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浙江专用2022高考数学二轮复习专题规范练4解析几何问题理

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规范练四 解析几何问题1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点到直线l1:3x+4y=0的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l2:y=kx+m(km≠0)与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点恰好在直线l1上,求△OAB的面积S的最大值(其中O为坐标原点).解 (1)由题意,得e==.∴右焦点(c,0)到直线3x+4y=0的距离为,∴=,∴c=1,∴a=2.∴椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),把直线l2:y=kx+m代入椭圆方程+=1,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,因此x1+x2=-,x1x2=.∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=.∴AB中点M,又点M在直线l1上,得3×+4×=0,∴k=1,故x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=|x1-x2|==,原点O到AB的距离为d==|m|,∴S=≤×=,当且仅当m2=时取到等号,经检验此时Δ>0成立.故△OAB的面积S的最大值为.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+=0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B4\n两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.(1)解 ∵等轴双曲线离心率为,∴椭圆C的离心率e=.∴e2===,∴a2=2b2.∵由x-y+=0与圆x2+y2=b2相切,得b=1,∴a2=2.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明 ①若直线AB的斜率不存在,设方程为x=x0,则点A(x0,y0),B(x0,-y0).由已知+=4,得x0=-.此时AB方程为x=-,显然过点.②若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.则x1+x2=-,x1x2=.由已知k1+k2=4,可得+=4,∴+=4,即2k+(m-1)=4,将x1+x2,x1x2代入得k-=2,∴k=2(m+1),∴m=-1.故直线AB的方程为y=kx+-1,即y=k-1.∴直线AB过定点.综上,直线AB过定点.3.设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:+=1(a>b>0)上两点,已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.4\n(1)求椭圆的方程;(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.解 (1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.故椭圆的方程为+x2=1.(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0,得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b(其中b≠0),代入+x2=1,得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.有Δ=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)=16(k2-b2+4)>0,x1+x2=,x1x2=,由已知m·n=0得x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,代入Δ中可得b2>0满足题意,∴S=|AB|=|b|===1.综上,所以△ABC的面积为定值.4.如图,已知A是圆x2+y2=4上的一个动点,过点A作两条直线l1,l2.它们与椭圆+y2=1都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N.(1)若A(-2,0),求直线l1,l2的方程;(2)①求证:对于圆上的任一点A,都有l1⊥l2成立;②求△AMN面积的取值范围.4\n(1)解 设过点A的直线的方程为y=k(x+2),代入+y2=1得(1+3k2)x2+12k2x+12k2-3=0,由Δ=0得,k2-1=0,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,得k1=1,k2=-1.∴直线l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x-2.(2)①证明 (ⅰ)当l1,l2斜率都存在时,设点A(x0,y0),则x+y=4.设经过点A(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0,代入+y2=1化简得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,由Δ=0化简整理得(3-x)k2+2x0y0k+1-y=0,∵x+y=4,∴(3-x)k2+2x0y0+x-3=0.设l1,l2的斜率分别为k1,k2,∵l1,l2与椭圆只有一个公共点,∴k1,k2是方程(3-x)k2+2x0y0k+x-3=0的两个根,即k1k2=-1,∴l1,l2垂直.(ⅱ)当l1,l2其中有一条直线斜率不存在时,设l1斜率不存在.∵l1与椭圆只有一个公共点,∴其方程为x=±,当l1方程为x=时,此时l1与圆交于点(,±1),∴l2方程为y=1(或y=-1);显然直线l1,l2垂直;同理可证l1方程为x=-时,直线l1,l2垂直.综上,对于圆上的任意一点A,都有l1⊥l2成立.②解 记原点到直线l1,l2的距离分别为d1,d2,则△AMN的面积S=2d1d2=2·=2==.∵9-2x∈[1,9],∴S∈[2,4].∴△AMN面积的取值范围为[2,4].4

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发布时间:2022-08-25 23:15:03 页数:4
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文章作者:U-336598

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