足此式,综上,Sn=(2)记数列{2nan}的前n项和为Tn则Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan,2Tn=22a1+23a2+24a3+…+2nan-1+2n+1an,所以-Tn=2a1+d(22+23+…+2n)-2n+1an由(1)知,a1=-4,d=3,an=3n-7,所以-Tn=-8+3×-(3n-7)×2n+1=-20-(3n-10)×2n+1,故Tn=20+(3n-10)×2n+1.3.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=a-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a2=;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.(1)证明 当n=1时,4a1=a-5,a=4a1+5,又an>0,∴a2=.(2)解 当n≥2时,4Sn-1=a-4(n-1)-1,∴4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4,即a=a+4an+4=(an+2)2,又an>0,∴an+1=an+2,∴当n≥2时,{an}是公差为2的等差数列.又a2,a5,a14成等比数列.∴a=a2·a14,即(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3.由(1)知a1=1.又a2-a1=3-1=2,∴数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴an=2n-1.(3)证明 ++…+=+++…+3\n==<.4.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.解 (1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2),从而a2=2a1,a3=2a2=4a1,又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.(2)由(1)得=,所以Tn=++…+==1-.由|Tn-1|<,得<,即2n>1000,因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10,于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.3

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发布时间:2022-08-25 23:15:02 页数:3
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文章作者:U-336598

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