浙江专用2022高考数学二轮复习专题规范练3函数问题理

规范练三　函数问题1．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解　(1)法一　∵x＞0时，g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．∴m的取值范围是[2e，＋∞)．法二　作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.∴m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．2．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．4\n(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．解　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，联想到g(x)＝x＋的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．3．(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值．(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．(1)证明　由f(x)＝2＋b－，得对称轴为直线x＝－.由|a|≥2，得|－|≥1，故f(x)在[－1,1]上单调，所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，4\n得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.(2)解　由M(a，b)≤2得|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.由|a|＋|b|＝得|a|＋|b|≤3.当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1,1]上的最大值为2.即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解　(1)每吨平均成本为万元．则＝＋－48≥2－48＝32，当且仅当＝，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8000＝－＋88x－8000＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，4\nR(x)有最大值为－(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．4